Как найти площадь равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны. Равные (боковые) стороны пересекают третью сторону (основание) под одним углом, а точка пересечения равных сторон находится над серединой основания. В этом можно убедиться с помощью линейки и двух карандашей одинаковой длины: если наклонить треугольник в одну или другую сторону, кончики карандашей не соединятся. Такие свойства равнобедренного треугольника позволяют вычислить его площадь всего лишь по нескольким известным величинам.

Метод 1

Метод 1 из 2:

Как вычислить площадь по боковым сторонам

Загрузить PDF

1
Выясните, как найти площадь параллелограмма. Квадраты и прямоугольники являются параллелограммами, как и любая другая четырехсторонняя фигура, у которой противоположные стороны параллельны. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: S = bh,^{[1]XИсточник информации} где «b» – основание (нижняя сторона параллелограмма), «h» – высота (расстояние от верхней до нижней стороны; высота всегда пересекает основание под углом 90°).
- В квадратах и прямоугольниках высота равна боковой стороне, так как боковые стороны пересекают верхнюю и нижнюю стороны под прямым углом.
Между этими фигурами существует простая связь. Если любой параллелограмм разрезать по диагонали, получатся два равных треугольника. Аналогично, если сложить два равных треугольника, получится параллелограмм. Поэтому площадь любого треугольника вычисляется по формуле: S = ½bh, что составляет половину площади параллелограмма.
3
Найдите основание равнобедренного треугольника. Теперь вы знаете формулу для вычисления площади треугольника; осталось выяснить, что такое «основание» и «высота». Основание (обозначается как «b») – это сторона, которая не равна двум другим (равным) сторонам.
- Например, если стороны равнобедренного треугольника равны 5 см, 5 см, 6 см, в качестве основания выберите сторону, которая равна 6 см.
- Если все стороны треугольника равны (равносторонний треугольник), в качестве основания выберите любую сторону. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника, но его площадь вычисляется так же.^{[2]XИсточник информации}
4
Опустите перпендикуляр на основание. Сделайте это из вершины треугольника, которая противоположна основанию. Помните, что перпендикуляр пересекает основание под прямым углом. Такой перпендикуляр является высотой треугольника (обозначается как «h»). Как только вы найдете значение «h», вы сможете вычислить площадь треугольника.
- В равнобедренном треугольнике высота пересекает основание точно посередине.
5
Посмотрите на половину равнобедренного треугольника. Обратите внимание, что высота разделила равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Посмотрите на один из них и найдите его стороны:
- Короткая сторона равна половине основания: ${\frac {b}{2}}$ .
- Вторая сторона – это высота «h».
- Гипотенуза прямоугольного треугольника является боковой стороной равнобедренного треугольника; обозначим ее как «s».
6
Воспользуйтесь теоремой Пифагора. Если известны две стороны прямоугольного треугольника, его третью сторону можно вычислить по теореме Пифагора: (сторона 1)² + (сторона 2)² = (гипотенуза)². В нашем примере теорема Пифагора запишется так: $({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$ $How.com.vn Русский: ({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$ .
- Скорее всего, теорема Пифагора вам известна в такой записи: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Мы употребляем слова «сторона 1», «сторона 2» и «гипотенуза», чтобы предотвратить путаницу с переменными из примера.
7
Вычислите значение «h». Помните, что в формуле для вычисления площади треугольника есть переменные «b» и «h», но значение «h» неизвестно. Перепишите формулу, чтобы вычислить «h»:
- $({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$
  $h^{2}=s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2}$
  $h={\sqrt {(}}s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2})$ .
8
В формулу подставьте известные значения и вычислите «h». Эту формулу можно применить к любому равнобедренному треугольнику, стороны которого известны. Вместо «b» подставьте значение основания, а вместо «s» – значение боковой стороны, чтобы найти значение «h».
- В нашем примере: b = 6 см; s = 5 см.
- Подставьте значения в формулу:
  $h={\sqrt {(}}s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2})$
  $h={\sqrt {(}}5^{2}-({\frac {6}{2}})^{2})$
  $h={\sqrt {(}}25-3^{2})$
  $h={\sqrt {(}}25-9)$
  $h={\sqrt {(}}16)$
  $h=4$ см.
9
Подставьте значения основания и высоты в формулу для вычисления площади треугольника. Формула: S = ½bh; подставьте в нее значения «b» и «h» и вычислите площадь. В ответе не забудьте написать квадратные единицы измерения.
- В нашем примере основание равно 6 см, а высота равна 4 см.
- S = ½bh
  S = ½(6 см)(4 см)
  S = 12 см².
10
Рассмотрим более сложный пример. В большинстве случаев вам будет дана более трудная задача, чем рассмотренная в нашем примере. Чтобы вычислить высоту, нужно извлечь квадратный корень, который, как правило, не извлекается нацело. В этом случае запишите значение высоты в виде упрощенного квадратного корня. Вот новый пример:
- Вычислите площадь равнобедренного треугольника, стороны которого равны 8 см, 8 см, 4 см.
- В качестве основания «b» выберите сторону, которая равна 4 см.
- Высота: $h={\sqrt {8^{2}-({\frac {4}{2}})^{2}}}$
  $={\sqrt {64-4}}$
  $={\sqrt {60}}$
- Упростите квадратный корень с помощью множителей: $h={\sqrt {60}}={\sqrt {4*15}}={\sqrt {4}}{\sqrt {15}}=2{\sqrt {15}}.$
- S $={\frac {1}{2}}bh$
  $={\frac {1}{2}}(4)(2{\sqrt {15}})$
  $=4{\sqrt {15}}$
- Ответ можно записать с корнем или извлечь корень на калькуляторе и записать ответ в виде десятичной дроби (S ≈ 15,49 см²).
Реклама

