كيفية حل مسائل القسمة

تنزيل المقال

تنزيل المقال

القسمة هي إحدى العمليات الحسابية الأربع الرئيسية، إلى جانب الجمع والطرح والضرب. بالإضافة إلى قسمة الأعداد الصحيحة، يمكنك تعلّم قسمة الأعداد العشرية أو الكسور أو الأعداد المرفوعة لأسس، وكذلك معرفة طريقة إجراء قسمة مطولة أو قسمة قصيرة إذا كان أحد الأرقام من خانة واحدة. ابدأ بتعلّم القسمة المطولة لأنها المفتاح لتعلّم كل ما يخص هذه العملية الحسابية.

الخطوات

طريقة 1

طريقة 1 من 5:

القسمة المطولة

تنزيل المقال

1. 
   1
   اكتب المسألة باستخدام شريط القسمة المطولة. يبدو شريط القسمة ( 厂 ) على شكل قوس نهاية متصل بخط أفقي يمر فوق سلسلة الأرقام التي تمثل الرقم الذي سيُقسَم. ضع المقسوم عليه -الرقم الذي ستسخدمه لتقسيم الآخر- خارج شريط القسمة المطولة، والمقسوم -الرقم الذي ستقسمه- داخل شريط القسمة المطول.

   • مسألة مثال رقم 1 (مبتدئ): 65 ÷ 5. ضع الـ 5 خارج شريط القسمة و65 بداخله، وسيصبح شكل المسألة 5厂65، لكن مع وجود الـ 65 تحت الخط الأفقي.
   • مسألة مثال رقم 2 (متوسط): 136 ÷ 3. ضع 3 خارج خط القسمة و136 بداخله. يجب أن يبدو شكل المسألة مع علامة القسمة 3厂136، لكن مع وجود الـ 136 أسفل الخط الأفقي.
2. 
   2
   اقسم الرقم الأول من المقسوم على المقسوم عليه. بعبارة أخرى، أوجد عدد المرات الممكنة لتكرر المقسوم عليه (الرقم خارج شريط القسمة) في الرقم الأول من المقسوم، وضع ناتج العدد الصحيح فوق خط القسمة أعلى الخانة الأولى من المقسوم عليه.

   • في المسألة مثال رقم 1 (5厂65) المقسوم عليه هو 5 و6 هو الرقم الأول من المقسوم (65). 5 تتكرر في العدد 6 مرة واحدة، لذا ضع 1 في الجزء العلوي من شريط المقسوم عليه، أعلى الـ 6 مباشرةً.
   • في المسألة مثال رقم 2 (3厂136)، المقسوم عليه 3 أكبر من 1 (الرقم الأول من المقسوم) لذلك لا يمكن إيجاد المقسوم عليه في هذا الجزء من المقسوم وتجد من هذا عدد صحيح، في هذه الحالة نكتب 0 أعلى خط القسمة، على نفس الصف الذي يوجد به الـ 1.
3. 
   3
   اضرب الرقم الموجود أعلى شريط القسمة بالمقسوم عليه. خذ الرقم الذي كتبته للتو فوق شريط القسمة واضربه في المقسوم عليه (الرقم الموجود على يسار شريط القسمة). اكتب النتيجة في صف جديد أسفل المقسوم، على نفس صف الرقم الأول من المقسوم.

   • في مسألة المثال رقم 1 (5厂65)، اضرب الرقم (1) أعلى الشريط بالمقسوم عليه (5)، مما ينتج عنه 1 × 5 = 5. ضع الإجابة (5) أسفل 6 في 65.
   • في مسألة المثال رقم 2 (3厂136)، يوجد صفر فوق خط القسمة، لذلك عندما تضرب هذا الرقم في 3 (المقسوم عليه)، تكون النتيجة صفرًا. اكتب صفرًا في سطر جديد أسفل 1 في 136 مباشرةً.
4. 
   4
   اطرح ناتج الضرب من الرقم الأول من المقسوم. بعبارة أخرى، اطرح الرقم الذي كتبته في الصف الجديد أسفل المقسوم من رقم المقسوم فوقه مباشرةً. اكتب النتيجة في صف جديد، على نفس صف أرقام مسألة الطرح.

