كيفية تقريب الأعداد

تنزيل المقال

تنزيل المقال

تقريب الأعداد واحدة من مهارات الرياضيات التي تسهّل عليك حل المعادلات والوصول لإجابات في حياتك اليومية في المسائل المتعلقة بالحساب. الأعداد المقربة أقل دقة من الأعداد غير المقربة، لكنها في المقابل أسهل في العمليات الحسابية وكذلك يسهل تذكرها. عملية التقريب هي التعبير عن العدد بقيمة أكبر أو أصغر منه، ولكنها قيمة محددة أكثر، ويمكن تقريب الأعداد الصحيحة والعشرية والكسور، كل منهم بطريقته الخاصة. تتعرف في هذا المقال على خطوات حساب عملية التقريب بنفسك يدويًا بحسب احتياجك، كما نستعرض في أقسام من المقال طريقة التقريب بواسطة الآلة الحاسبة أو برنامج إكسل (أو برمجيات جداول البيانات عمومًا). تضمن لك الآلة الحاسبة وبرمجيات الكمبيوتر نتيجة دقيقة بنسبة 100% -طالما طبقت الخطوات بشكل صحيح- ومن ثم يمكنها أن تسهل عليك العمل أو أن تستخدمها للتحقق من النتائج.

الخطوات

طريقة 1

طريقة 1 من 6:

فهم عملية التقريب

تنزيل المقال

1. 
   1
   قرب الأعداد ليسهل عليك التعامل معها. تكون الأعداد المحتوية على كسور عشرية طويلة صعبة في العمليات الحسابية، ولا حاجة للتعامل معها بهذا الشكل في الحياة اليومية، مثل التسوق ووضع الميزانيات، وإن كانت في المقابل مهمة للغاية في الحسابات الدقيقة. قد يكون تقريب الأعداد لقيمة مختصرة أكبر أو أصغر حلًا عمليًا لتسهل على نفسك التعامل مع تلك الأعداد.

   • تعامل مع هذه الخطوة بصفتها عملية حسابية "تقديرية".
2. 
   2
   حدد القيمة الرقمية التي تُقرب إليها العدد. يمكن تقريب الأعداد لأي قيمة رقمية أو واحدة من خاناته، لكن استوعب أنه كلما كان التقريب لخانة رقمية أقل، ظللت محافظًا بنسبة أكبر على دقة العدد. 1.92 قيمة تقريبية للعدد 1.9243 أكثر من 2.

   • العدد 813.265 مثلًا، يمكن تقريبه إلى خانة المئات أو العشرات أو الآحاد أو أي من خاناته العشرية، بحسب احتياجك أو المطلوب في المسألة التي تحلها.
3. 
   3
   انظر إلى الخانة على يمين القيمة الرقمية التي تقرب إليها. على سبيل المثال، عند التقريب للعشرات، انظر إلى خانة الآحاد. تحديد قيمة التقريب هي القاعدة التي ينتظم من خلالها كل الخطوات التالية، لذا فهي في غاية الأهمية ويجب أن تحددها بوضوح قبل بدء العمل.

   • العدد 813.265، عند تقريبه إلى خانة الجزء من عشرة، تنظر إلى الخانة عن يمينها؛ أي إلى خانة الجزء من مائة.
4. 
   4
   أبقِ الخانة بقيمتها الحالية إذا كان الرقم على يمينها أقل من 5. إن كانت قيمة الرقم في الخانة على اليمين أقل من 5 (0 أو 1 أو 2 أو 3 أو 4)، تظل قيمة الخانة التي تُقرب إليها كما هي (بنفس قيمتها). يعني ذلك أن القيمة فيما بعد خانة التقريب تتحول إلى 0؛ أي تحذف هي وكل ما يليها دون تغيير وهو ما يُسمى "التقريب للأدنى".

   • مثال: عند تقريب العدد 0.74 إلى خانة الجزء من عشرة، تنظر إلى الخانة على يمينها (4)؛ بما أن 4 أقل من 5، سوف تحذف تلك القيمة -وما يليها على اليمين- وتظل قيمة خانة التقريب 7 كما هي، فتكون الإجابة هي: 0.7.
5. 
   5
   أضف للخانة 1 إذا كان الرقم على يمينها أكبر من 5. إن كانت الخانة على يمين خانة التقريب قيمتها أكبر من أو تساوي 5 (5 أو 6 أو 7 أو 8 أو 9)، اجمع قيمة 1 مع خانة التقريب، بينما تصبح قيمة أي خانة أصغر تالية هي 0. يُسمى ذلك بالتقريب لأعلى.

