Kwadratische vergelijkingen oplossen

Een kwadratische vergelijking is een vergelijking waarbij de grootste exponent van een variabele gelijk is aan twee. Drie van de meest gebruikte methoden om deze vergelijkingen op te lossen zijn: ontbinden in factoren, de abc-formule gebruiken of kwadraatsplitsen. Als je wilt weten hoe je deze methoden kunt leren beheersen, volg dan gewoon deze stappen.

Methode 1

Methode 1 van 3:

Ontbinden in factoren

Pdf downloaden

1
Verplaats alle termen naar één kant van de vergelijking. De eerste stap bij het ontbinden in factoren is het verplaatsen van alle termen naar één kant van de vergelijking, waarbij x² positief blijft. Pas de bewerking optellen of aftrekken toe op de termen x², de variabele x en de constanten, en verplaats ze op deze wijze naar één kant van de vergelijking, zodat er aan de andere kant niets over blijft. Hier zie je hoe dat in z'n werk gaat:^[1]XBron
- 2x² - 8x - 4 = 3x - x² =
- 2x² +x² - 8x -3x - 4 = 0
- 3x² - 11x = 0
2
Om de uitdrukking in factoren te kunnen ontbinden moet je de factoren van 3x², en de factoren van de constante -4 ontbinden, om ze te kunnen vermenigvuldigen en die daarna bij elkaar opgeteld de waarde van de middelste term opleveren, -11. Hier lees je hoe dat moet:
- Omdat 3x² een eindig aantal mogelijke factoren kent, 3x en x, kun je deze opschrijven tussen haakjes: (3x +/- ? )(x +/- ?) = 0.
- Gebruik daarna een eliminatie methode waarbij je de factoren van 4 gebruikt om een combinatie te vinden die -11x als resultaat van de vermenigvuldiging geeft. Je kunt óf een combinatie van 4 en 1 gebruiken, óf 2 en 2, omdat de vermenigvuldiging van beide getallencombinaties 4 oplevert. Onthoud wel dat één van de termen negatief moet zijn, omdat de term -4 is.
- Probeer (3x +1)(x -4). Wanneer je deze uitwerkt krijg je - 3x² -12x +x -4. Combineer je de termen -12x en x dan krijg je -11x, welke de middelste term is waar je op uit wou komen. Nu heb je deze kwadratische vergelijking ontbonden in factoren.
- Nog een voorbeeld; we proberen een vergeljking die niet uitkomt te ontbinden in factoren: (3x-2)(x+2) = 3x² +6x -2x -4. Combineer je deze termen dan krijg je 3x² -4x -4. Ook al is het product van -2 en 2 gelijk aan -4, toch werkt de middelste term niet want je was op zoek naar -11x, niet naar -4x.
en behandel ze als afzonderlijke vergelijkingen. Dit zorgt ervoor dat je twee waarden vindt voor x die allebei de hele vergelijking gelijk maken aan nul. Nu je de vergelijking in factoren hebt ontbonden, is alles wat je nog moet doen elk haakjespaar gelijk maken aan nul. Dus kun je schrijven dat: 3x +1 = 0 en x - 4 = 0.
4
. In een kwadratische vergelijking zijn er twee gegeven waarden voor x. Los elke vergelijking los van elkaar op, door het isoleren van de variabele en schrijf de uitkomsten van x op. Hier lees je hoe dat gaat:
- 3x + 1 = 0 =
- 3x = -1 =
- 3x/3 = -1/3
- x = -1/3
- x - 4 = 0
- x = 4
- x = (-1/3, 4)
We krijgen (3[-1/3] + 1)([-1/3] – 4) ?=? 0 ..... door te substitueren: (-1 + 1)(-4 1/3) ?=? 0 ..... door te simplificeren: (0)(-4 1/3) = 0 ..... door te vermenigvuldigen: dus 0 = 0 ..... Ja, x = -1/3 werkt
6
Controleer x = 4 in (3x + 1)(x - 4) = 0:

We krijgen (3[4] + 1)([4] – 4) ?=? 0 ..... door te substitueren: (13)(4 – 4) ?=? 0 ..... door te dimplificeren: (13)(0) = 0 ..... door te vermenigvuldigen: 0 = 0 ..... Ja, x = 4 werkt
- Dus beide oplossingen werken afzonderlijk en beide worden geverifieerd als werkend en zijn correct in twee verschillende oplossingen.
Advertentie

Methode 2

Methode 2 van 3:

Het toepassen van de Abc-formule

Pdf downloaden

1
Verplaats alle termen naar één kant van de vergelijking en voeg de gelijke termen samen. Verplaats alle termen naar één kant van het is-gelijk teken, waarbij de term x² positief blijft. Schrijf de termen in aflopen orde van grootte op, dus x² komt als eerste gevolgd door x en daarna de constante. Hier zie je hoe je dat doet:
- 4x² - 5x - 13 = x² -5
- 4x² - x² - 5x - 13 +5 = 0
- 3x² - 5x - 8 = 0
Dit is: {-b +/-√ (b² - 4ac)}/2a^[2]XBron
De variabele a is de coëfficiënt van x², b is de coëfficiënt van x en c is de constante. Voor de vergelijking 3x² -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5, en c = -8. Schrijf dit op.
4
Substitueer de waarden van a, b, en c in de vergelijking. Nu je de waarden kent van de drie variabelen kun je ze gewoon invullen in de vergelijking zoals we hier laten zien:
- {-b +/-√ (b² - 4ac)}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5)² - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3)
5
Reken uit. Na het invullen van de getallen werk je het probleem verder uit. Hieronder lees je hoe dat verder gaat:
- {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Als het getal onder het wortelteken een perfect vierkant is of ook wel een kwadraatgetal, dan krijg je een geheel getal bij worteltrekken. In andere gevallen vereenvoudig je de wortel zover mogelijk. Indien het getal negatief is, en je weet zeker dat dit ook de bedoeling is, dan zal de wortel van het getal minder eenvoudig zijn. In dit voorbeeld, √(121) = 11. Je kunt dan schrijven dat x = (5 +/- 11)/6.
7
Los op voor de positieve en de negatieve getallen. Heb je eenmaal de wortel weggewerkt, dan kun je verder gaan tot je de negatieve en de positieve antwoorden voor x hebt gevonden. Nu je (5 +/- 11)/6 hebt gekregen, kun je de twee mogelijkheden opschrijven:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
8
Los op voor de positieve en de negatieve antwoorden. Reken verder uit:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
9
Vereenvoudig. Om te vereenvoudigen deel je de antwoorden door het grootste getal dat deelbaar is voor zowel de teller als de noemer. Deel dus de eerste breuk door 2 en de tweede door 6 en je hebt x opgelost.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
Advertentie

Methode 3

Methode 3 van 3:

Kwadraat afsplitsen

Pdf downloaden

1
Verplaats al de termen naar één kant van de vergelijking. Zorg dat de a van x² positief is. Hier lees je hoe je dat moet doen:^[3]XBron
- 2x² - 9 = 12x =
- 2x² - 12x - 9 = 0
  - In deze vergelijking is a gelijk aan 2, b is -12, en c is -9.
2
Verplaats de constante c naar de andere kant. De constante is de numerieke waarde zonder een variabele. Verplaats deze naar de rechterkant van de vergelijking:
- 2x² - 12x - 9 = 0
- 2x² - 12x = 9
3
Deel de beide zijden door de coëfficiënt van de a of x² term. Indien x² geen term ervoor heeft staan en een coëfficiënt met de waarde 1 heeft, dan kun je deze stap overslaan. In dit geval moet je alle termen delen door 2, zoals dit:
- 2x²/2 - 12x/2 = 9/2 =
- x² - 6x = 9/2
4
Deel b door twee, kwadrateer deze en voeg de resultaten aan beide zijden van het is-teken toe. De b in dit voorbeeld is -6. Hier lees je hoe je dit doet:
- -6/2 = -3 =
- (-3)² = 9 =
- x² - 6x + 9 = 9/2 + 9
Ontbind de termen in factoren aan de linkerkant om (x-3)(x-3) te krijgen, of (x-3)². Voeg te termen aan de rechterkant toe om 9/2 + 9, of 9/2 + 18/2 te krijgen, wat bij elkaar opgeteld 27/2 is.
De wortel van (x-3)² is eenvoudigweg (x-3). Je kunt de wortel van 27/2 ook schrijven als ±√(27/2). Daarom geldt, x - 3 = ±√(27/2).
7
Vereenvoudig de wortel en los op voor x. Om ±√(27/2) te vereenvoudigen ga je op zoek naar een perfect vierkant of kwadraatsgetal met de getallen 27 of 2 of in hun factoren. Het kwadraatsgetal 9 kan worden gevonden in 27, omdat 9 x 3 = 27. Om 9 uit de wortel weg te werken schrijf je deze als aparte wortel en vereenvoudig je dit tot 3, de vierkantwortel van 9. Laat √3 in de teller staan van de breuk omdat die niet als factor gescheiden kan worden van 27, en maak van 2 de noemer. Beweeg vervolgens de constante 3 van de linkerkant van de vergelijking naar de rechterkant en schrijf je twee oplossingen op voor x:
- x = 3 +(√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
Advertentie

Tips

Zoals je ziet is het wortelteken niet helemaal verdwenen. Daarom zijn de termen in de teller niet samengevoegd (het zijn geen gelijke termen). Het is dus zinloos om de minnen en plussen op te delen. In plaats daarvan zorgen we door deling dat elke gemeenschappelijke factor wegvalt – maar "ALLEEN" als de factor gelijk is voor beide constanten, "EN" het coëfficiënt van de wortel.

Advertentie