   • في المسألة مثال رقم 1 (5厂65)، اطرح 5 (نتيجة الضرب في السطر الجديد) من 6 الموجودة فوقها مباشرةً (الرقم الأول من المقسوم): 6 - 5 = 1. ضع النتيجة (1) في سطر جديد آخر أسفل الرقم 5.
   • في المسألة مثال رقم 2 (3厂136)، اطرح 0 (نتيجة الضرب في السطر الجديد) من 1 فوقها مباشرة (الرقم الأول في المقسوم). ضع النتيجة (1) في سطر جديد آخر أسفل الصفر.
5. 
   5
   أنزل الرقم الثاني من المقسوم. أنزل الرقم الثاني من المقسوم إلى السطر السفلي الجديد، إلى يمين نتيجة الطرح التي أوجدتها للتو.

   • في المسألة مثال رقم 1 (5厂65)، أنزل 5 من 65 لأسفل بحيث تكون بجانب 1 التي أوجدتها من طرح 5 من 6، مما يعطيك 15 في هذا السطر.
   • في المسألة مثال رقم 2 (3厂136)، أنزل 3 من 136 وضعها بجانب الـ 1، ليكون الناتج 13.
6. 
   6
   كرر عملية القسمة المطولة (مسألة مثال رقم 1). هذه المرة، واستخدم هذه المرة المقسوم (الرقم الموجود على يسار شريط القسمة) والرقم الجديد في السطر السفلي (نتيجة المرة الأولى من العمليات الحسابية والرقم الذي أنزلته). كما في السابق، اقسم ثم اضرب، وأخيرًا اطرح لتحصل على النتيجة.

   • لمتابعة حل المسألة 5厂65، اقسم 5 (المقسوم) على الرقم الجديد (15)، واكتب النتيجة (3، بما أن 15 ÷ 5 = 3) على يمين الـ 1 فوق شريط القسمة. بعد ذلك، اضرب 3 فوق الشريط في 5 (المقسوم) واكتب النتيجة (15، بما أن 3 × 5 = 15) أسفل 15 تحت شريط القسمة. أخيرًا، اطرح 15 من 15 واكتب 0 في سطر سفلي جديد.
   • انتهى بهذه الخطوة حل مسألة المثال رقم 1، نظرًا لعدم وجود المزيد من الأرقام في المقسوم عليه يمكننا إنزالها. إجابتك هي (13) والتي ستكون مكتوبة الآن فوق شريط القسمة.
7. 
   7
   كرر عملية القسمة المطولة (مسألة المثال رقم 2). كما في السابق، تبدأ بالقسمة ثم الضرب وتنتهي بالطرح.

   • بالنسبة للمسألة 3厂136: حدد مرات وجود الرقم 3 في 13، واكتب الإجابة (4) على يمين 0 فوق شريط القسمة، ثم اضرب 4 في 3 واكتب الإجابة (12) أسفل 13. وأخيرًا اطرح 12 من 13 واكتب الإجابة (1) أسفل الـ 12.
8. 
   8
   نفذ خطوات القسمة المطولة مرة أخرى لإيجاد الباقي (مسألة مثال رقم 2). عند الانتهاء من هذه المسألة، لاحظ أن هناك باقٍ (أي، رقم متبقي في نهاية عملية الحساب). ستضع الباقي بجانب إجابتك العددية الصحيحة.

   • بالنسبة لـ 3厂136: أكمل العملية بنفس الخطوات مرة أخرى. أنزل 6 من 136، ليكون الآن المكتوب في الصف السفلي هو 16. اقسم على 3 العدد 16 واكتب النتيجة (5) فوق خط القسمة. اضرب 5 في 3 واكتب النتيجة (15) في صف سفلي جديد. اطرح 15 من 16 واكتب النتيجة (1) في سطر سفلي جديد.
   • نظرًا لعدم وجود المزيد من خانات الأرقام التي يمكن إنزالها في المقسوم، فقد انتهيت من المسألة والرقم 1 في المحصلة النهائية هو الباقي (القدر المتبقي). اكتبه أعلى شريط القسمة بصفته "الباقي" أمام الناتج، لتكون إجابتك النهائية "45 والباقي 1".