   • مثال: العدد 35، عند تقريبه إلى خانة العشرات، تنظر إلى الخانة على اليمين (خانة الآحاد)، وقيمتها 5. بما أنها تساوي أو أكبر من 5، سوف يُضاف 1 إلى خانة التقريب (1 في خانة العشرات يساوي 10؛ انتبه إلى ذلك). بإضافة 1 إلى 3، تصبح قيمة خانة العشرات هي 4، وتتحول قيمة خانة الآحاد إلى 0 (انتبه لعدم حذف خانة الآحاد كي لا تصبح الإجابة خاطئة). ستكون قيمة التقريب النهائية هي 40.

طريقة 2

طريقة 2 من 6:

تقريب الكسور العشرية

تنزيل المقال

1. 
   1
   حدد القيمة/ الخانة الرقمية التي سيتم التقريب إليها. يحدد هذا الشرط من قبل الأستاذ أو ضمن المسألة في حالة حل المسائل الرياضية التعليمية، بينما يمكنك أن تحدده بنفسك بناءً على الحالة ومجموعة الأرقام التي تتعامل معها. على سبيل المثال، بالنسبة للأموال، يُقرب الرقم عادة إلى أقرب جزء من المئة أو إلى أقرب قيمة صحيحة بالقروش (أو العملة المناظرة). بالنسبة للوزن، يمكنك التقريب إلى أقرب جزء من عشرة (أو إلى أقرب كجم؛ أي قيمة صحيحة) وهكذا.

   • كلما قل احتياجك للدقة الشديدة في الأرقام، أمكنك التقريب لقيمة أكبر.
   • كلما كان من الضروري الوصول لعدد دقيق جدًا، من الأفضل التقريب في نطاق أضيق.
   • عند تقريب الأعداد الكسرية، قم بتحويلها إلى قيمة عشرية قبل التقريب.
2. 
   2
   حدد موقع الخانة التي سيتم التقريب إليها. عند العمل على العدد "10.7659"، وبافتراض أنه سيتم تقريبه إلى أقرب جزء من ألف (أي خانة الجزء من ألف)، فإن قيمتها هي "5"؛ الخانة الثالثة بعد العلامة العشرية. يماثل ذلك تقريب الأعداد المعنوية إلى الخانة الخامسة (يُشرح تقريب الأعداد المعنوية في جزء منفصل تالٍ من المقال). لنركز على الخانة بقيمة "5" الآن.
3. 
   3
   تعرف على قيمة الرقم في الخانة على يمين الخانة التي يُقرب إليها العدد. ألقِّ نظرة على على الخانة على يمين خانة التقريب. في المثال السابق، ستكون هي الخانة بقيمة الرقم "9" على يمين الخانة بقيمة الرقم "5". تحدد قيمة هذه الخانة (أكبر من أو تساوي خمسة أم أقل من 5) ما إن كان سيتم تقريبها لقيمة أعلى أم قيمة أدنى.
4. 
   4
   أضف إلى خانة التقريب 1 إن كانت الخانة على يمينها أكبر من أو تساوي 5. يُسمى ذلك التقريب لقيمة أعلى، ما يعني أن الرقم بعد التقريب ستكون قيمته أعلى من الرقم الأصلي. في المثال السابقة، خانة الجزء من ألف بقيمة "5"، سوف تصبح 6، ويحذف كل الخانات العشرية على اليمين (لأن قيمتها تصبح مساوية للصفر)، بينما تظل الخانات على يسارها بنفس قيمتها. عند تقريب العدد "10.7659" إلى أقرب جزء من ألف، وبما أن 9 > 5، ستصبح قيمة الخانة الأصلية +1؛ أي "6"، فيكون العدد بعد التقريب هو "10.766".

