Comment résoudre une équation du second degré

Une équation du second degré est un type d'équation mathématique où la plus grande puissance de x (soit le degré de l'équation) vaut 2. Il est possible de résoudre une équation du second degré de trois façons différentes : en factorisant l'équation si c'est possible, en utilisant la formule quadratique ou en élevant au carré.

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:

Factoriser l'équation

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Combinez tous les termes similaires et placez-les d'un seul côté de l'équation. La première étape consiste à déplacer tous les termes similaires du même côté de l'équation, en faisant en sorte que le terme en x² reste positif. Pour combiner tous les termes, additionnez ou soustrayez tous les termes en x², les termes en x ainsi que les constantes (soit les nombres entiers), puis déplacez-les d'un côté de l'équation pour que rien ne reste de l'autre côté. Une fois que vous aurez terminé cette étape, ajoutez un "0" du côté de l'équation où il n'y a rien. Voici comment vous y prendre ^{[1]XSource de recherche} :
- 2x² - 8x - 4 = 3x - x² =
- 2x² +x² - 8x -3x - 4 = 0
- 3x² - 11x - 4 = 0
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Factorisez l'expression. Pour factoriser l'expression, vous devez utiliser les facteurs du terme en x² (soit le coefficient égal à 3), ainsi que les facteurs de la constante (-4) pour qu'ils se multiplient et s'additionnent de sorte à obtenir le coefficient du terme en x (-11). Voici comment faire.
- Puisque 3x² ne possède qu'un seul ensemble de facteurs, soit 3x et x, vous pouvez écrire ces facteurs entre parenthèses : (3x +/- ? )(x +/- ?) = 0.
- Ensuite, procédez par élimination pour introduire les facteurs de 4 de sorte à trouver une combinaison qui donne -11x après multiplication. Vous pouvez utiliser une combinaison de 4 et 1, ou de 2 et 2, puisque ces deux combinaisons de chiffres donnent un 4 après multiplication. Rappelez-vous toutefois que l'un de ces termes doit être négatif, puisque la valeur recherchée est de -4.
- Essayez avec (3x +1)(x -4). Lorsque vous multipliez ces deux expressions, vous obtenez - 3x² -12x +x -4. Si vous combinez les termes -12x et x, vous obtenez alors -11x, qui est le terme en x que vous cherchiez. Vous venez tout juste de factoriser l'équation du second degré.
- Par exemple, essayons de factoriser des combinaisons qui ne fonctionnent pas : (3x -2)(x +2) = 3x² +6x -2x -4. Si vous combinez ces termes, vous obtiendrez 3x² -4x -4. Si la multiplication des facteurs -2 et 2 donne -4, vous n'obtiendrez pas le terme voulu qui est égal à -11x.
De cette façon, vous pourrez trouver les deux valeurs de x pour lesquelles la totalité de l'équation est égale à zéro. À présent que vous avez factorisé l'équation, tout ce que vous avez à faire est de poser chaque expression entre parenthèse comme égale à zéro. Vous devrez donc écrire 3x +1 = 0 et x - 4 = 0.
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Résolvez chaque équation séparément. Dans le cas d'une équation du second degré, vous obtiendrez deux valeurs de x différentes. Résolvez chaque équation indépendamment en isolant la variable, puis écrivez les deux solutions de x. Voici comment vous y prendre :
- 3x + 1 = 0
  - 3x = -1
  - 3x/3 = -1/3
  - x = -1/3
- x - 4 = 0
  - x = 4
- x = (-1/3, 4)
Nous avons(3[-1/3] + 1)([-1/3] – 4) ?=? 0, mais en subtituant(-1 + 1)(-4 1/3) ?=? 0 par (0)(-4 1/3) = 0 (simplifié) et en multipliant 0 = 0... x = -1/3 fonctionne.
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Vérifiez x = 4 in (3x + 1)(x - 4) = 0: Nous avons (3[4] + 1)([4] – 4) ?=? 0, en substituant (13)(4 – 4) ?=? 0 par (13)(0) = 0 en multipliant 0 = 0... x = 4 fonctionne.
- Les deux solutions se vérifient séparément et elles fonctionnent et son correctes avec les deux solutions.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:

Se servir de la formule quadratique

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Combinez tous les termes similaires et placez-les d'un seul côté de l'équation. Déplacez tous les termes du même côté du signe égal, en faisant en sorte que le terme en x² soit positif. Écrivez les termes par ordre de puissance décroissante, de sorte que le terme en x² soit écrit en premier, suivi par le terme en x puis par la constante. Voici comment vous y prendre :
- 4x² - 5x - 13 = x² -5
- 4x² - x² - 5x - 13 + 5 = 0
- 3x² - 5x - 8 = 0
L'équation du second degré peut s'écrire sous la forme : {-b +/-√ (b² - 4ac)}/2a ^{[2]XSource de recherche}.
La variable a est le coefficient du terme en x², b est celui du terme en x et c est la constante. Dans l'équation 3x² -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5 et c = -8. Écrivez-le.
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Remplacez les valeurs de a, b et c dans l'équation. À présent que vous connaissez les valeurs de vos trois coefficients, vous pouvez les introduire dans l'équation de la façon suivante :
- {-b +/-√ (b² - 4ac)}/2 =
- {-(-5) +/-√ ((-5)² - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3)
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Faites les calculs. Après avoir introduit les chiffres, faites les calculs restants pour simplifier les signes positifs ou négatifs, pour multiplier ou mettre au carré les termes restants. Voici comment faire :
- {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 95)}/6 =
- {5 +/-√(120)}/6
Si le nombre sous le radical est un carré parfait, vous obtiendrez un nombre entier. Si le nombre sous la racine n'est pas un carré parfait, essayez de le simplifier au maximum. Si ce nombre est négatif, et que vous en êtes certain(e) alors vous obtiendrez une racine complexe. Dans notre exemple, √(121) = 11. Vous pouvez alors écrire votre résultat de la façon suivante : x = (5 +/- 11)/6.
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Résolvez les réponses selon que votre racine donne une valeur positive ou négative. Si vous avez éliminé la racine carrée, alors vous pouvez continuer pour trouver votre résultat final selon que le résultat de la racine soit positif ou négatif. À présent que vous avez obtenu (5 +/- 11)/6, vous obtiendrez deux résultats :
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
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Résolvez les réponses selon que votre racine donne une valeur positive ou négative. Faites simplement les calculs :
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
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Simplifiez votre résultat. Pour simplifier chaque réponse, il vous suffit de les diviser par le plus grand nombre dont le numérateur et le dénominateur sont tous les deux des multiples. Divisez la première fraction par 2, et la seconde par 6, et vous obtiendrez vos x.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:

Élever au carré

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Déplacez tous les termes du même côté de l'équation. Assurez-vous que le coefficient a devant le x² est positif. Voici comment faire ^{[3]XSource de recherche}. :
- 2x² - 9 = 12x =
- 2x² - 12x - 9 = 0
  - Dans cette équation, le coefficient a vaut 2, le coefficient b vaut -12 et le coefficient c vaut -9.
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Passez le terme c (soit la constante) de l'autre côté. La constante est le terme numérique sans x. Déplacez-la à droite de l'équation :
- 2x² - 12x - 9 = 0
- 2x² - 12x = 9
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Divisez les deux côtés par le coefficient de a ou du terme en x². Si x² est exempt de coefficient, ce qui signifie qu'il possède un coefficient égal à 1, alors vous pouvez sauter cette étape. Dans notre cas, il vous faudra diviser tous les termes par 2, de la façon suivante :
- 2x²/2 - 12x/2 = 9/2
- x² - 6x = 9/2
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Divisez b par 2, élevez la valeur obtenue au carré, et ajoutez le résultat des deux côtés. Dans notre exemple, le coefficient b vaut -6. Voici comment faire :
- -6/2 = -3 =
- (-3)² = 9 =
- x² - 6x + 9 = 9/2 + 9
Factorisez le terme du côté gauche pour obtenir (x-3)(x-3), ou (x-3)². Additionnez les termes du côté droit pour obtenir 9/2 + 9, ou 9/2 + 18/2, ce qui donne 27/2.
La racine carrée de (x-3)² est simplement (x-3). Pour 27/2, vous pouvez écrire : ±√(27/2). Donc, x - 3 = ±√(27/2).
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Simplifiez la racine pour trouver x. Pour simplifier ±√(27/2), trouvez le carré parfait de 27 ou 2 ou de leurs facteurs. Pour le nombre 27, nous obtenons un carré parfait de 9, car 9 x 3 = 27. Pour extraire le 9 de la racine, enlevez le chiffre 9 et écrivez le chiffre 3, sa racine carrée, à l'extérieur du radical. Ne touchez pas au 3 dans le numérateur sous la racine, car ce facteur de 27 ne peut pas être éliminé, et laissez le chiffre 2 au dénominateur. Puis, déplacez la constante de 3 du côté gauche de l'équation et placez-la à droite, avant de noter vos deux solutions de x :
- x = 3 +(√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
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Conseils

Comme vous pouvez le voir, la solution comporte toujours une racine carrée. En effet le numérateur n’a pu être réduit (car il n'y a pas de terme similaire au dénominateur). Inutile donc de dissocier en deux solutions comportant des plus ou moins. Au lieu de cela, divisez la totalité de l'équation par un facteur commun, mais UNIQUEMENT si ce facteur est bien commun aux deux constantes ET au coefficient de la racine.
Si le nombre sous la racine carrée n'est pas un carré parfait, les dernières étapes fonctionneront un peu différemment. Voici un exemple.
Si le terme "b" est un nombre pair, cela donnera : {-(b/2) +/- √(b/2)-ac}/a.