이차방정식의 근 구하는 법

이차방정식은 ax² + bx + c = 0의 형태를 가진 a ≠ 0인 모든 식을 의미한다. 그냥 "이차방정식의 근을 구하라"는 문장을 보면 어려워보이지만 사실 "근을 찾으라"는 말은 x의 값을 구하라는 말과 같다. 그리고 이차방정식에는 근의 공식이라는 것이 있어 주어진 값만 넣으면 x의 값이 바로 나오게 되어 있다: x = (-b +/-√(b² - 4ac))/2a. 이 글에서는 이 공식과 공식의 사용법을 배우고 식의 형태에 따라 근을 구하기 위해 어떤 요령을 사용해야 하는지를 익힐 수 있다.

방법 1

방법 1 의 2:

근의 공식 사용하기

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식을 일반형으로 쓰기. 이차방정식은 변수 x가 제곱이며 x 제곱의 계수인 a가 0이 아닌(a ≠ 0) 방정식을 의미한다.^{[1]X출처 검색하기} 간단히 풀어보자면 이 말은 한 변수(보통 x)의 최고차항이 2인 방정식을 의미한다. 그리고 일반형은 다음과 같이 표현된다: ax² + bx + c = 0
- 주어진 방정식을 일반형으로 바꾸기 위해서는 = 부호를 기준으로 한 모든 변수와 상수를 한 쪽으로 몰아넣어 반대편이 0이 되게 해야 한다. 예를 들어 식 2x² + 8x = -5x² - 11 을 일반형으로 바꾸려면 아래처럼 풀어야 한다:
- 2x² + 8x = -5x² + 11
- 2x² + 5x² + 8x = + 11
- 2x² + 5x² + 8x - 11 = 0
- 7x² + 8x - 11 = 0 . 이를 살펴보면 위에서 언급한 일반형인 ax²+ bx + c = 0 와 같은 형태를 띄고 있는 것을 알 수 있다.
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a, b, c를 식 x = (-b +/-√(b² - 4ac))/2a에 대입하기. 이차방정식의 근을 구하는 것은 근의 공식을 사용함녀 매우 쉽다. 그냥 a, b, c를 공식에 대입하고 계산하기만 하면 된다. 일반형으로 정리된 이차방정식이 ax²+ bx + c = 0임을 생각하면 a, b, c는 각 항의 계수가 된다. x²의 계수가 a, x의 계수가 b, 나머지 상수항이 c가 된다.
- 다시 예시로 돌아가보자. 7x² + 8x - 11 = 0 이므로 a = 7, b = 8, c = -11가 된다.
- 이 값을 공식에 대입하면 다음처럼 된다. x = (-8 +/-√(8² - 4(7)(-11)))/2(7)
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풀기. a, b, c 값을 공식에 대입하면 +/- 부호를 제외한 나머지를 쉽게 계산할 수 있다. 이 부호 문제는 다음 단계에서 해결할 것이다.
- 예시 문제를 게속 풀어보자:
- x = (-8 +/-√(8² - 4(7)(-11)))/2(7)
- x = (-8 +/-√(64 - (28)(-11)))/(14)
- x = (-8 +/-√(64 - (-308)))/(14)
- x = (-8 +/-√(372))/(14)
- x = (-8 +/- 19.29/(14) . 일단 지금은 여기서 멈추도록 한다.
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의 최종 답안을 얻기 위해 더하고 빼기. 이차방정식의 근을 찾을 때 까다로운 점 중 하나가 바로 이것이다. 답이 두 개이기 때문이다(학교 숙제로 이차방정식을 풀고 있다면 근 두 개를 다 써야 정답이 되니 이를 잊지 말자!). 두 근을 두하기 위해서는 한 번은 값을 더하고 한 번은 값을 빼어 두 개의 다른 답을 구하면 된다.
- + 부호를 넣고 값을 더하면:
- x = (-8 + 19.29)/(14)
- x = 11.29/14
- x = 0.81
- - 부호를 넣고 값을 빼면 :
- x = (-8 - 19.29)/(14)
- x = (-27.29)/(14)
- x = -1.95 .
- 따라서 답(근)은 0.81과 -1.95가 된다.
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답 검토하기. 시간이 있다면 근의 공식으로 구한 두 개의 근을 이차방정식에 넣어 검산해보는 것이 좋다. 근의 공식이 복잡하다보니 쉽게 실수를 할 수도 있기 때문이다. 검산법은 아주 쉬우니 아래를 참고해 해보는 것이 좋다.
- 가장 빠르고 쉽게 답이 맞는지 확인하는 법은 a, b, c의 값을 이차방정식 계산기에 넣는 것이다. 인터넷에 검색만 해도 바로 나오며 이 계산기를 사용해볼 수도 있다(출처: mathisfun.com).^{[2]X출처 검색하기}
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아니면 직접 값을 검산해보기. 인터넷 계산기로 값을 확인할 수 있는 상황이 아니어도 비교적 쉽게 구한 답이 맞는지 확인이 가능하다. 바로 구한 근을 원래 방정식의 x에 대입하는 것이다. 그렇게 계산해 좌변이 우변처럼 0으로(또는 0과 매우 근접하게) 나왔다면 올바른 근을 구한 것이다.
- 7x² + 8x - 11 = 0에 답을 넣어 구한 근이 맞는지 확인해보자:
- 7(-1.95)² + 8(-1.95) - 11
- 26.62 - 15.6 - 11
- 26.62 - 26.5 = 0.02. 이는 거의 0에 가깝다. 반올림을 하면 0이 나오므로 맞는 답을 구했다 볼 수 있다.
- 7(0.81)² + 8(0.81) - 11
- 4.59 + 6.48 - 11 = 0.07. 위와 마찬가지로 0과 근접한 답이 나왔으니 맞았을 확률이 높다.
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방법 2