   • الرقم 5 في المنتصف بين خط الأرقام من 1 إلى 9؛ يوجد طريقتين للتقريب، الأولى تطبق التقريب لأعلى في حالة كان قيمة الخانة هي 5، بينما الثانية يُطبق فيها التقريب لأدنى إن كانت القيمة هي 4. تحقق جيدًا من الأسلوب المتبع للتقريب في المسألة أو اختر بنفسك الأسلوب المناسب لاستخدامك.
   • تطبق بعض الجهات، مثل: المعهد الوطني للمعايير والتقنية (NIST)، طريقة مختلفة في التقريب. عندما تكون قيمة الخانة المقرب منها (أول خانات في الخانات التي سيتم إهمالها بعد التقريب) هي 5، تُلقى نظرة على الخانات على يمينها؛ إن كانت كل الخانات التالية بقيمة مختلفة عن 0، يتم التقريب لأعلى. إن كانت كل الخانات التالية بقيمة 0 (أي عدم وجود خانات تالية)، يتم التقريب لأعلى إن كان العدد في الخانة المقرب إليها عددًا فرديًا (أي يُضاف للخانة المقرب إليها 1) ويُقرب لأدنى إن كان العدد في الخانة المقرب إليها زوجيًا (أي لا تتغير قيمة الخانة المقرب إليها). ستكون الخانة الأخيرة في العدد بعد التقريب بقيمة زوجية.
5. 
   5
   قرب الخانة المقرب إليها لأدنى (أي أبقها على نفس قيمتها) إن كانت قيمة الخانة المقرب منها أقل من 5. إن كان الرقم في الخانة على يمين الخانة المقرب إليها قيمته أقل من 5، تظل قيمة الخانة المقرب إليها كما هي. تُسمى هذه العملية "التقريب لأدنى"، ولكن لا يقصد بذلك أن تقل قيمة الخانة نفسها، بل أن تقل قيمة الرقم، باستبدال قيمتها بصفر. في مثال تقريب العدد "10.7653" إلى أقرب جزء من ألف، سوف يُقرب لأدنى وتصبح قيمته "10.765"، لأن الرقم 3 على يمين خانة التقريب قيمته أقل من 5.

   • بإبقاء قيمة خانة التقريب كما هي وتحويل قيمة كل الخانات التالية على اليمين إلى صفر، تكون قيمة العدد بعد التقريب أصغر من العدد الأصلي، ومن ثم تُسمى "التقريب لأدنى" أي التقريب الكلي للعدد جعله بقيمة أدنى من قيمته الأصليه.
   • تُمثل الخطوتين السابقتين في أغلبية الآلات الحاسبة على أجهزة الكمبيوتر باسم "تقريب 5/4". انقر على زر التفعيل/ الغلق للضبط على نظام التقريب 5/4 للوصول لهذه النتائج.

طريقة 3

طريقة 3 من 6:

تقريب الأعداد الصحيحة

تنزيل المقال

1. 
   1
   قرب العدد إلى خانة العشرات. انظر على قيمة الرقم في خانة الآحاد (الخانة على يمين خانة العشرات). خانة العشرات هي الخانة الثانية من اليسار في العدد الصحيح (بدون كسور)، على يسار خانة الآحاد. خانة الآحاد في العدد 12 هي 2 وخانة العشرات هي 1 على سبيل المثال. إن كانت قيمة الرقم في خانة الآحاد أقل من 5، يتم التقريب لأدنى؛ أي تبقى قيمة الخانة المقرب إليها كما هي. إن كانت قيمة خانة الآحاد أكبر من أو تساوي 5، يُضاف 1 إلى قيمة الرقم في خانة العشرات. فيما يلي المزيد من الأمثلة:

   • 12 --> 10
   • 114 --> 110
   • 57 --> 60
   • 1,334 --> 1330
   • 1,488 --> 1490
   • 97 --> 100
2. 
   2
   قرب العدد إلى خانة المئات. اتبع نفس القواعد السابقة لتقريب الأعداد لكن مع الانتباه إلى خانة المئات وخانة العشرات؛ اطلع على قيمة خانة المئات، وهي الخانة الثالثة من اليمين، على يسار خانة العشرات مباشرة. (العدد 1234، خانة المئات بقيمة 2). اطلع على قيمة الخانة على يمينها (خانة العشرات)، لتقرر ما إن كان التقريب سيتم لأعلى أم أدنى. بعد التقريب، حول قيمة الخانات التالية على اليمين كلها إلى أصفار. فيما يلي بعض الأمثلة:

   • 7,891 --> 7,900
   • 15,753 --> 15,800
   • 99,961 --> 100,000
   • 3,350 --> 3,400
   • 450 --> 500
3. 
   3
   قرب العدد إلى خانة الآلاف. سوف تطبق القواعد السابقة نفسها، لكن حدد من البداية خانة الآلاف، وهي الخانة الرابعة في العدد من على اليمين، وبعدها تعرف على قيمة خانة المئات، أي الخانة على يمين خانة الآلاف. إن كانت قيمة خانة المئات أقل من 5، قرب لأدنى، أما إن كانت أكبر من أو تساوي 5، قرب خانة الآلاف لأعلى. فيما يلي بعض الأمثلة لعمليات التقريب لأعلى.

