如何解二次方程

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在本文中：

因式分解法

用二次公式

配方法

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参考

二次方程就是含有最高为二次的项的方程。有三种方法可以解这类方程：因式分解法、二次公式法、或者配方法。下面介绍这三种方法。

步骤

方法 1

方法 1 的 3:

因式分解法

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1. 
   1
   把所有同类项合并，移到等式一边。首先要把所有同类项合并，并让x² 保持为正数。要合并，只要加减x² 项、x项和常数项，移到等号一边。一边没有东西了以后，就写0就可以了。以下是方法：

   • 2x² - 8x - 4 = 3x - x² =
   • 2x² +x² - 8x -3x - 4 = 0
   • 3x² - 11x -4 = 0
2. 
   2
   因式分解表达式。要因式分解，要利用x² 项 (3)的因数、常数项(-4)的因数，相乘后加起来等于中间项数(-11)。按以下步骤做：

   • 因为 3x² 只有一组可能的因数，即 3x 、 x ，写入括号得(3x +/- ? )(x +/- ?) = 0
   • 然后分解4，找出一个组合以相乘得到 -11x 。可以用4和1组合，或者2和2组合。要记得其中一项是负数，因为常数项是-4
   • 试试(3x +1)(x -4) 乘后得到 - 3x² -12x +x -4。合并-12x 和 x，得到-11x ， 就是目标的中间项。这样因式分解了一个二次方程。
   • 作为例子，我们试试另外一种行不通的解： (3x -2)(x +2) = 3x² +6x -2x -4 ，合并后得到3x² -4x -4。虽然-2 和 2 乘起来是-4 ，中间项还是不对，因为要得到-11x，不是 -4x
3. 
   3
   让所有括号项等于0，作为分开的等式。这就是说，让3x +1 = 0 、 x - 4 = 0。这样就可以让你找出两个x解，来确保整个等式等于0。因式分解了以后，只要让括号分别等于0就好。但为什么呢？因为要通过乘法来得到0，根据数学原理有一个因子就必须为0，所以至少有一个括号中的结果要等于0；因此，(3x + 1)或(x - 4)必须等于0。所以，你既可以写成$3x+1=0$，也可以写成$x-4=0$。
4. 
   4
   分开解每个方程。在二次方程式中，有两个x的解，只要独立解出每个解就可以了。

   • 求解 3x + 1 = 0
     • 3x = -1 ..... 减法
     • 3x/3 = -1/3 ..... 除法
     • x = -1/3 ..... 简化
   • Solve x - 4 = 0
     • x = 4 ..... 减法
   • x = (-1/3, 4) ..... 得出多种可能的解法，即x = -1/3，或者x = 4，答案都一样。
5. 
   5
   在(3x + 1)(x – 4) = 0中验算x = -1/3：
   
   我们来算一算 (3[-1/3] + 1)([-1/3] – 4) ?=? 0 .....代入 (-1 + 1)(-4 1/3) ?=? 0 .....简化 (0)(-4 1/3) = 0 .....乘法，得出0 = 0 .....没错，x = -1/3
6. 
   6
   在(3x + 1)(x - 4) = 0中验算x = 4：
   
   我们来算一算(3[4] + 1)([4] – 4) ?=? 0 .....代入 (13)(4 – 4) ?=? 0 .....简化 (13)(0) = 0 .....乘法 0 = 0 ..... 没错，x = 4同样是正确的

   • 所以，两种解法经过单独“验算”，都得出了正确的结果。
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方法 2

方法 2 的 3:

用二次公式

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1. 
   1
   合并所有同类项，移到等号一边。像上面步骤一样，移到一边去，保持x²是正数，按次数大小排列，x²最前，x中间，常数项最后：

   • 4x² - 5x - 13 = x² -5
   • 4x² - x² - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x² - 5x - 8 = 0
2. 
   2
   写下二次公式 ：{-b +/-√ (b² - 4ac)}/2a
3. 
   3
   找出a、b、c的值。这里a就是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。3x² -5x - 8 = 0， a = 3， b = -5， c = -8。记下来。
4. 
   4
   把已知的a、b、c代入公式，按以下步骤来做：

   • {-b +/-√ (b² - 4ac)}/2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) ² - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) ² - (-96))}/2(3)
5. 
   5
   算出解。替代公式中a、b、c以后，计算出各个解。如下：

   • {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6
6. 
   6
   简化根式。如果根号内是完全平方数，就会得到整数，但如果不是，就将其简化为最简形式。如果是负数，则解是复数。这里 √(121) = 11。 于是x = (5 +/- 11)/6。
7. 
   7
   把正数解和负数解解出来。消除根号以后，就会发现有两根，一根正一根负。即(5 +/- 11)/6，得到两根：

   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6
8. 
   8
   解出两根：

   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6
9. 
   9
   简化解。只要上下同除以最大公因数，化简分式就可以。把第一个解除以2，第二个除以6，得到解。

   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)
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方法 3

方法 3 的 3:

配方法

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1. 
   1
   把所有同类项合并到等号一边。注意a 或 x² 系数是正数。按下列步骤做：

   • 2x² - 9 = 12x =
   • 2x² - 12x - 9 = 0
     • 等式中，a 是2，b是-12 ， c 是-9
2. 
   2
   把c 或常数移到等号另一边。常数项就是不含有变量的项。移到等号右边。

   • 2x² - 12x - 9 = 0
   • 2x² - 12x = 9
3. 
   3
   两边同时除以 a ，即x² 系数。 若x² 没有系数，或者说只有系数1，则跳过此步骤。 本例子中要把所有项除以2：

   • 2x²/2 - 12x/2 = 9/2 =
   • x² - 6x = 9/2
4. 
   4
   再把 b除以2，得出它的平方，然后两边同时加上这个平方数。 这里b是-6，如下处理：

   • -6/2 = -3 =
   • (-3)2 = 9 =
   • x² - 6x + 9 = 9/2 + 9
5. 
   5
   两边同时化简。左边得到(x-3)(x-3)或 (x-3) ²，在右边加上了数得到9/2 + 9 或 9/2 + 18/2，得到27/2
6. 
   6
   找出两边的平方根。(x-3) ² 平方根就是(x-3)。27/2 的平方根是±√(27/2)。 由此 x - 3 = ±√(27/2)
7. 
   7
   简化根号，解出x。要简化±√(27/2)，就要找出2或27中的完全平方数因数。9 是 27的一个完全平方数因数，9 x 3 = 27。 要把9提出来，在根号外写出9的平方根3，根号内留下不能分解的3，还有分母的2，然后把等号左侧的3移过来，解出两个x解：

   • x = 3 +(√6)/2
   • x = 3 - (√6)/2)
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小提示

• 可以发现根号不能完全消掉。因此分子部分不能合并（因为不是同类数字）。因此把加号减号分开没太多意义。我们要把任何常数项和根号外系数的因数提出来化简。
• 若根号下不是完全平方数，则最后几步有点不同。

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