방법 2 의 2:

인수분해로 근 구하기

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"A" 값을 1로 놓고 인수분해 하기

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일반형으로 시작하기. 위에서 설명한 근의 공식이 유용하기는 하지만 이는 이차방정식의 근을 구하는 한 가지 방법일 뿐이다. 일부 이차방정식은 인수분해가 가능하며 이를 통해 전혀 다른 식의 형태로 바꿔서 문제를 매우 간단하게 풀어볼 수도 있다. 일단은 주어진 이차방정식을 일반형: ax² + bx + c = 0으로 바꾸도록 하자.
- 다만 이 글에서는 정리한 이차방정식의 x²의 계수가 1인 경우만을 가정해서 풀도록 하겠다. 계수 a가 1이 아닐 때는 과정이 좀 더 복잡해진다(아래의 글 참고). 이번에는 예문으로 x² + 7x + 12 = 0를 풀어보도록 하겠다. 그리고 단계를 진행하면서 인수분해를 하고 근을 구해볼 것이다.
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방정식을 (x + _)(x + _) = 0의 형태로 바꾸기. "인수분해"라는 것은 "결과물이 나오게 하는 두 요소를 찾는 것"을 의미한다. 여기서는 곱해서 주어진 이차방정식이 나오게 하는 두 식을 찾을 것이다. 일단 가장 높은 차수가 x²의 2이므로 (x + _)(x + _) = 0와 같이 인수분해의 틀을 잡아볼 수 있다.
- 단계를 진행하면서 이 빈칸을 채워 완전한 인수분해를 수행할 것이다.
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"C" 값의 인수 찾기. 이제 곱해서 상수항 C를 만들 수 있는 모든 두 수의 조합을 생각해보도록 한다. 이를 인수라고 부른다.
- 주어진 식 (x² + 7x + 12 = 0)에서는 12가 c가 된다. 이 숫자는 1과 12, 2와 6, 3과 4를 곱해 만들 수 있다. 즉, 12의 인수는 1, 2, 3, 4, 6, 12가 된다.
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C의 인수 더해 "B"를 만들 수 있는 조합 찾기. 서로 곱해 C를 만들 수 있는 인수의 쌍들을 구했다면 이제 이 두 수를 더해서 b가 나오는 조합을 찾아보도록 하자. 여기서는 b의 인수를 찾는 것이 아니라 c의 인수를 더해 b가 나오는 것을 찾아야 한다.
- 우리 식 (x² + 7x + 12 = 0)에서는 b가 7이다. 그리고 c의 인수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이며 그중 3과 4만이 더해서 7이 될 수 있다. 바로 이 두 숫자가 우리가 찾던 숫자다.
- 만약 더해서 7이 되는 두 숫자가 없다면 주어진 이차방정식은 "정수항으로 인수분해할 수 없는" 식이라고 볼 수 있다.^{[3]X출처 검색하기} 즉, 인수분해를 할 수 없기 때문에 근을 구하기 위해 다른 방법을 써야 한다는 뜻이다.
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인수분해한 식의 빈칸 채우기. 이제 방금 구한 인수 두 개를 위의 빈칸이 있는 인수분해 식에 넣도록 한다. 그러면 주어졌던 이차방정식이 어떤 두 식의 곱셈으로 표현되는지 알 수 있게 된다.
- 빈칸을 채우면 다음과 같이 된다: (x + 3)(x + 4) = 0.
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"x" 값 구하기. 이제 좌변을 0으로 만들기 위해 x에 넣을 값들을 알아내야 한다. 어떤 값을 넣어야 x와 더했을 때 0이 되게 할 수 있을까? 곱하는 식이 두 개가 있으니 나오는 답도 두 개일 것이다. 0과 다른 식을 곱해봐야 0이 되기 때문이다.
- 두 식이 (x + 3)과 (x + 4)이다. 이를 각각 0으로 만들려면 아래처럼 식을 풀면 된다.
- x + 3 = 0: x = -3
- x + 4 = 0: x = -4
- 근의 공식을 썼어도 위와 같은 답이 나왔을 것이다.
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"A"가 1이 아닐 때 인수분해 하기