Метод 2

Метод 2 из 2:

Как вычислить площадь с помощью тригонометрических функций

Загрузить PDF

1
Вычислите площадь по боковой стороне и прилежащему углу. Если вы знакомы с тригонометрическими функциями, площадь равнобедренного треугольника можно вычислить по боковой стороне и прилежащему углу. Например:^{[3]XИсточник информации}
- Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см.
- Угол θ между двумя равными сторонами равен 120°.
2
Разделите равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Для этого опустите перпендикуляр (высоту) из вершины треугольника, которая образована двумя равными сторонами, на основание.
- Высота делит угол θ ровно пополам. Таким образом, один из углов прямоугольного треугольника равен ½θ, а в нашем примере (½)(120) = 60°.
3
Вычислите высоту «h» с помощью тригонометрических функций. К прямоугольному треугольнику можно применить следующие тригонометрические функции: sin (синус), cos (косинус) и tg (тангенс). В нашем примере известна гипотенуза «s»; нужно найти «h», то есть катет, прилежащий к известному углу. Вспомните, что косинус = прилежащий катет/гипотенуза.
- cos(θ/2) = h/s
- cos(60°) = h/10
- h = 10cos(60º)
4
Вычислите значение второго катета. Теперь мы не знаем значение второго катета прямоугольного треугольника; обозначим его как «x». Вспомните, что синус = противолежащий катет/гипотенуза.
- sin(θ/2) = x/s
- sin(60º) = x/10
- x = 10sin(60°)
Обратите внимание, что второй катет прямоугольного треугольника равен половине основания равнобедренного треугольника. То есть b = 2x, потому что высота (первый катет) разделила основание пополам (на два катета, каждый из которых равен значению «x»).
6
Подставьте значения «h» и «b» в формулу для вычисления площади. Теперь, когда вы знаете основание и высоту, подставьте их в формулу S = ½bh:
- $S={\frac {1}{2}}bh$
  $={\frac {1}{2}}(2x)(10cos60)$
  $=(10sin60)(10cos60)$
  $=100sin(60)cos(60)$
- Если вычислить синус и косинус на калькуляторе, вы найдете, что S ≈ 43,3 см². Если хотите, воспользуйтесь свойствами тригонометрических функций, упростите ответ и запишите его так: S = 50sin(120°).
7
Запишите универсальную формулу. Теперь, когда вы познакомились с полным процессом вычисления площади равнобедренного треугольника, можно пользоваться универсальной формулой, которая позволит сократить этот процесс. Если вы повторите описанный процесс без числовых значений и упростите ряд выражений, вы получите следующую универсальную формулу:^{[4]XИсточник информации}
- $S={\frac {1}{2}}s^{2}sin\theta$
- s – одна из двух боковых (равных) сторон.
- θ – угол между двумя боковыми (равными) сторонами.
Реклама

Советы

Если дан равнобедренный прямоугольный треугольник (с двумя равными катетами и прямым углом), вычислить его площадь очень просто. Один катет будет основанием, а второй – высотой, поэтому формула S = ½bh запишется так: S=½s², где s – катет.
Из квадратного корня можно извлечь два значения – положительное и отрицательное, но в геометрических задачах отрицательным значением можно пренебречь. Например, высота треугольника не может быть отрицательной.
В некоторых задачах будут даны другие величины, например, основание и один угол равнобедренного треугольника. В этом случае действуйте так же: разделите равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника, а затем найдите высоту с помощью тригонометрических функций.