De kans op enkele of meerdere willekeurige gebeurtenissen berekenen

De kans bestaat dat je kansberekening reeds bent tegengekomen, maar wat is een kans precies en hoe bereken je die? Een kans is de waarschijnlijkheid dat een specifieke gebeurtenis voorkomt, zoals de loterij winnen of een 6 gooien met een dobbelsteen. De kans vinden is makkelijk met de kansformule (het aantal gunstige resultaten gedeeld door het totale aantal uitkomsten). In dit artikel laten we je zien hoe je precies stap voor stap de kansformule moet gebruiken, plus wat voorbeelden van de kansformule in actie.

Methode 1

Methode 1 van 3:

De kans vinden van een enkele willekeurige gebeurtenis

Pdf downloaden

Een kans kan alleen berekend worden wanneer de gebeurtenis waarvan je de kans berekent of wel gebeurt, of niet gebeurt. De gebeurtenis en zijn tegenovergestelde kunnen niet tegelijkertijd gebeuren. Een 5 gooien met een dobbelsteen en een bepaald paard dat een race wint, zijn voorbeelden van elkaar uitsluitende gebeurtenissen. Of er wordt een 5 gegooid, of niet; of het paard wint, of niet.^[1]XBron
Voorbeeld: Het zou onmogelijk zijn om de kans te berekenen van een gebeurtenis geformuleerd als: “Zowel een 5 als een 6 zullen met een enkele worp van de dobbelsteen bovenkomen.”
2
Definieer alle mogelijke gebeurtenissen en uitkomsten die kunnen voorkomen. Laten we zeggen dat je de waarschijnlijkheid probeert te vinden van het werpen van een 3 op een 6-kantige dobbelsteen. ‘Een 3 werpen’ is de gebeurtenis en omdat we weten dat een 6-kantige dobbelsteen op elk van de 6 getallen kan landen, is het aantal uitkomsten 6. Dus we weten dat in dit geval er 6 mogelijke gebeurtenissen zijn en 1 uitkomst waarvan we de kans willen berekenen. Hier zijn nog 2 voorbeelden om je te helpen oriënteren:
- Voorbeeld 1: Wat is de kans om een dag te kiezen die in het weekend valt als je willekeurig een dag in de week kiest? ‘Een dag kiezen die in het weekend valt’ is onze gebeurtenis en het aantal uitkomsten is het totale aantal dagen in een week: 7.
- Voorbeeld 2: Een pot bevat 4 blauwe knikkers, 5 rode knikkers en 11 witte knikkers. Als er willekeurig een knikker uit de pot wordt gepakt, wat is dan de kans dat deze knikker rood is? ‘Een knikker kiezen’ is onze gebeurtenis en het aantal uitkomsten is het totale aantal knikkers in de pot, 20.
3
Deel het aantal gebeurtenissen door het aantal mogelijke uitkomsten. Dit geeft ons de kans dat een enkele gebeurtenis voorkomt. In het geval dat je een 3 gooit met de dobbelsteen, is het aantal gebeurtenissen 1 (er staat maar één 3 op elke dobbelsteen) en het aantal uitkomsten is 6. Je kunt de relatie ook uitdrukken als 1 ÷ 6, 1/6, 0,166, of 16,6%. Hier staat hoe je de kans vindt van onze overgebleven voorbeelden:^[2]XBron
- Voorbeeld 1: Wat is de waarschijnlijkheid dat je een dag kiest die in het weekend valt als je willekeurig een dag van de week kiest? Het aantal gebeurtenissen is 2 (omdat 2 dagen van de week in het weekend zijn), en het aantal uitkomsten is 7. De kans is 2 ÷ 7 = 2/7. Je kunt dit ook uitdrukken als 0,285 of 28,5%.
- Voorbeeld 2: Een pot bevat 4 blauwe knikkers, 5 rode knikkers en 11 witte knikkers. Als er een knikker willekeurig uit de pot gehaald wordt, wat is dan de kans dat deze knikker rood is? Het aantal gebeurtenissen is 5 (omdat er 5 rode knikkers zijn), en het aantal uitkomsten is 20. De kans is 5 ÷ 20 = 1/4. Je kunt dit ook uitdrukken als 0,25 of 25%.
4
Tel alle waarschijnlijkheden dat een gebeurtenis voorkomt op om te controleren of ze gelijk zijn aan 1. De waarschijnlijkheid van alle mogelijke gebeurtenissen moet samen 1 of 100% zijn. Als de waarschijnlijkheid van alle mogelijke gebeurtenissen niet bij elkaar 100% is, heb je waarschijnlijk een fout gemaakt omdat je een mogelijke gebeurtenis bent vergeten. Controleer je berekeningen om te controleren dat je geen mogelijke gebeurtenissen weglaat.^[3]XBron
- De waarschijnlijkheid dat je een 3 gooit met een 6-kantige dobbelsteen is 1/6. Maar de kans op het gooien van alle 5 andere getallen op een dobbelsteen is ook 1/6. 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, wat = 100%.
Opmerking: Als je bijvoorbeeld het getal 4 of de dobbelsteen was vergeten, tellen de kansen maar op tot 5/6 of 83%, wat een probleem aangeeft.
5
Vertegenwoordig de kans op een onmogelijke uitkomst door een 0. Dit betekent gewoon dat er geen kans is dat een gebeurtenis voorkomt en komt iedere keer voor als je te maken hebt met een gebeurtenis die simpelweg niet kan gebeuren. Hoewel een kans van 0 berekenen niet waarschijnlijk is, is het ook niet onmogelijk.^[4]XBron
- Als je bijvoorbeeld de kans zou berekenen dat Eerste Paasdag in het jaar 2030 op een maandag valt, is de kans 0 omdat Eerste Paasdag altijd op een zondag valt.
Advertentie