   • 8,800 --> 9,000
   • 1,015 --> 1,000
   • 12,450 --> 12,000
   • 333,878 --> 334,000
   • 400,400 --> 400,000

طريقة 4

طريقة 4 من 6:

تقريب الأرقام المعنوية

تنزيل المقال

1. 
   1
   تعرف على ماهية الخانة المعنوية. الخانة المعنوية هي خانة "هامة" أو "ذات طبيعة خاصة" في العدد يُعرف من خلالها معلومات هامة عن العدد. يعني ذلك أنه، لمعرفة عدد الخانات المعنوية، لا يتم عد أية خانة قيمتها 0 على يمين العدد الصحيح أو على يسار العلامة العشرية بما أنها مجرد "سد خانة". لمعرفة عدد الخانات المعنوية في أي عدد، قم بعد الخانات من اليسار لليمين. فيما يلي بعض الأمثلة:

   • 1.239 يحتوي على 4 خانات معنوية
   • 134.9 يحتوي على 4 خانات معنوية
   • .0165 يحتوي على 3 خانات معنوية.
2. 
   2
   قم بعملية التقريب وفقًا لعدد الخانات المعنوية. تختلف الطريقة بناءً على متطلبات المسألة الرياضية التي تحلها. عند التقريب إلى خانتين معنويتين، على سبيل المثال، حدد موقع وقيمة الخانة المعنوية الثانية من العدد، ثم بناءً على قيمة الخانة عن يمينها، قرر ما إن كان التقريب لأدنى أم أعلى. فيما يلي بعض الأمثلة:

   • عند تقريب 1.239 إلى ثلاثة خانات معنوية، يصبح 1.24 بما أن قيمة الخانة على يمين الخانة الثالثة (3) قيمتها (9)؛ أكبر من أو تساوي 5.
   • عند تقريب العدد 134.9 إلى خانة معنوية واحدة، يصبح 100. بما أن الخانة على يمين خانة المئات (الخانة الأولى) قيمتها هي 3، و3 أقل من أو تساوي 5.
   • عند تقريب 0.0165 إلى خانتين معنويتين، يصبح 0.017. بما أن الخانة المعنوية الثانية هي (6)، وقيمة الخانة على يمينها (5)، ومن ثم يتم تقريبها لأعلى.
3. 
   3
   تعلم الطريقة الصحيحة لتقريب الأعداد المعنوية في عملية الجمع. احسب أولًا عملية الجمع، وبعدها بناءً على العدد المجموع ذي العدد الأقل من الخانات، قم بعملية تقريب الناتج النهائي من الجمع. فيما يلي مثال مفصل لهذه الطريقة:

   • 13.214 + 234.6 + 7.0350 + 6.38 = 261.2290
   • تجد أن العدد الثاني (234.6) ينتهي عند خانة الجزء من عشرة، ويحتوي على 4 خانات معنوية.
   • قرّب ناتج الجمع لخانة الجزء من عشرة، ليصبح 261.2290 بعد التقريب 261.2.
4. 
   4
   تعلم الطريقة الصحيحة لتقريب الأعداد المعنوية في عمليات الضرب. احسب أولًا عملية الضرب لمعرفة الناتج. حدد العدد من أعداد عملية الضرب المحتوي على عدد أقل من الخانات المعنوية، وبناءً على عدد خاناته، قرّب الناتج النهائي ليتطابق مع مدى دقة العدد ذي العدد الأقل من الخانات المعنوية. فيما يلي مثال توضيحي:

   • 16.235 × 0.217 × 5 = 17.614975
   • لاحظ أن العدد 5 يحتوي على خانة واحدة معنوية فقط، ومن ثم يجب أن تكون الإجابة النهائية بعد التقريب محتوية على خانة معنوية واحدة فقط.
   • العدد 17.614975 بعد التقريب لخانة معنوية واحدة يصبح 20.

طريقة 5

طريقة 5 من 6:

التقريب على الآلة الحاسبة

تنزيل المقال

1. 
   1
   اختر خاصية "التقريب" (Round) من على الآلة الحاسبة. هل تستخدم آلة حاسبة من نوع "تي آي 84" (TI-84)؟ انقر على زر Math ثم مرر الشاشة لأسفل وصولًا إلى تسمية "NUM" ثم اختر خاصية التقريب (Round) وانقر بعدها على زر "موافق" (OK).

