如何求等差数列之和

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评估数列

计算总和

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参考

等差数列是每一项与它的前一项的差等于一个常数的数列。如果要求等差数列之和，你可以将所有数字手动相加。但是，当数列包含大量数字时，就无法使用这种方法了。这时，你可以使用另一种方法，即用数列首项和末项的平均数乘以数列项数，从而快速算出任何等差数列之和。

步骤

部分 1

部分 1 的 3:

评估数列

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   确定数列是等差数列。等差数列是一组有规律的数字，其中各数字的增量是一个常数。本文所述方法仅适用于等差数列。

   • 要确定数列是否是等差数列，你可以计算前面几个数字之间的差值和最后几个数字之间的差值。等差数列的差值应始终相等。
   • 例如，数列10, 15, 20, 25, 30是一个等差数列，因为各项之间的差值等于常数(5)。
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   确定数列的项数。每个数字构成一项。如果数列只包含列出的几个数字，你可以数一数共有多少项。否则，在知道首项、末项，以及被称为公差的各项之差的情况下，你可以使用公式来算出项数。我们可以使用变量$n$来代表这个数字。

   • 例如，如果你要计算数列10, 15, 20, 25, 30之和，则$n=5$，因为数列共有5项。
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   确定数列的首项和末项。要计算等差数列之和，你必须知道这两个数字。第一个数字常常为1，但也并不一定。我们可以设变量$a_{1}$等于数列首项，变量$a_{n}$等于数列末项。

   • 例如，在数列10, 15, 20, 25, 30中，$a_{1}=10$，而$a_{n}=30$。
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部分 2

部分 2 的 3:

计算总和

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   列出计算等差数列之和的公式。公式为$S_{n}=n({\frac {a_{1}+a_{n}}{2}})$，其中$S_{n}$等于数列之和。

   • 注意，此公式表明等差数列之和等于首项和末项的平均数乘以项数。
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   将变量$$ n {\displaystyle n} 、$$ a 1 {\displaystyle a_{1}} 和$$ a n {\displaystyle a_{n}} 代入公式中。确保代入步骤正确。

   • 例如，如果数列有5项，首项为10，末项为30，则代入后公式变成：$S_{n}=5({\frac {10+30}{2}})$。
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   计算首项和末项的平均数。将两个数字相加，然后除以2。

   • 例如：
     $S_{n}=5({\frac {40}{2}})$
     $S_{n}=5(20)$
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   用平均数乘以数列的项数。这样就算出了等差数列之和。

   • 例如：
     $S_{n}=5(20)$
     $S_{n}=100$
     因此，数列10, 15, 20, 25, 30之和等于100。
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部分 3

部分 3 的 3:

完成例题

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   计算1到500之间所有数字之和。考虑所有的连续整数。

   • 确定数列的项数$n$。由于需要考虑500以内的所有连续整数，因此$n=500$。
   • 确定数列的首项$a_{1}$和末项$a_{n}$。由于数列是从1到500，所以$a_{1}=1$，而$a_{n}=500$。
   • 计算$a_{1}$和$a_{n}$的平均数：${\frac {1+500}{2}}=250.5$。
   • 用平均数乘以$n$：$250.5\times 500=125,250$。
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   求下述等差数列之和。数列的首项为3。数列的末项为24。公差为7。

   • 确定数列的项数$n$。由于数列的第一项为3，最后一项为24，而每一项比前一项大7，所以这个数列是3, 10, 17, 24。以上推论是根据公差的定义得出，公差即数列中各项与前一项之差。这意味着$n=4$
   • 确定数列的首项$a_{1}$和末项$a_{n}$。由于数列是从3到24，所以$a_{1}=3$，而$a_{n}=24$。
   • 计算$a_{1}$和$a_{n}$的平均数：${\frac {3+24}{2}}=13.5$。
   • 用平均数乘以$n$：$13.5\times 4=54$。
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   解以下问题。陈静在一年的第一周存了5元钱。在这一年中剩下的时间里，她每周会比前一周多存5元钱。年末时，陈静共存了多少钱？

   • 确定数列的项数$n$。由于陈静存了1年，而1年有52周，所以$n=52$。
   • 确定数列的首项$a_{1}$和末项$a_{n}$。她存的第一笔钱金额为5元，所以$a_{1}=5$。她在这一年最后一周存的金额可以计算得出，$5\times 52=260$。因此，$a_{n}=260$。
   • 计算$a_{1}$和$a_{n}$的平均数：${\frac {5+260}{2}}=132.5$。
   • 用平均数乘以$n$：$135.5\times 52=7,046$。所以，她在年末时共存了7,046元。
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