Methode 2

Methode 2 van 3:

De kans op meerdere willekeurige gebeurtenissen berekenen

Pdf downloaden

Zodra je hebt gevonden wat deze kansen zijn, bereken je ze afzonderlijk. Stel dat je de kans wilt berekenen dat je twee keer achter elkaar een 5 gooit met een 6-kantige dobbelsteen. Je weet dat de kans om één 5 te gooien 1/6 is en de kans om nog een 5 te gooien met dezelfde dobbelsteen ook 1/6 is. De eerste uitkomst heeft geen effect op de tweede.^[5]XBron
Opmerking: De kansen dat er 5-en worden gegooid worden ‘onafhankelijke gebeurtenissen’ genoemd, omdat dat wat je de eerste keer gooit geen effect heeft op wat er de tweede keer gebeurt.
2
Bekijk het effect van vorige gebeurtenissen als je de kans voor afhankelijke gebeurtenissen berekent. Als het voorkomen van 1 gebeurtenis de kans wijzigt dat een tweede gebeurtenis voorkomt, meet je de kans van ‘afhankelijke gebeurtenissen’. Als je bijvoorbeeld 2 kaarten trekt uit een pak van 52 kaarten, heeft wanneer je de eerste kaart trekt effect op welke kaarten nog beschikbaar zijn wanneer je de tweede kaart kiest. Om de kans te berekenen voor de tweede van de twee afhankelijke gebeurtenissen, moet je 1 aftrekken van het mogelijke aantal uitkomsten als je de kans berekent van de tweede gebeurtenis.^[6]XBron
- Voorbeeld 1: Bekijk de gebeurtenis: Twee kaarten worden willekeurig getrokken uit een pak kaarten. Wat is de kans dat beide kaarten klaveren zijn?? De kans dat de eerste kaart klaveren is, is 13/52, of 1/4. (Er zijn 13 klaveren in ieder pak kaarten.)
  - Welnu, de kans dat de tweede kaart een klaveren is, is 12/51, omdat er al 1 klaveren uit is. Dit is omdat wat je de eerste keer doet effect heeft op de tweede keer. Als je een klaveren 3 trekt en niet terugstopt, is er één klaveren minder en één kaart minder in het pak (51 in plaats van 52).
- Voorbeeld 2: Een pot bevat 4 blauwe knikkers, 5 rode knikkers en 11 witte knikkers. Als er 3 knikkers willekeurig uit de pot worden gehaald, wat is dan de kans dat de eerste knikker rood is, de tweede knikker blauw en de derde wit?
  - De kans dat de eerste knikker rood is, is 5/20, of 1/4. De kans dat de tweede knikker blauw is, is 4/19, omdat we 1 knikker minder hebben, maar niet 1 blauwe knikker minder. En de kans dat de derde knikker wit is, is 11/18, omdat we al 2 knikkers gekozen hebben.
3
Vermenigvuldig de kansen van iedere afzonderlijke gebeurtenis met elkaar. Ongeacht of je te maken hebt met onafhankelijke of afhankelijke gebeurtenissen, en of je werkt met 2, 3 of zelfs 10 uitkomsten in totaal, kun je de totale kans berekenen door de afzonderlijke kansen van de gebeurtenissen met elkaar te vermenigvuldigen. Dit geeft je de kans dat meerdere na elkaar gebeuren. Dus voor het scenario, Wat is de kans om achtereenvolgens twee keer 5 te gooien op een 6-kantige dobbelsteen? is de kans op beide onafhankelijke gebeurtenissen 1/6. Dit geeft ons 1/6 x 1/6 = 1/36. Je kunt dit ook uitdrukken als 0,027 of 2,7%.^[7]XBron
- Voorbeeld 1: Twee kaarten worden willekeurig getrokken uit een pak kaarten. Wat is de kans dat beide kaarten klaveren zijn? De kans op de eerste gebeurtenis is 13/52. De kans op de tweede gebeurtenis is 12/51. De kans is 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17. Je kunt dit ook uitdrukken als 0,058 of 5,8%.
- Voorbeeld 2: Een pot bevat 4 blauwe knikkers, 5 rode knikker en 11 witte knikkers. Als er drie knikkers uit de pot getrokken worden, wat is de kans dat de eerste knikker rood is, de tweede blauw en de derde wit? De kans op de eerste gebeurtenis is 5/20. De kans op de tweede gebeurtenis is 4/19. En de kans op de derde gebeurtenis is 11/18. De kans is 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0,032. Je kunt dit ook uitdrukken als 3,2%.
Advertentie