طريقة 2

طريقة 2 من 5:

القسمة القصيرة

تنزيل المقال

1. 
   1
   استخدم شريط القسمة لكتابة المسألة. ضع المقسوم عليه، الرقم الذي ستقسم الآخر عليه، خارج (وعلى يسار) شريط القسمة. ضع المقسوم، الرقم الذي ستقسمه، داخل (على يمين وأسفل) شريط القسمة.

   • من أجل إجراء القسمة القصيرة، لا يمكن أن يحتوي المقسوم عليه على أكثر من رقم واحد.
   • مثال مسألة: 518 ÷ 4. في هذه الحالة، ستكون الـ 4 خارج خط القسمة، و518 بداخله.
2. 
   2
   أوجد ما يُضرَب في المقسوم عليه لإيجاد أول رقم من المقسوم. هذه صياغة أخرى للقسمة، أن تحدد عدد المرات التي يتناسب فيها الرقم خارج شريط القسمة مع الرقم الأول من الرقم الموجود داخل شريط القسمة. اكتب الناتج الذي أوجدته في صورة عدد صحيح أعلى خط القسمة، واكتب أي باقي (القدر المتبقي) بخط مرتفع صغير بجانب الرقم الأول من المقسوم.

   • في مسألة النموذج: 4 (المقسوم عليه) يوجد في الـ 5 (الخانة الأولى من المقسوم) مرة واحدة ويتبقى منه 1 (5 ÷ 4 = 1 والباقي 1). ضع حاصل القسمة 1 فوق شريط القسمة المطولة، و1 صغير بخط مرتفع بجانب الرقم 5، لتذكير نفسك بأن لديك باقي 1.
   • يجب أن تبدو 518 الموجودة أسفل الشريط كما يلي: 5¹18.
3. 
   3
   اقسم الباقي مع رقم المقسوم الثاني بالمقسوم عليه. تعامل الآن مع الرقم المرتفع الذي يوضح الباقي باعتباره رقمًا عاديًا (مكتوب بحجم طبيعي)، وضعه بجانب رقم المقسوم على اليمين مباشرةً. حدد عدد مرات وجود المقسوم عليه في هذا العدد الجديد المكون من رقمين، واكتب العدد الصحيح الذي تجده وأي باقٍ كما فعلت سابقًا.

   • في مسألة المثال، العدد الذي يتكون من الباقي والرقم الثاني من المقسوم هو 11. يوجد المقسوم عليه 4 في 11 مرتين، ويتبقى 3 (11 ÷ 4 = 2 والباقي 3). اكتب 2 فوق خط القسمة (مما يعطيك 12) و3 كرقم بخط صغير مرتفع بجانب 1 في 518.
   • يجب أن يبدو المقسوم الأصلي 518 كما يلي: 5¹1³8.
4. 
   4
   كرر العملية حتى تنتهي من كل أرقام المقسوم. استمر في إيجاد عدد المرات التي يحتويها المقسوم عليه من الرقم المكون من الخانة التالية من المقسوم مع الباقي مكتوب على يساره مباشرة. بمجرد أن تمر على جميع أرقام المقسوم، ستكون قد أوجدت الناتج.

   • في مسألة المثال، رقم المقسوم التالي (والأخير) هو 38—الباقي 3 من الخطوة السابقة، مع 8 الخانة الأخيرة من المقسوم. المقسوم عليه 4 يوجد في الـ 38 تسع مرات مع باقي 2 (38 ÷ 4 = 9 والباقي 2)، لأن 4 × 9 = 36، وهو 2 متبقية من 38. اكتب الباقي (2) فوق شريط القسمة لإكمال إجابتك.
   • إذن، إجابتك النهائية أعلى شريط القسمة هي 129 والباقي 2.

