등차수열의 합을 구하는 방법

등차수열은 이전 항에 차례로 일정한 값을 더하여 만들어진 수열입니다. 그리고 등차수열의 합은 모든 항의 값을 일일이 더해서 구할 수 있습니다. 하지만 항의 개수가 많은 등차수열의 경우 일일이 더하는 방식은 비실용적입니다. 대신에 첫째항과 끝항의 평균값을 전체 항의 개수로 곱하는 공식을 이용하면 보다 빨리 등차수열의 합을 구할 수 있습니다.

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등차수열을 파악하기

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우선 등차수열인지 확인하세요. 등차수열은 공차가 일정한 수열을 의미합니다.^{[1]X출처 검색하기} 그리고 등차수열의 합 공식은 오로지 등차수열일 경우에만 사용할 수 있습니다.
- 등차수열인지 아닌지를 확인하기 위해서 수열의 맨앞에 있는 항 3, 4개와 끝에 있는 항 3, 4개의 차이값을 각각 계산하세요. 등차수열의 경우 연속된 두 항의 차이값이 항상 같아야 합니다.
- 예를 들어서 10, 15, 20, 25, 30으로 이루어진 수열은 등차수열입니다. 왜냐하면 연속된 두 항의 차이값(5)이 일정하기 때문입니다.
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등차수열을 이루는 모든 항의 개수를 구하세요. 수열을 이루는 각각의 숫자를 항이라고 부릅니다. 만약 항의 개수가 많지 않다면 직접 세어보세요. 그리고 항의 개수가 많을 경우에는 첫째항, 끝항 그리고 공차(연속된 두 항의 차이값)를 알면 공식을 이용해서 항의 개수를 구할 수 있습니다. 그러므로 일단 항의 개수를 미지수 $n$ $How.com.vn 한국어: {\displaystyle n}$ 으로 나타내세요.
- 예를 들어서 10, 15, 20, 25, 30으로 이루어진 수열의 합을 계산할 경우 $n=5$ 입니다. 왜냐하면 총 5개의 항으로 이루어진 수열이기 때문입니다.
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등차수열의 첫째항과 끝항을 파악하세요. 등차수열의 합을 구하기 위해서는 첫째항과 끝항을 알아야 합니다. 흔히 첫째항은 1인 경우가 많지만 항상 그런 것은 아닙니다. 그러므로 수열의 첫째항을 미지수 $a_{1}$ $How.com.vn 한국어: {\displaystyle a_{1}}$ 로 나타내고 끝항을 $a_{n}$ $How.com.vn 한국어: {\displaystyle a_{n}}$ 으로 나타내세요.
- 예를 들어서 10, 15, 20, 25, 30으로 이루어진 수열의 경우 $a_{1}=10$ 그리고 $a_{n}=30$ 입니다.
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등차수열의 합을 구하기

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등차수열의 합을 구하기 위해서 우선 공식을 적으세요. 등차수열의 합 공식은 $S_{n}=n({\frac {a_{1}+a_{n}}{2}})$ $How.com.vn 한국어: {\displaystyle S_{n}=n({\frac {a_{1}+a_{n}}{2}})}$ 입니다. 바로 $S_{n}$ $How.com.vn 한국어: {\displaystyle S_{n}}$ 이 등차수열의 합을 의미합니다.^{[2]X출처 검색하기}
- 공식을 보면 등차수열의 합은 첫째항과 끝항의 평균값을 전체 항의 개수로 곱한 값과 같다는 사실을 알 수 있습니다.^{[3]X출처 검색하기}
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공식에 있는 각각의 미지수 $n$ , $a_{1}$ , $a_{n}$ 에 해당 값을 넣으세요. 정확한 값을 넣었는지 꼭 확인하세요.
- 예를 들어서 만약 등차수열의 항의 개수가 총 5개이며 첫째항은 10, 끝항은 30일 경우 올바른 공식은 $S_{n}=5({\frac {10+30}{2}})$ 입니다.
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첫째항과 끝항의 평균값을 계산하세요. 평균값을 구하기 위해서는 두 숫자를 더한 후 2로 나누면 됩니다.
- 예시:
  $S_{n}=5({\frac {40}{2}})$
  $S_{n}=5(20)$
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평균값과 전체 항의 개수를 곱하세요. 두 숫자를 곱한 값이 바로 등차수열의 합입니다.
- 예를 들어서
  $S_{n}=5(20)$
  $S_{n}=100$
  이므로 10, 15, 20, 25, 30으로 이루어진 등차수열의 합은 100입니다.
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연습문제를 풀어보기

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1~500 사이에 있는 모든 숫자들의 합을 구하세요. 모든 숫자는 정수라고 가정하세요.
- 수열에 있는 모든 항의 개수( $n$ )를 구하세요. 수열의 모든 숫자는 연속된 정수이므로 $n=500$ 입니다.
- 수열의 첫째항( $a_{1}$ )과 끝항( $a_{n}$ )을 파악하세요. 해당 수열은 1~500 사이의 모든 정수를 포함하므로 $a_{1}=1$ 그리고 $a_{n}=500$ 입니다.
- $a_{1}$ 과 $a_{n}$ 의 평균값: ${\frac {1+500}{2}}=250.5$
- 평균값과 $n$ 을 곱한 값: $250.5\times 500=125,250$
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다음과 같은 등차수열의 합을 구하세요. 수열의 첫째항은 3, 끝항은 24이며 공차는 7입니다.
- 수열을 이루는 모든 항의 개수( $n$ )를 구하세요. 첫째항이 3, 끝항이 24이며 공차는 7이므로 해당 수열은 3, 10, 17, 24로 이루어져 있습니다. (참고로 공차는 연속된 두 항의 차이값을 의미합니다.)^{[4]X출처 검색하기} 그러므로 $n=4$ 입니다.
- 수열의 첫째항( $a_{1}$ )과 끝항( $a_{n}$ )을 파악하세요. 해당 수열은 3에서 24까지 이어지므로 $a_{1}=3$ 그리고 $a_{n}=24$ 입니다.
- $a_{1}$ 과 $a_{n}$ 의 평균값: ${\frac {3+24}{2}}=13.5$
- 평균값과 $n$ 을 곱한 값: $13.5\times 4=54$
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다음 문제를 풀이하세요. 민정이는 한 해의 첫째 주에 5000원을 저금합니다. 그리고 1년 동안 매주마다 이전주에 저금한 금액에서 5000원을 더해서 저금할 경우 민정이가 1년 동안 저금하게 될 액수는 총 얼마일까요?
- 수열을 이루는 모든 항의 개수( $n$ )를 구하세요. 민정이는 1년 동안 52번(1년 = 52주) 저금을 하므로 $n=52$ 입니다.
- 수열의 첫째항( $a_{1}$ )과 끝항( $a_{n}$ )을 파악하세요. 민정이가 첫째 주에 저금하는 금액은 5000원이므로 $a_{1}=5000$ 입니다. 그리고 민정이가 1년의 마지막 주에 저금하게 될 금액을 계산한 값은 $5000\times 52=260,000$ 입니다. 그러므로 $a_{n}=260,000$ 입니다.
- $a_{1}$ 과 $a_{n}$ 의 평균값: ${\frac {5000+260,000}{2}}=132,500$
- 평균값과 $n$ 을 곱한 값: $132,500\times 52=6,890,000$ 이므로 민정이가 1년 동안 저금하게 될 금액은 총 6,890,000원입니다.
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