   • قد تحتوي الآلات الحاسبة من نوع "تي آي" على خواص أو قوائم مختلفة.
2. 
   2
   اكتب الرقم المُراد تقريبه. سوف يُكتب على شاشة الآلة الحاسبة اختصار خاصية التقريب "round(..". اكتب بواسطة لوحة مفاتيح الآلة الحاسبة العدد المُراد تقريبه، لكن لا تنقر على "إدخال" بعد، بل أكمل الخطوات التالية.

   • عند تقريب الكسور، حول الكسر إلى كسر عشري أولًا.
3. 
   3
   اكتب الفاصلة ثم عدد الخانات العشرية المُراد التقريب إليها . بعد إدخال العدد المُراد تقريبه، ابحث عن زر الفاصلة في الآلة الحاسبة وانقر عليه. بعد ذلك اكتب عدد الخانات العشرية المُراد التقريب إليها.

   • سيكون المكتوب على الآلة الحاسبة مماثلًا لما يلي: round(6.234, 1).
   • في حالة عدم تحديد عدد خانات التقريب العشرية، سوف يظهر على الشاشة رسالة خطأ أو كسر بقيمة غريبة وغير صحيحة على الإطلاق.
4. 
   4
   أغلق القوس ثم انقر على "إدخال" (Enter). بعد التأكد من إدخالك لعدد الخانات المُراد التقريب إليها، اكتب قوسًا لإغلاق المعادلة ثم انقر على زر "إدخال". سوف يظهر على الشاشة العدد بعد التقريب بعدد الخانات التي حددتها.

طريقة 6

طريقة 6 من 6:

التقريب على برنامج إكسل

تنزيل المقال

1. 
   1
   انقر على الخلية بجوار العدد المُراد تقريبه. اكتب العدد/ الأعداد في خلاياها بطريقة صحيحة وتأكد من عدم وجود أية أخطاء. بعد ذلك انقر بزر الفأرة على الخلية المجاورة للعدد المُراد تقريبه (في حالة كانت خلية فارغة، أو اختر أي خلية أخرى تناسبك).

   • سوف يظهر في الخلية المحددة العدد بعد تقريبه.
2. 
   2
   اكتب "=ROUND(" في حقل إدخال المعادلة. في حقل إدراج المعادلات في أعلى الشاشة، اكتب علامة تساوي وبعدها كلمة ROUND متبوعة بقوس مفتوح. تم بذلك كتابة معادلة التقريب وما تبقى فقط هو إدخال البيانات اللازمة لإتمامها.

   • المعادلة بسيطة لكن تأكد من كتابتها بطريقة صحيحة لتضمن صحة النتائج لاحقًا.
3. 
   3
   انقر على الخلية المُراد تقريبها. يتم بذلك تحديد الخلية وإدراج بياناتها بداخل المعادلة. سوف يظهر اسم الخلية (رقمها وحرفها) في صندوق Fx.

   • مثال: إن نقرت على الخلية A1، سوف يظهر في صندوق المعادلات Fx البيانات التالية: "=ROUND(A1.
4. 
   4
   اكتب فاصلة وبعدها عدد الخانات العشرية المُراد التقريب إليها. مثال، حال رغبت في تقريب الخلية إلى 3 خانات عشرية، اكتب ",3". هل ترغب في التقريب إلى أقرب عدد صحيح (خانة الآحاد)؟ اكتب 0.

   • هل ترغب في التقريب إلى خانة العشرات؟ اكتب (-1)، و(-2) لخانة المئات، وهكذا.
5. 
   5
   أغلق القوس ثم انقر على زر الإدخال (Enter). للانتهاء من المعادلة، اكتب قوس إغلاق بعد المعادلة. انقر على زر "إدخال" من لوحة المفاتيح وستظهر لك نتيجة التقريب في الخلية.

   • سوف تظهر القيمة بعد التقريب في الخانة التي ضغطت عليها في البداية.

أفكار مفيدة

• بمجرد تحديد الخانة التي سيتم التقريب إليها، ضع تحتها خطًا. يضمن لك ذلك عدم الخلط بين الخانة التي تُقرب إليها والخانة التي تُقرب منها، فالأولى هي التي يتغير أو لا يتغير قيمتها، بينما الخانة التالية لها على اليمين هي التي تحدد ما إن كان سيحدث هذا التغير أم لا.
• يوجد العديد من الآلات الحاسبة الإلكترونية المتاحة للاستخدام المجاني.

تحذيرات

• انتبه للغاية للشروط المحددة لعملية التقريب في حالة التعامل مع الأرقام العشرية.