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"A"를 인수로 나눠보기. 이차방정식의 x²의 계수 a가 1이 아니라면 인수분해가 조금 더 어려워지긴 하지만 완전히 불가능하지는 않다. 먼저 A를 인수로 나눠보도록 하자. 최고차항이 x²이기 때문에 두 인수에는 x가 들어가야 한다.
- 여기선 2x² + 14x + 12 = 0를 예문으로 사용할 것이다. 그리고 2x²를 보면 2가 소수이므로 계수의 인수가 2와 1뿐이라는 점을 알 수 있다. 즉 2x²의 인수는 2x와 x가 된다.
- 인수가 두 개 이상일 가능성도 있다. 만약 식의 최고차항이 8x²였다면 8x와 x, 그리고 2x와 4x로 조합이 두 개가 나왔을 것이다. 이 경우에는 두 조합을 모두 활용해 인수분해가 가능한지 각각 확인해봐야 한다.
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구한 인수를 ((인수1)+ _)((인수2) + _)의 틀에 넣어보기. 이제 위에서 한 차례 설명한 것과 같은 방식으로 인수분해를 해야 한다. 대신 이번에는 x에 계수가 붙게 될 것이다(a의 값에 따라 양쪽 x 앞에 계수가 붙을 수도 있다).^{[4]X출처 검색하기}
- 예시 문제를 (2x + _)(x + _)처럼 바꿔볼 수 있다.
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C의 인수 구하기. 이 과정은 위와 똑같다. 두 값을 곱해 c가 나오는 인수의 조합을 찾는 것이다.
- 우리 식에서는 c가 12이기 때문에 인수도 똑같게 나온다: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
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계산해서 B가 나오는 두 인수 찾기. 이 과정이 조금 어려울 수 있다. 여기서는 두 숫자를 골라 인수분해된 식에 넣고 식을 풀었을 때 나오는 상수항 값을 확인해야 한다. 참고로 두 x 모두에 계수가 붙을 수도 있고 x 하나에만 계수가 붙을 수도 있다는 점을 기억하도록 하자.
- 우리 식에서는 b가 14x이다. 즉, 곱해서 c가 되는 인수의 조합들을 놓고 하나에는 2x를 곱하고 다른 하나에 x를 곱해 더했을 때 14x가 나오는 조합을 찾아야 한다는 뜻이다.
- 3과 4에서부터 시작해보도록 하자. 3 × 2x = 6x, 4 × x = 4x. 4x + 6x = 10x이다. 14x가 아니므로 바꿔서 해본다. 4 × 2x = 8x, 3 × x = 3x. 8x + 3x = 11x. 그래도 14x가 나오지 않는다. 즉, 다른 인수 조합을 사용해야 한다는 뜻이다.
- 6과 2를 써보자. 2. 6 × 2x = 12x, 2 × x = 2x. 12x + 2x = 14x. 나왔다! 이제 이 6과 2를 인수분해 식의 빈칸에 넣고 식을 완성시키기만 하면 된다.
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빈칸을 채우고 평소처럼 x 구하기. 구한 두 인수를 빈칸에 넣어보도록 하자. 각각 올바른 위치에 넣어야 곱하고 더했을 때 b가 나온다는 점을 염두에 두어야 한다. 이후에는 각각의 괄호 안이 0이 되게 하는 x 값을 구하기만 하면 된다. 이전이랑 똑같다.
- 빈칸을 채우면 우리 식이 (2x + 2)(x + 6) = 0처럼 바뀐다. 이제 괄호 안을 아래처럼 0으로 만들어 x를 구해보자:
- 2x + 2 = 0
- 2x = -2 : x = -1
- x + 6 = 0 : x = -6
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팁

믿거나 말거나 인수분해와 근의 공식은 이차방정식을 풀기 위해 많은 과정을 요약은 풀이이다. 근의 공식 유도법을 찾아보도록 하자. 상당히 복잡하니 여유를 가지고 해석하는 것이 좋다.
제곱근을 풀면 음수와 양수가 동시에 나오게 된다. 무조건반사로 양수만 써서 다 구한 답을 틀리지 않게 주의하자.
일부 이차방정식은 이차방정식에 여러 조작을 가해 평방화시켜 풀 수도 있다. 이차방정식의 계수 a가 1이 아닐 때 푸는 방법에 대해 다양하게 찾아보도록 하자.