Как решать квадратные уравнения

Квадратным уравнением называется такое уравнение, в котором наибольшее значение степени переменной равно 2. Существуют три основных способа решения квадратных уравнений: если возможно, разложить квадратное уравнение на множители, использовать формулу корней квадратного уравнения или дополнить до полного квадрата. Хотите узнать, как же все это делается? Читайте дальше.

Метод 1

Метод 1 из 3:

Разложение уравнения на множители

Загрузить PDF

1
Сложите все схожие элементы и перенесите в одну часть уравнения. Это и будет первым шагом, значение $x^{2}$ $How.com.vn Русский: x^{2}$ при этом должно оставаться положительным. Сложите или вычтите все значения $x^{2}$ $How.com.vn Русский: x^{2}$ , $x$ $How.com.vn Русский: x$ и постоянных, перенеся все в одну часть и оставив 0 в другой. Вот как это делается:^{[1]XИсточник информации}
- $2x^{2}-8x-4=3x-x^{2}$
- $2x^{2}+x^{2}-8x-3x-4=0$
- $3x^{2}-11x-4=0$
2
Разложите выражение на множители. Для этого нужно использовать значения $x^{2}$ $How.com.vn Русский: x^{2}$ (3), постоянные значения (-4), они должны перемножаться и образовывать -11. Вот как это сделать:
- $3x^{2}$ имеет только два возможных множителя: $3x$ и $x$ , так что их можно записать в скобках: $(3x\pm ?)(x\pm ?)=0$ .
- Далее, подставляя множители 4, найдем комбинацию, при умножении дающую -11x. Можно использовать комбинацию 4 и 1, или 2 и 2, так как и то, и другое дает 4. Помните, что значения должны быть отрицательные, ведь у нас -4.
- Методом проб и ошибок вы получите комбинацию $(3x+1)(x-4)$ . При умножении получаем $3x^{2}-12x+x-4$ . Соединив $-12x$ и $x$ , получаем средний член $-11x$ , который мы и искали. Квадратное уравнение разложено на множители.
- Для примера попробуем неподходящую комбинацию: ( $(3x-2)(x+2)$ = $3x^{2}+6x-2x-4$ . Объединив, получим $3x^{2}-4x-4$ . Хотя множители -2 и 2 при умножении дают -4, средний член не подходит, ведь мы хотели получить $-11x$ , а не $-4x$ .
Приравняйте каждое выражение в скобках к нулю (как отдельные уравнения). Так мы найдем два значения $x$ , при которых все уравнение равно нулю, $(3x+1)(x-4)$ = 0. Теперь остается приравнять к нулю каждое из выражений в скобках. Почему? Дело в том, что произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Так как $(3x+1)(x-4)$ равно нулю, то либо (3x + 1), либо (x - 4) равно нулю. Запишите $3x+1=0$ и $x-4=0$ .
4
Решите каждое уравнение по отдельности. В квадратном уравнении x имеет два значения. Решите уравнения и запишите значения x:
- Решите уравнение 3x + 1 = 0
  - 3x = -1 ..... путем вычитания
  - 3x/3 = -1/3 ..... путем деления
  - x = -1/3 ..... после упрощения
- Решите уравнение x - 4 = 0
  - x = 4 ..... путем вычитания
- x = (-1/3, 4)..... возможные значения, то есть x = -1/3 или x = 4.
5
Проверьте x = -1/3, подставив это значение в (3x + 1)(x - 4) = 0:
- (3[-1/3] + 1)([-1/3] – 4) ?=? 0 ..... путем подстановки
- (-1 + 1)(-4 1/3) ?=? 0 ..... после упрощения
- (0)(-4 1/3) = 0 ..... после умножения
- 0 = 0, следовательно, x = -1/3 – правильный ответ.
6
Проверьте x = 4, подставив это значение в (3x + 1)(x - 4) = 0:
- (3[4] + 1)([4] – 4) ?=? 0 ..... путем подстановки
- (13)(4 – 4) ?=? 0 ..... после упрощения
- (13)(0) = 0 ..... после умножения
- 0 = 0, следовательно, x = 4 – правильный ответ.
- Таким образом, оба решения являются верными.
Реклама

Метод 2

Метод 2 из 3:

Использование формулы корней квадратного уравнения

Загрузить PDF

1
Объедините все члены и запишите с одной стороны уравнения. Сохраните значение $x^{2}$ $How.com.vn Русский: x^{2}$ положительным. Запишите члены в порядке уменьшения степеней, таким образом член $x^{2}$ $How.com.vn Русский: x^{2}$ пишется первым, далее $x$ $How.com.vn Русский: x$ и затем постоянная:
- 4x² - 5x - 13 = x² -5
- 4x² - x² - 5x - 13 +5 = 0
- 3x² - 5x - 8 = 0
Формула имеет следующий вид: ${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ ^{[2]XИсточник информации}
Переменная a - коэффициент члена x², b – члена x, c – постоянная. Для уравнения 3x² -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5, и c = -8. Запишите это.
4
Подставьте значения a, b и c в уравнение. Зная значения трех переменных, вы можете подставить их в уравнение следующим образом:
- {-b +/-√ (b² - 4ac)}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5)² - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3)
5
Подсчитайте. Подставив значения, упростите плюсы и минусы, перемножьте или возведите в квадрат оставшиеся члены:
- {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Если число под знаком квадратного корня – квадрат, вы получите целое число. Если нет, упростите его до наиболее простого значения корня. Если число отрицательное, и вы уверены, что оно должно быть отрицательным, то корни будут сложные. В этом примере √(121) = 11. Можете записать, что x = (5 +/- 11)/6.
7
Найдите положительные и отрицательные решения. Если вы удалили знак квадратного корня, то можете продолжать до тех пор, пока не найдете положительные и отрицательные значения x. Имея (5 +/- 11)/6, можно записать:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
8
Найдете положительные и отрицательные значения. Просто посчитайте:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
9
Упростите. Для этого просто разделите оба на наибольший общий делитель. Первую дробь делите на 2, вторую на 6, x найден.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
Реклама

Метод 3

Метод 3 из 3:

Дополнение до полного квадрата

Загрузить PDF

1
Перенесите все члены на одну сторону уравнения. a или x² должен быть положительным. Это делается так:^{[3]XИсточник информации}
- 2x² - 9 = 12x =
- 2x² - 12x - 9 = 0
  - В этом уравнении a: 2, b: -12,c: -9.
2
Перенесите член c (постоянную) на другую сторону. Постоянная – это член уравнения, содержащий только числовое значение, без переменных. Перенесите ее в правую часть:
- 2x² - 12x - 9 = 0
- 2x² - 12x = 9
3
Разделите обе части на коэффициент a или x². Если x² не имеет коэффициента, то он равен единице и этот шаг можно пропустить. В нашем примере все члены делим на 2:
- 2x²/2 - 12x/2 = 9/2 =
- x² - 6x = 9/2
4
Разделите b на 2, возведите в квадрат и прибавьте к обеим сторонам. В нашем примере b равно -6:
- -6/2 = -3 =
- (-3)² = 9 =
- x² - 6x + 9 = 9/2 + 9
Возведите в квадрат члены слева и получится (x-3)(x-3), или (x-3)². Сложите члены справа и получится 9/2 + 9, или 9/2 + 18/2, что равняется 27/2.
Извлеките квадратный корень из обеих частей. Квадратный корень из (x-3)² равен просто (x-3). Квадратный корень из 27/2 можно записать как ±√(27/2). Таким образом, x - 3 = ±√(27/2).
7
Упростите подкоренное выражение и найдите x. Чтобы упростить ±√(27/2), найдите полный квадрат в числах 27 и 2 или их множителях. В 27 есть полный квадрат 9, ведь 9 x 3 = 27. Чтобы вывести 9 из под знака корня, извлеките из него корень и вынесите 3 из-под знака корня. Оставьте 3 в числители дроби под знаком корня, так как этот множитель извлечь нельзя, а также оставьте 2 снизу. Далее перенесите постоянную 3 из левой части уравнения в правую и запишите два решения для x:
- x = 3 +(√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
Реклама

Советы

Если число под знаком корня не полный квадрат, то последние несколько шагов выполняются чуть иначе. Вот пример:
Как видите, знак корня не исчез. Таким образ члены в числители объединить нельзя. Тогда нет смысла разбивать плюс-или-минус. Вместо этого мы делим любые общие множители – но только если множитель общий для постоянной и коэффициента корня.