Como Encontrar o Comprimento de um Arco

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Usando a medida do ângulo central em graus

Usando a medida do ângulo central em radianos

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Referências

Um arco é uma porção de uma circunferência ou círculo. O comprimento de um arco é a distância entre um ponto final do arco até o outro ponto. Para calcular essa medida, é preciso conhecer um pouco sobre a geometria de um círculo. Como o arco é uma porção de uma circunferência, se você souber em qual porção dos 360 graus o ângulo central do arco se encontra, é possível encontrar seu comprimento facilmente.

Passos

Método 1

Método 1 de 2:

Usando a medida do ângulo central em graus

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1. 
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   Monte a fórmula do comprimento do arco. A fórmula é ${\text{comprimento do arco}}=2\pi (r)({\frac {\theta }{360}})$, onde $r$ equivale ao raio do círculo, e $\theta$ equivale à medida do ângulo central do arco, em graus.
2. 
   2
   Substitua o comprimento do raio do círculo na fórmula. Essa informação deverá ser fornecida; caso contrário, você deverá ser capaz de medi-la. Lembre-se de substituir esse valor pela variável $r$.

   • Por exemplo, se o raio do círculo mede 10 cm, a fórmula vai ficar da seguinte forma: ${\text{comprimento do arco}}=2\pi (10)({\frac {\theta }{360}})$.
3. 
   3
   Substitua o valor do ângulo central do arco na fórmula. Essa informação deverá ser fornecida; caso contrário, você deverá ser capaz de medi-la. Ao usar essa fórmula, é preciso trabalhar com graus, e não radianos. Substitua a medida do ângulo central por $\theta$ na fórmula.

   • Por exemplo, se o ângulo central do arco mede 135 graus, a fórmula ficará assim: ${\text{comprimento do arco}}=2\pi (10)({\frac {135}{360}})$.
4. 
   4
   Multiplique o raio por $$ 2 π {\displaystyle 2\pi } . Se não estiver usando uma calculadora, você pode usar a aproximação $\pi =3,14$ nas contas. Reescreva a fórmula usando esse novo valor, que representa a circunferência do círculo.

   • Por exemplo:
     $2\pi (10)({\frac {135}{360}})$
     $2(3,14)(10)({\frac {135}{360}})$
     $(62,8)({\frac {135}{360}})$
5. 
   5
   Divida o ângulo central do arco por 360. Como um círculo tem um total de 360 graus, esse cálculo fornece qual porção do círculo todo é representada pelo setor. Usar essa fórmula permite que você descubra a porção da circunferência representada pelo comprimento do arco.

   • Por exemplo:
     $(62,8)({\frac {135}{360}})$
     $(62,8)(,375)$
6. 
   6
   Multiplique os dois valores. O resultado vai ser o comprimento do arco.

   • Por exemplo:
     $(62,8)(,375)$
     $23,55$
     Portanto, o comprimento do arco de um círculo com raio de 10 cm, e um ângulo central de 135 graus, é cerca de 23,55 cm.
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Método 2

Método 2 de 2:

Usando a medida do ângulo central em radianos

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1. 
   1
   Monte a fórmula do comprimento do arco. A fórmula é ${\text{comprimento do arco}}=\theta (r)$, onde $\theta$ equivale à medida do ângulo central do arco em radianos, e $r$ equivale ao comprimento do raio do círculo.
2. 
   2
   Substitua o comprimento do raio do círculo na fórmula. É preciso saber o comprimento do raio para usar este Método. Lembre-se de substituir o comprimento do raio pela variável $r$.

   • Por exemplo, se o raio do círculo mede 10 cm, a fórmula vai ficar da seguinte forma: ${\text{comprimento do arco}}=\theta (10)$.
3. 
   3
   Substitua o valor do ângulo central do arco na fórmula. É preciso saber essa medida em radianos. Caso saiba a medida do ângulo apenas em graus, então não é possível usar este Método.

   • Por exemplo, se o ângulo central do arco mede 2,36 radianos, a fórmula vai ficar assim: ${\text{comprimento do arco}}=2,36(10)$.
4. 
   4
   Multiplique o raio pela medida em radianos. O produto será o comprimento do arco.

   • Por exemplo:
     $2,36(10)$
     $=23,6$
     Portanto, o comprimento do arco de um círculo com raio de 10 cm, e um ângulo central de 23,6 radianos, é cerca de 23,6 cm.
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Dicas

• Caso saiba o valor do diâmetro do círculo, você pode encontrar o comprimento do arco. As fórmulas para calcular o comprimento do arco usam o raio do círculo. Como o raio mede metade do diâmetro de um círculo, basta dividir o diâmetro pela metade para calcular o raio. Por exemplo, se o diâmetro de um círculo mede 14 cm, para encontrar o raio basta dividir 14 por 2:
  $14\div 2=7$.
  Sendo assim, o raio do círculo mede 7 cm.

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