二次方程式を解く方法

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二次方程式を因数分解する

解の公式を利用する

平方完成をする

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二次方程式は、変数が１つで、その変数の最高次数が2である多項式です。二次方程式を解くには、主に①因数分解する（可能な場合）② 解の公式を利用する ③平方完成を行う、の3つの方法があります。以下の手順にしたがって、これら3つの方法を習得しましょう。

ステップ

方法 1

方法 1 の 3:

二次方程式を因数分解する

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   同類項を全てまとめて、全ての項を一方の辺に移項する　方程式を因数分解するには、まず全ての項を一つの辺に移項します。この際に、$x^{2}$の項の符号が正になるように移項しましょう。同類項をまとめるには、全ての項を方程式の一方の辺に移項し、反対側の辺には何もない状態にして、$x^{2}$の項同士、$x$の項同士、定数項（整数項）同士を計算します。反対の辺に項が無くなったら、0を記入します。以下のように同類項をまとめましょう。

   • $2x^{2}-8x-4=3x-x^{2}$
   • $2x^{2}+x^{2}-8x-3x-4=0$
   • $3x^{2}-11x-4=0$
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   数式を因数分解する　数式を因数分解するには、$x^{2}$の項「3」の因数と定数項「-4」の因数の組み合わせをそれぞれ考えて、それらを掛け合わせて式をまとめた時に、真ん中の項「-11」ができる因数の組み合わせを見つけなければなりません。以下の例で、因数分解を行う手順を確認しましょう。

   • $3x^{2}$は、考えられる因数の組み合わせが$3x$と$x$の1組しかないため、これらを括弧内に次のように記入します。$(3x\pm ?)(x\pm ?)=0$。
   • 続いて、「4」の因数となる組み合せのうち、掛けた時に「-11x」ができる組み合わせを消去法で探します。掛け合わせた時に「4」となる組み合わせは、「4と1」もしくは「2と2」が考えられます。定数項は「-4」であるため、因数の片方は、負の値でなければならないことに注意しましょう。
   • 試しに、次の因数の組み合わせを考えてみましょう。$(3x+1)(x-4)$　これを掛け合わせると、$3x^{2}-12x+x-4$となります。$-12x$ と $x$をまとめると、$-11x$となり、目標である真ん中の項と一致します。つまり、この二次方程式が因数分解できたことを意味します。
   • 試行錯誤の例として、$3x^{2}-11x-4=0$を因数分解できない因数の組み合わせを考えてみましょう。$(3x-2)(x+2)$ = $3x^{2}+6x-2x-4$　この式をまとめると、$3x^{2}-4x-4$となります。因数「-2と2」の組み合わせは、掛け合わせると「-4」になりますが、真ん中の項が$-4x$となり、$-11x$にはならないため、この組み合わせは正しくないことが分かります。
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   各括弧内が0となる式を考える　これを考えることで、方程式「$(3x+1)(x-4)$ = 0」を成立させるxの値を２つ見つけることができます。ここまでのステップで、方程式の因数分解は完了しているため、あとは「各括弧内 = 0」という式を考えるだけです。なぜならば、掛け算の結果を0にするには、少なくとも1度は0を掛けなければならないという原則があるからです。つまり、方程式「$(3x+1)(x-4)$ = 0」が成立するには、(3x + 1)か(x - 4)のうち、少なくともどちらか一方の括弧内が0でなければなりません。したがって、$3x+1=0$と$x-4=0$という式を考えることができます。
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   「各括弧内 = 0」となる式を個別に解く　二次方程式では、解となるxの値は2つ存在します。各括弧ごとに中身が0となるxの値を個別に求めて、xの最終的な解として、この2つの値を記述します。以下が解を求める手順です。

   • 3x + 1 = 0の解法
     • 3x = -1 ..... 両辺から1を引く
     • 3x/3 = -1/3 ..... 両辺を3で割る
     • x = -1/3 ..... 式を簡単にする
   • x - 4 = 0の解法
     • x = 4 ..... 両辺に4を足す
   • x = (-1/3, 4) ..... 個別に求めた解を一組にして表記することで、「解は、x = -1/3または x = 4である。」という意味を表します。
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   x = -1/3のとき、(3x + 1)(x – 4) = 0が成立するか確認する　①xに-1/3を代入します。 (3×[-1/3] + 1)×([-1/3] – 4)　②これを整理します。(-1 + 1)×(-4 1/3)　 ③掛け算をします。0×(-4 1/3) = 0 　計算結果が0となり、x = -1/3 が正しいことが確認できました。
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   x = 4 のとき、(3x + 1)(x - 4)= 0が成立するか確認する　①xに4を代入します。(3×[4] + 1)×([4] – 4)　②これを整理します。(13)×(4 – 4)　③掛け算をします。13×0 = 0　計算結果が0となり、x = 4 が正しいことが確認できました。

   • こうして、2つの解を個別に検証して、共にこの二次方程式を成立させる正しい解であることが確認されました。
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方法 2

方法 2 の 3:

解の公式を利用する

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   同類項をまとめて、全ての項を一方の辺に移項する　全ての項を一つの辺に移項します。この際に、$x^{2}$の項の符号が正になるように移項しましょう。$x^{2}$の項、$x$の項、定数項の順で、次数の高い順に項を並べましょう。以下のように移項して、同類項をまとめます。

   • 4x² - 5x - 13 = x² -5
   • 4x² - x² - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x² - 5x - 8 = 0
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   解の公式を記述する　二次方程式の解の公式は次の通りです。${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$。</ref>
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   解の公式のa、b、cに該当する値を探す　「a」はx²の項の係数、「b」はxの項の係数、「c」は定数項です。方程式「3x² -5x - 8 = 0」の場合は、a = 3、 b = -5、c = -8です。a、b、cを記述しておきましょう。
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   解の公式のa、b、cに値を当てはめる　前のステップで見つけたa、b、cに該当する値を、以下の例のように、解の公式に代入しましょう。

   • {-b +/-√ (b² - 4ac)}/2
   • {-(-5) +/-√ ((-5)² - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3)
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   計算をする　値を代入したら、正負の符号を整理したり、掛け算、2乗の計算をするなどして、式をまとめましょう。以下のように、値を代入して計算をします。

   • {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6
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   ルートを整理する　ルート（2乗根または根号）の中の数字が完全平方数ならば、ルートを外して整数にできます。ルートの中身が完全平方でなければ、中身を整理して簡単にしましょう。計算に間違いがなくて、中身が負になれば、ルートの中身は虚数です。この例では、√(121) = 11であるため、x = (5 +/- 11)/6と記述できます。
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   プラスマイナス（±）記号を処理して解を求める　ルートを外すことができた場合は、足し算（+）、引き算（-）をそれぞれ計算して、xを求めます。前のステップで、(5 +/- 11)/6まで計算しました。これを以下のように分解できます。

   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6
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   計算を進める　以下の通り、単純に計算をするだけです。

   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6
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   整理する　それぞれの解を最大公約数で約分して簡単にしましょう。以下の例では、最初の分数を2で約分、2番目の分数を6で約分して、xの解を算出します。

   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)
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方法 3

方法 3 の 3:

平方完成をする

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   全ての項を一方の辺に移項する　x²の項の符号または係数（a）が必ず正になるようにしましょう。以下が移項の例です。

   • 2x² - 9 = 12x
   • 2x² - 12x - 9 = 0
     • この方程式では、a = 2、b = -12、c = -9です。
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   定数項（c）を反対の辺に移項する　定数項とは、変数がない数値のみの項です。以下のように、定数項を右辺に移項しましょう。

   • 2x² - 12x - 9 = 0
   • 2x² - 12x = 9
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   両辺をx²の係数（a）で割る　x²にかかる係数が１の場合は、このステップを飛ばしましょう。この方程式では、以下のように両辺を2で割ります。

   • 2x²/2 - 12x/2 = 9/2
   • x² - 6x = 9/2
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   xの項の係数（b）を2で割り、それを2乗した結果を両辺に加算する　この例の方程式では、「b」は-6です。以下のように行います。

   • -6/2 = -3
   • (-3)² = 9
   • x² - 6x + 9 = 9/2 + 9
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   両辺をまとめる　左辺を因数分解して、(x-3)(x-3)または(x-3)²を作ります。右辺は、（9/2 + 9）または（9/2 + 18/2）を足し合わせて、27/2となります。
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   両辺の平方根を探す　(x-3)² の平方根は、単純に (x-3)です。27/2の平方根は、±√(27/2)と書くことができます。したがって、x - 3 = ±√(27/2)となります。
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   ルートの中を簡単にしてxを導く　±√(27/2)を簡単にするには、27か2、またはこれらの因数の中に完全平方数がないか探します。 27は9×3と分解できて、この因数9が27に含まれる完全平方数です。9をルート（2乗根）の外に出すには、ルート内の9を取り除いて、代わりにルートの外に3を書き入れます。27の因数である3は、ルートの外に出すことができないため、分数の分子としてルート内に残します。また、分母の2もルートの外に出すことができないため、そのまま分母としてルート内に残します。それから、左辺の3を右辺に移項して、以下のように2つのxの解を記述しましょう。

   • x = 3 + 3(√6)/2
   • x = 3 - 3(√6)/2
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ポイント

• 例題にあるように、ルート記号を完全に無くすことはできません。つまり、分子にある項をまとめることは不可能ということです（それらが同類項ではないため）。そうすると、プラスマイナス（±）をわざわざ分離する意味がなくなります。代わりに、可能な限り約分を行います。しかし、約分できるのは、定数とルートの係数に共通因数がある場合のみであることに注意しましょう。
• ルート（2乗根）内の数が完全平方でない場合は、最後の数ステップが若干変わります。
• 解の公式で、「b」が偶数の場合は、次の公式を適用できます ： {-(b/2) +/- √(b/2)-ac}/a。

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