累乗根の掛け算をする方法

根号(√) は平方根を表す記号です。根号は代数学、建設業や幾何学に関係するその他の職業、または相対的な大きさや距離を求める計算などで使われます。同じ指数（根数の次数）を持ついずれの2つの累乗根も掛け合わせることができます。累乗根が同じ指数ではない場合、等しくなるまで方程式を掛けます。以下のやり方に従って、係数の有無の別による累乗根の掛け算の方法を理解しましょう。

方法 1

方法 1 の 3:

係数の無い累乗根を掛ける

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1
累乗根が同じ指数になっていることを確認します。基本的な方法で累乗根を掛け算するためには、指数が揃っている必要があります。「指数」は根号の上の線の左に書かれているとても小さな数字です。指数が書かれていない場合、その累乗根は平方根（指数2）であることを意味し、他の平方根と掛け合わせることができます。異なる指数を持った累乗根を掛けることもできますが、より上級の方法となるため、後に説明します。同じ指数を持った累乗根の掛け算の例を2つ示します。^{[1]X出典文献}
- 例 1: √(18) x √(2) = ?
- 例 2: √(10) x √(5) = ?
- 例 3: ³√(3) x ³√(9) = ?
2
根号の下の数字を掛けます。次に、根号または平方根号の下の数を掛け、根号を付けます。以下がその方法です。^{[2]X出典文献}
- 例 1: √(18) x √(2) = √(36)
- 例 2: √(10) x √(5) = √(50)
- 例 3: ³√(3) x ³√(9) = ³√(27)
3
無理式を簡単にまとめます。累乗根を掛けると、完全平方や完全立方にまとめたり、最終的な答えの因数として完全平方を見つけて簡単にすることができます。以下がその方法です。^{[3]X出典文献}
- 例 1: √(36) = 6。 36は6 x 6の解なので、完全平方です。36の平方根は単純に6です。
- 例 2: √(50) = √(25 x 2) = √([5 x 5] x 2) = 5√(2)。50は完全平方ではありませんが、25は50の因数で（50を2で割ると25になるため）、完全平方です。25を素因数分解し、5 x 5を得て、一つの5を平方根号の外に出して解をまとめます。
  - これは次のように考えられます。5を累乗根の中に戻すと、2乗されて再度25になります。
- 例 3:³√(27) = 3。 27は3 x 3 x 3の解なので、完全立方です。そのため27の立方根は3です。
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方法 2

方法 2 の 3:

係数のある累乗根を掛ける

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係数を掛けます。係数は根号の外にある数字です。係数が書かれていない場合、係数は1であることを意味します。係数どうしを掛けます。以下がその方法です。^{[4]X出典文献}
- 例 1: 3√(2) x √(10) = 3√( ? )
  - 3 x 1 = 3
- 例 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√( ? )
  - 4 x 3 = 12
2
根号の中の数を掛けます。係数を掛けたら、根号の中の数を掛けます。以下がその方法です。^{[5]X出典文献}
- 例 1: 3√(2) x √(10) = 3√(2 x 10) = 3√(20)
- 例 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(3 x 6) = 12√(18)
3
解を簡単にしてまとめます。次に、根号の下の数から完全平方や完全平方の倍数を見つけて、解を簡単にします。これらの項を簡単にしたら、それに係数を掛けます。以下がその方法です。^{[6]X出典文献}
- 3√(20) = 3√(4 x 5) = 3√([2 x 2] x 5) = (3 x 2)√(5) = 6√(5)
- 12√(18) = 12√(9 x 2) = 12√(3 x 3 x 2) = (12 x 3)√(2) = 36√(2)
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方法 3

方法 3 の 3:

異なる指数の累乗根を掛ける

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1
指数の最小公倍数を見つけます。両方の指数で割り切れる最も小さい数を探して、指数の最小公倍数を見つけます。次の方程式の指数の最小公倍数を見つけましょう。³√(5) x ²√(2) = ?^{[7]X出典文献}
- 指数は3と2です。3と2の両方で割り切れる最も小さい数は6なので、これらの2つの数字の最小公倍数は6です。6/3 = 2 そして 6/2 = 3です。累乗根を掛けるため、両方の指数を6にする必要があります。
2
新しい最小公倍数を指数にして両方の値を書き替えます。新しい指数を用いると、方程式は次のようになります。
- ⁶√(5) x ⁶√(2) = ?
³√(5)という数式の場合、指数3に2を掛けて6を得る必要があります。²√(2)という数式の場合、指数2に3を掛けて6を得る必要があります。^{[8]X出典文献}
4
この数を根号の中の数の指数にします。最初の数式の場合、2を5の指数にします。二つ目の数式の場合、3を2の指数にします。そうすると次のようになります。
- ² --> ⁶√(5) = ⁶√(5)²
- ³ --> ⁶√(2) = ⁶√(2)³
5
根号の中の数を指数に従って掛け算します。以下がその方法です。
- ⁶√(5)² = ⁶√(5 x 5) = ⁶√25
- ⁶√(2)³ = ⁶√(2 x 2 x 2) = ⁶√8
これらを一つの根号の下にまとめ、掛け算の記号でつなげます。その結果、次のようになります。⁶√(8 x 25)
⁶√(8 x 25) = ⁶√(200)。これが最終的な解です。解が簡単にまとめられる場合もあります。例えばこの解の場合、6乗して200の因数となる数があれば簡単にできます。しかしこの例の場合、解はこれ以上簡単になりません。.
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ポイント

「係数」がプラスやマイナス記号で根号と切り離されている場合、それは係数ではありません。それは別の項で、累乗根とは別に扱う必要があります。累乗根と他の項が同じ丸括弧内にある場合、例えば(2 + √5)のような場合は、丸括弧内の計算をする際は2と√5を別に考える必要があります。しかし、丸括弧の外の計算をする場合は(2 + √5)を一つの塊として考えなければいけません。
根号は分数指数を表す別の方法でもあります。つまり、いずれの数の平方根も、その数を1/2乗した値と等しくなり、いずれの数の立方根も、その数を1/3乗した値と等しくなる、といった形です。
「係数」がある場合は、根号のすぐ前に書かれている数字がそうです。例えば、2 √5という数式では、5が根号の下にあり、根号の外にある2が係数です。累乗根と係数が一つになっている場合、累乗根に係数を掛けるということ意味し、同じ例の場合では2 x √5を意味します。