Methode 3

Methode 3 van 3:

Waarschijnlijkheden omzetten in kansen

Pdf downloaden

1
Stel de kans op als een verhouding met de positieve uitkomst als een teller. Laten we bijvoorbeeld teruggaan naar ons voorbeeld van gekleurde knikkers. Stel dat je wilt uitzoeken wat de kans is op het trekken van een witte knikker (waarvan er 11 zijn) uit de totale pot knikkers (die er 20 bevat). De kans dat deze gebeurtenis voorkomt is de verhouding tussen de kans dat het zal gebeuren over de kans dat het niet zal gebeuren. Omdat er 11 witte en 9 niet-witte knikkers zijn, schrijf je de kansen als de ratio 11:9.
- Het getal 11 vertegenwoordigt de waarschijnlijkheid dat je een witte knikker kiest en het getal 9 vertegenwoordigt de waarschijnlijkheid dat je een andere kleur knikker kiest.
- Dus de kans bestaat dat je een witte knikker kiest.
2
Tel de getallen op om de waarschijnlijkheid om te zetten in een kans. Waarschijnlijkheden omzetten is best makkelijk. Eerst breek je de waarschijnlijkheid op tot 2 afzonderlijke gebeurtenissen: de waarschijnlijkheid dat je een witte knikker pakt (11) en de waarschijnlijkheid dat je een andere kleur knikker pakt (9). Tel de getallen bij elkaar op om het aantal totale uitkomsten te berekenen. Schrijf dit als een kans, met het net uitgerekende totale aantal uitkomsten als de noemer.
- De gebeurtenis dat je een witte knikker pakt is 11; de gebeurtenis dat je een andere kleur pakt is 9. Het totale aantal uitkomsten is 11 + 9, of 20.
3
Zoek de waarschijnlijkheid alsof je de kans op een enkele gebeurtenis zou berekenen. Je hebt berekend dat er in totaal 20 mogelijkheden zijn en dat in wezen 11 van deze uitkomsten een witte knikker zijn. Dus de kans op het pakken van een witte knikker kan nu benaderd worden als de kansberekening van iedere andere enkele gebeurtenis. Deel 11 (het aantal positieve uitkomsten) door 20 (aantal totale uitkomsten) om de kans te krijgen.
- Dus in ons voorbeeld is de kans op het pakken van een witte knikker 11/20. Deel dit: 11 ÷ 20 = 0,55 or 55%.
Advertentie

Tips

Je moet misschien weten dat bij het gokken op sport en wedden, odds worden uitgedrukt als “odds tegen,” wat betekent dat de odds dat een gebeurtenis voorkomt eerst worden opgeschreven, en de odds dat een gebeurtenis niet voorkomt als tweede komt. Hoewel het verwarrend kan zijn, is het belangrijk om dit te weten als je van plan bent om te wedden op een sportgebeurtenis.
De meest voorkomende manieren om kansen op te schrijven zijn onder andere breuken, decimalen, percentages of op een schaal van 1-10.
Wiskundigen gebruiken gewoonlijk de term “relatieve kans” om te verwijzen naar de kansen op een gebeurtenis. Ze zetten het woord ‘relatief’ erbij omdat geen uitkomst 100% gegarandeerd is. Als je bijvoorbeeld een munt 100 keer opgooit, krijg je waarschijnlijk niet precies 100 kop en 100 munt. Relatieve kans houdt hier rekening mee.^[8]XBron
De kans van een gebeurtenis moet altijd een niet-negatief getal zijn. Als je op een negatief getal uitkomt, moet je je berekening opnieuw bekijken.

Advertentie