İkinci Dereceden Denklemler Nasıl Çözülür?

Makaleyi İndir

Makaleyi İndir

Bu Makalede:

Denklemi Çarpanlara Ayırmak

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanmak

Kareyi Tamamlamak

İlgili Makaleler

Referanslar

İkinci dereceden bir denklem, değişkenin en yüksek kuvvetinin 2 olduğu, tek değişkenli bir polinom denklemidir. İkinci dereceden bir denklemi çözmenin iki ana yolu bulunur: 1) eğer yapabiliyorsan ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırmak, 2) ikinci dereceden denklem formülünü kullanmak, 3) kareyi tamamlamak. Bu üç metodu iyice anlamak istiyorsan aşağıdaki adımları takip etmen yeterli.

Adımlar

Yöntem 1

Yöntem 1 / 3:

Denklemi Çarpanlara Ayırmak

Makaleyi İndir

1. 
   1
   Tüm benzer terimleri birleştir ve denklemin bir tarafına taşı. Çarpanlara ayırmanın ilk adımı $x^{2}$ ifadesi pozitif olacak şekilde tüm terimleri denklemin bir tarafına taşımaktır. Terimleri birleştirmek için, tüm $x^{2}$’li terimleri, $x$’li terimleri ve sabitleri (tamsayılı ifadeler) ekleyip çıkardıktan sonra onları denklemin bir tarafına taşı, böylece diğer tarafta hiçbir şey kalmasın. Karşı tarafta hiç terim kalmadıktan sonra, eşittir işaretinin o tarafında "0" yazabilirsin. İşte şöyle yapacaksın:

   • $2x^{2}-8x-4=3x-x^{2}$
   • $2x^{2}+x^{2}-8x-3x-4=0$
   • $3x^{2}-11x-4=0$
2. 
   2
   İfadeyi çarpanlarına ayır. İfadeyi çarpanlarına ayırmak için, $x^{2}$’li (3) ve sabit terimin (-4) çarpanlarını kullanarak bunları çarpıp topladıktan sonra orta terimi (-11) elde etmen gerekiyor. İşte şöyle yapacaksın:

   • $3x^{2}$’nin sadece $3x$ and $x$ şeklinde bir tane çarpanı olduğundan, bunları parantez içinde yazabilirsin: $(3x\pm ?)(x\pm ?)=0$.
   • Sonra, çarpıldığında -11x’i veren, 4’ün çarpan kombinasyonunu bulmak için eleme işlemini kullan. 4 ve 1 veya 2 ve 2 kombinasyonlarını kullanabilirsin, zira bu rakamların çarpımı 4 sonucunu verir. Terim -4 olduğu için, sadece bu terimlerden birinin negatif olması gerektiğini unutma.
   • Deneme yanılma ile $(3x+1)(x-4)$ çarpan kombinasyonlarını dene. Bunları çarptığında, $3x^{2}-12x+x-4$ sonucunu elde edersin. $-12x$ ve $x$ terimlerini birleştirirsen elde etmek istediğin $-11x$ değerine ulaşırsın. Böylece ikinci dereceden bir denklemi çarpanlarına ayırmış oldun.
   • Deneme yanılma örneği olması açısından, $3x^{2}-11x-4=0$ denklemi için yanlış olan bir çarpan kombinasyonu deneyelim: $(3x-2)(x+2)$ = $3x^{2}+6x-2x-4$. Bu terimleri birleştirirsen, $3x^{2}-4x-4$ sonucunu elde edersin. -2 ve 2’nin çarpımı -4 yapıyor olsa da, elde etmen gereken değer $-4x$ değil de $-11x$ olduğu için bu çarpanlar işe yaramaz.
3. 
   3
   Farklı denklemler olarak parantez içlerini sıfıra eşitle. Böylece tüm denklemi sıfıra eşitleyen iki $x$ değeri bulacaksın, $(3x+1)(x-4)$ = 0. Denklemi çarpanlarına ayırdığına göre, tek yapman gereken parantez içindeki ifadeleri sıfıra eşitlemek. Peki neden? Çünkü çarpım ile sıfır elde etmek için bir "prensibimiz, kuralımız veya özelliğimiz” var ve buna göre bir çarpan sıfır olmalı, sonra parantez içindeki çarpanların en azından biri - $(3x+1)(x-4)$ denkleminde olduğu gibi - sıfır olmalı; yani (3x + 1) veya (x - 4) sıfıra eşit olmalı. O zaman, $3x+1=0$ ve ayrıca $x-4=0$ yazmalısın.
4. 
   4
   Her bir "sıfırlanmış" denklemi bağımsız olarak çöz. İkinci dereceden bir denklemde, x için iki muhtemel değer olacaktır. Değişkeni yalnız bırakıp x’i sağlayan iki değeri yazarak her olası x değeri için tek tek bir x değeri bul. İşte şöyle yapacaksın:

   • 3x + 1 = 0 denklemini çöz.
     • 3x = -1 ..... çıkarma yaparak
     • 3x/3 = -1/3 ..... bölme yaparak
     • x = -1/3 ..... sadeleştirerek
   • x - 4 = 0 denklemini çöz
     • x = 4 ..... çıkarma yaparak
   • x = (-1/3, 4) ..... bulunan değerleri bir grup yaparak, bunun anlamı x = -1/3 veya x = 4 çözüm sağlıyor demektir.
5. 
   5
   x = -1/3 değerini (3x + 1)(x – 4) = 0 denkleminde dene:
   
   Elimizde (3[-1/3] + 1)([-1/3] – 4) ?=? 0 denklemi var. Değeri yerine koyalım: (-1 + 1)(-4 1/3) ?=? 0. İfadeyi sadeleştirelim: (0)(-4 1/3) = 0. Çarpımı yaparsak 0 = 0 olur. Evet, x = -1/3 işe yarıyor.
6. 
   6
   x = 4 değerini (3x + 1)(x - 4) = 0 denkleminde dene:
   
   Elimizde (3[4] + 1)([4] – 4) ?=? 0 denklemi var. Değeri yerine koyalım: (13)(4 – 4) ?=? 0. İfadeyi sadeleştirelim: (13)(0) = 0. Çarpımı yaparsak 0 = 0 ..... Evet, x = 4 işe yarıyor.

   • Yani, iki çözüm de ayrı ayrı "sağlandı" ve iki farklı çözümün de işe yaradığı ve doğru olduğu onaylandı.
   Reklam

Yöntem 2

Yöntem 2 / 3:

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanmak

Makaleyi İndir

1. 
   1
   Benzer terimlerin hepsini birleştir ve bunları denklemin bir tarafına taşı. $x^{2}$ terimi pozitif olacak şekilde tüm terimleri eşittirin bir tarafına taşı. Terimlerin dereceleri azalacak şekilde yaz, yani önce $x^{2}$, peşinde de $x$ ve sabit terim gelecek. İşte şöyle yapacaksın:

   • 4x² - 5x - 13 = x² -5
   • 4x² - x² - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x² - 5x - 8 = 0
2. 
   2
   İkinci dereceden denklem formülünü yaz. İkinci dereceden denklem formülü şöyledir: ${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$
3. 
   3
   İkinci dereceden denklemdeki a, b ve c değerlerini tanımla. a değişkeni x² teriminin kaysatısı, b x teriminin katsayısı ve c de sabit terimdir. 3x² -5x - 8 = 0 denklemi için; a=3, b=-5 ve c=-8. Bunu not et.
4. 
   4
   a, b ve c değerlerini denklemde yerine koy. Artık üç değişkenin değerini bildiğine göre, onları şu şekilde denklemde yerine koyabilirsin:

   • {-b +/-√ (b² - 4ac)}/2
   • {-(-5) +/-√ ((-5)² - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3)
5. 
   5
   Hesabı yap. Değerleri yerine koyduktan sonra, kalan terimlerdeki artı veya eksi işaretlerini sadeleştir, çarpma işlemlerini yap veya kareli ifadeleri çöz. İşte şöyle yapacaksın:

   • {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6
6. 
   6
   Karekökü sadeleştir. Eğer kök işareti altındaki sayı tam kare ise, sonuç tam sayı olur. Eğer sayı tam kare değilse, o zaman köklü ifadeyi sadeleştir. Eğer sayı negatif ise ve negatif olması gerektiğinden emin isen, o zaman kökler karmaşık sayı olur. Bu örnekte, √(121) = 11’dir. x = (5 +/- 11)/6 yazabilirsin.
7. 
   7
   Pozitif ve negatif sonuçları bul. Eğer kareköklü ifadeden kurtulduysan, o zaman x’in pozitif ve negatif sonuçlarını bulana kadar devam edebilirsin. Artık elinde (5 +/- 11)/6 olduğuna göre, iki seçenek yazabilirsin:

   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6
8. 
   8
   Pozitif ve negatif cevapları bul. Sadece hesabı yapman yeterli:

   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6
9. 
   9
   Sadeleştir. İki cevabı da sadeleştirmek için bunları, iki sayıyı da eşit bölebilen en büyük sayıya böl. İlk kesri 2’ye ve ikincisini de 6’ya böl ve x’i bul.

   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)
   Reklam

Yöntem 3

Yöntem 3 / 3:

Kareyi Tamamlamak

Makaleyi İndir

1. 
   1
   Tüm terimleri denklemin bir tarafına taşı. a, yani x²’nin katsayısının pozitif olduğundan emin ol. İşte şöyle yapacaksın:

   • 2x² - 9 = 12x =
   • 2x² - 12x - 9 = 0
     • Bu denklemde, a terimi 2, b terimi -12 ve c terimi de -9’dur.
2. 
   2
   c terimini, yani sabit terimi diğer tarafa taşı. Sabit terim, değişkeni olmayan sayısal terimdir. Bunu denklemin sağ tarafına taşı:

   • 2x² - 12x - 9 = 0
   • 2x² - 12x = 9
3. 
   3
   İki tarafı da a’ya, yani x² teriminin katsayısına böl. Eğer x²’nin önünde terim yoksa ve katsayısı 1 ise, o zaman bu adımı atlayabilirsin. Bu durumda, tüm terimleri şu şekilde 2’ye bölmen gerekecek:

   • 2x²/2 - 12x/2 = 9/2 =
   • x² - 6x = 9/2
4. 
   4
   b’yi 2’ye böl, karesini al ve sonucu iki tarafa da ekle. Bu örnekteki b terimi -6’dır. İşte şöyle yapacaksın:

   • -6/2 = -3 =
   • (-3)² = 9 =
   • x² - 6x + 9 = 9/2 + 9
5. 
   5
   İki tarafı da sadeleştir. Sol taraftaki terimleri çarpanlarına ayırarak (x-3)(x-3) veya (x-3)²’yi elde edersin. Sağ taraftaki 9/2 + 9 veya 9/2 + 18/2’yi toplayarak 27/2’yi elde edersin.
6. 
   6
   İki tarafın da karekökünü al. (x-3)²’nin karekökü (x-3)’tür. 27/2’nin karekökünü ±√(27/2) şeklinde yazabilirsin. Böylece, x - 3 = ±√(27/2) olur.
7. 
   7
   Karekökü sadeleştir ve x’i çöz. ±√(27/2)’yi sadeleştirmek için, 27’nin, 2’nin veya katsayılarının içinde tam kare ara. 9’un tam karesi 27 içinde bulunabilir, çünkü 9 x 3 = 27’dir. 9’u karekök dışına çıkarmak için, 9’u karekökün dışına al ve karekökü olan 3’ü yaz. 27’nin çarpanı karekök dışına alınamadığından 3’ü karekök işareti içindeyken payda ve 2’yi de paydada bırak. Sonra, denklemin sol tarafındaki 3 sabitini sağ tarafa taşı ve x için bulduğun iki çözümü yaz:

   • x = 3 + 3(√6)/2
   • x = 3 - 3(√6)/2)
   Reklam

İpuçları

• Gördüğün gibi, karekök işareti tamamen gitmedi. Bundan dolayı, paydaki terimler birleştirilemez (çünkü benzer terimler değiller). O zaman, artı veya eksiyi ayırmanın bir anlamı yok. Bunun yerine, ortak çarpanlar varsa onlara böleriz --- ama SADECE eğer çarpan, iki sabit VE karekökün katsayısı için de ortak ise.
• Eğer karekök içindeki sayı tam kare değilse, o zaman son birkaç adım daha farklı olur. İşte bir örnek:
• Eğer "b" bir tek sayı ise, formül şudur: {-(b/2) +/- √(b/2)-ac}/a.

Reklam