طريقة 3

طريقة 3 من 5:

قسمة الكسور

تنزيل المقال

1. 
   1
   اكتب المسألة بحيث يكون الكسرين بجانب بعضهما. لقسمة الكسور، ابدأ بكتابة الكسر الأول متبوعًا برمز القسمة (÷) ثم الكسر الثاني.

   • إذا كانت مسألتك على سبيل المثال هي 3/4 ÷ 5/8، ليكون من الأسهل التعامل مع الكسرين عند حلهما على الورق، استخدم الخطوط الأفقية بدلًا من الخطوط القطرية في كتابة الكسر - للفصل بين البسط (الرقم العلوي) والمقام (الرقم السفلي) لكل كسر.
2. 
   2
   اعكس البسط والمقام في الكسر الثاني. هكذا تكون قد أوجدت مقلوب هذا الكسر.

   • في مسألة المثال، اعكس 5/8 لتصبح 8 في الأعلى و5 في الأسفل.
3. 
   3
   غير علامة القسمة إلى علامة ضرب. تتم قسمة الكسور ببساطة من خلال ضرب الكسر الأول في مقلوب الثاني.

   • على سبيل المثال: 3/4 × 8/5.
4. 
   4
   اضرب بسطي الكسرين. استعمل الطريقة المعتادة لضرب أي كسرين.

   • في هذه الحالة، البسطان هما 3 و8 لهذا 3 × 8 = 24.
5. 
   5
   اضرب مقامي الكسرين بنفس الطريقة. مرة أخرى، هذا بالضبط ما ستفعله لضرب أي كسرين.

   • المقامات هي 4 و5 في مسألة المثال، 4 × 5 = 20.
6. 
   6
   اكتب ناتج ضرب البسطين فوق حاصل ضرب المقامين. الآن بعد أن ضربت البسطين والمقامين في الكسرين، يمكنك تجميعهما لإيجاد حاصل ضرب الكسرين.

   • في مسألة المثال إذن، 3/4 × 8/5 = 24/20.
7. 
   7
   بسّط الكسر إذا كان من الممكن تبسيطه. لتبسيط الكسر، أوجد العامل المشترك الأكبر بين حديه أو أكبر رقم يمكن قسمة أي منهما عليه دون باقي، ثم اقسم البسط والمقام على هذا الرقم.

   • في حالة 24/20، 4الرقم هو أكبر رقم يمكن قسمة كل من 24 و20 عليه بدون باقي. يمكنك معرفة ذلك منخلال كتابة عوامل كلا الرقمين -كل واحد على حدة- واختيار أكبر رقم يمثل عاملًا مشتركًا بين قائمتيهما:
     • 24: 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، 24
     • 20: 1، 2، 4، 5، 10، 20
   • بما أن 4 هو العامل المشترك الأكبر بين 24 و20، اقسم كلا العددين على 4 لتبسيط الكسر.
     • 24/4 = 6
     • 20/4 = 5
     • 24/20 = 6/5. إذن، 3/4 ÷ 5/8 = 6/5
8. 
   8
   أعد كتابة الكسر في صورة عدد كسري إذا كان كسرًا غير اعتيادي. اقسم المقام على البسط واكتب الإجابة في صورة العدد الصحيح، واستخدم الباقي كبسط الكسر الجديد، مع ترك المقام كما هو.

   • في مسألة المثال، العدد 5 موجود في الـ 6 مرة واحدة مع باقي 1، وبالتالي يكون العدد الصحيح الجديد هو 1، والبسط الجديد هو 1 ويبقى المقام 5.
   • نتيجة لذلك: 6/5 = 1 1/5.

طريقة 4

طريقة 4 من 5:

قسمة الأسس

تنزيل المقال

1. 
   1
   تأكد أن الأسس لهما نفس الأساس. لا يمكنك قسمة الأعداد ذات الأسس إلا إذا كانا متماثليْن. في حال عدم تماثل الأسس، سيتعين عليك تغيير صورتهما حتى تتساوى الأساسات إذا كان ذلك ممكنًا.

   • كمثال بسيط مبدئي، لنَحُلّ مسألةً يتساوى فيها الرقمين ذوي الأسس—مثل: 3⁸ ÷ 3⁵..
2. 
   2
   اطرح الأسس. ببساطة اطرح الأس الثاني من الأول. انسَ رقمي الأساس مؤقتًا لهذه الخطوة.

   • في مسألة المثال: 8 - 5 = 3.
3. 
   3
   ضع الأس الجديد فوق الأساس الأصلي. ببساطة اكتب الأس الجديد فوق رقم الأساس الأصلي المشترك، وها قد أوجدت الحل!

   • لذلك: 3⁸ ÷ 3⁵ = 3³.

طريقة 5

طريقة 5 من 5:

قسمة الأعداد العشرية

تنزيل المقال

1. 
   1
   اكتب المسألة على شريط القسمة. ضع المقسوم عليه (أو القاسم) خارج (على يسار) شريط القسمة المطولة، والمقسوم (الرقم الذي ستقسمه على الآخر) داخل شريط القسمة المطولة. لقسمة الأعداد العشرية، عليك أولًا تحويلها إلى أعداد صحيحة.

   • على سبيل المثال: 65.5 ÷ 0.5، 0.5 يُكتب خارج شريط القسمة، و65.5 يوضع بداخله.
2. 
   2
   انقل الفاصلة العشرية بنفس المقدار في كلا العددين، بالقدر الكافي لتحويلهما عددين صحيحين. ما عليك سوى تحريك الفواصل العشرية إلى اليمين حتى تصل لنهاية كل رقم، ثم تأكد بعد ذلك من تحريك كل فاصلة عشرية بنفس المقدار لكل رقم—إذا كان عليك تحريك العلامة العشرية مسافتين في المقسوم عليه، حركها بنفس القدر في المقسوم.

   • تحتاج في مسألة المثال إلى تحريك الفاصلة العشرية مسافة واحدة لكل من المقسوم والمقسوم عليه. إذن 0.5 تصبح 5 و65.5 تصبح 655.
   • مع ذلك، إذا كان العددين في مسألة المثال هما 0.5 و65.55، ستحتاج إلى تحريك العلامة العشرية مرتين في 65.55 لتصبح 6555، ونتيجة لذلك يجب أيضًا تحريك العلامة العشرية في 0.5 خانتين وهو ما يمكنك تحقيقه إذا أضفت صفرًا إلى النهاية ليتحول العدد إلى 50.
3. 
   3
   ضع فاصلة عشرية أعلى شريط القسمة تمامًا فوق الفاصلة بنهاية العدد المقسوم. ضع فاصلة عشرية فوق شريط القسمة المطولة في المكان الذي يعلو فاصلة المقسوم مباشرةً.

   • في مسألة المثال، ستظهر الفاصلة العشرية في 655 بعد آخر 5 (مثل 655.0)، لذا اكتب الفاصلة العشرية أعلى خط القسمة فوق مكان الفاصلة العشرية في 655 مباشرةً.
4. 
   4
   أوجد حل المسألة باستخدام القسمة المطولة. لتقسيم 655 على 5، اتبع الخطوات التالية:

   • اقسم 5 على خانة المئات 6. الناتج هو 1 مع باقي 1. ضع 1 في خانة المئات أعلى شريط القسمة، واطرح 5 من 6 أسفل الرقم ستة.
   • الباقي في مسألتك هو 1. أنزل الـ 5 الأولى في 655 ليتحول الواحد إلى 15. أوجد عدد الخمسات في الـ 15، ستجد أن عددها 3. ضع الـ 3 فوق شريط القسمة بجانب الـ 1.
   • أنزل الـ 5 الأخيرة. اقسم 5 على 5 لتجد الناتج 1، ثم ضع الرقم 1 أعلى شريط القسمة المطولة. لا يوجد باقٍ، بما أن الرقم 5 يُقسم على 5 بدون باقِ.
   • الإجابة هي الرقم الموجود أعلى شريط القسمة المطولة (131)، لذا 655 ÷ 5 = 131. إذا جربت استعمال آلة حاسبة للتأكد فسترى أن هذا أيضًا هو الحل لمسألة القسمة الأصلية، 65.5 ÷ 0.5.