Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit ist ein Maß dafür, wie wahrscheinlich es ist, dass ein Ereignis eintrifft, gemessen an der Anzahl möglicher Ergebnisse. Wahrscheinlichkeiten zu berechnen erlaubt es dir, trotz eines gewissen Grades an Ungewissheit, Logik und Verstand zu benutzen. Finde heraus, wie du Wahrscheinlichkeiten berechnen kannst.

Methode 1

Methode 1 von 4:

Berechnen der Wahrscheinlichkeit eines einzelnen zufälligen Ereignisses

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Definiere deine Ereignisse und Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit beschreibt das erwartete Eintreten eines einzelnen oder mehrerer Ereignisse, geteilt durch die Anzahl möglicher Ergebnisse. Lass uns einmal annehmen, du willst die Wahrscheinlichkeit berechnen, mit der du eine Drei auf einem sechsseitigen Würfel würfeln wirst. "Würfeln der Drei" ist das Ereignis und weil wir wissen, dass ein sechsseitiger Würfel bei jeder der sechs Zahlen landen kann, ist die Zahl der Ergebnisse, also sechs. Hier sind zwei weitere Beispiele, um dir die Orientierung zu erleichtern:
- Beispiel 1: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit einen Tag zu wählen, der auf ein Wochenende fällt, wenn man zufällig einen Wochentag aussucht?
  - „Einen Tag aussuchen, der aufs Wochenende fällt“ ist unser Ereignis und die Anzahl möglicher Ergebnisse entspricht der Anzahl von Tagen einer Woche, also sieben.
- Beispiel 2: Eine Urne enthält 4 blaue Murmeln, 5 rote Murmeln und 11 weiße Murmeln. Wenn zufällig eine Murmel aus der Urne gezogen wird, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Murmel rot ist?
  - „Ziehen einer roten Murmel“ ist das Ereignis und die Anzahl der Ergebnisse entspricht der Gesamtzahl an Murmeln in der Urne, also 20.
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Teile die Anzahl der Ereignisse durch die Anzahl möglicher Ergebnisse. Dadurch bestimmen wir die Wahrscheinlichkeit eines Einzelereignisses. In unserem Fall des Würfelns einer Drei, ist die Anzahl der Ereignisse 1 (es befindet sich nur eine Drei auf dem Würfel) und die Anzahl der möglichen Ergebnisse 6. Du kannst dir das auch als 1 ÷ 6, 1/6, 0,166, oder 16,6% vorstellen. So findest du die Wahrscheinlichkeit für unsere anderen Beispiele heraus:
- Beispiel 1: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit einen Tag zu wählen, der auf ein Wochenende fällt, wenn man zufällig einen Wochentag aussucht?
  - Die Anzahl von Ereignissen ist zwei (da zwei Tage in der Woche auf das Wochenende fallen) und die Anzahl von Ergebnissen ist sieben. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 2 ÷ 7 = 2/7 bzw. 0,285 bzw. 28,5%.
- Beispiel 2: Eine Urne enthält 4 blaue Murmeln, 5 rote Murmeln und 11 weiße Murmeln. Wenn zufällig eine Murmel aus der Urne gezogen wird, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Murmel rot ist?
  - Die Anzahl von Ereignissen ist fünf (da es insgesamt fünf rote Murmeln gibt) und die Anzahl von Ergebnissen ist 20. Die Wahrscheinlichkeit beträgt demnach 5 ÷ 20 = 1/4 bzw. 0,25 oder 25%.
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Methode 2

Methode 2 von 4:

Berechnen der Wahrscheinlichkeit von mehreren zufälligen Ereignissen

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Zerlege das Problem in mehrere Teile. Um die Wahrscheinlichkeit von mehreren Ereignissen zu berechnen, unterteilt man das Problem in mehrere einzelne Wahrscheinlichkeiten. Hier sind drei Beispiele:
- Beispiel 1: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit einem sechsseitigen Würfeln zweimal hintereinander eine fünf zu würfeln?
  - Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit eine einzelne fünf zu würfeln 1/6 beträgt. Die Wahrscheinlichkeit eine weitere fünf mit dem gleichen Würfel zu erzielen, ist ebenfalls 1/6.
  - Es handelt sich um "unabhängige Ereignisse", weil der erste Wurf nicht beeinflusst, was beim zweiten Wurf passiert. Du kannst eine Drei würfeln und danach erneut eine Drei bekommen.
- Beispiel 2: Es werden zufällig zwei Karten aus einem Kartendeck gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Karten Kreuzkarten sind?
  - Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Karte eine Kreuzkarte ist, beträgt 13/52 bzw. 1/4 (es befinden sich 13 Kreuz-Karten in jedem Kartenspiel). Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite gezogene Karte eine Kreuzkarte ist, beträgt anschließend 12/51.
  - Man berechnet hier die Wahrscheinlichkeit von "abhängigen Ereignissen". Das ist der Fall, weil das erste Ereignis Auswirkungen auf das zweite hat. Wenn du die Kreuzdrei ziehst und nicht wieder zurück in das Kartendeck steckst, befindet sich eine Kreuzkarte weniger im Stapel und das Kartendeck hat eine Karte weniger (51 anstatt 52).
- Beispiel 3: Eine Urne enthält 4 blaue Murmeln, 5 rote Murmeln und 11 weiße Murmeln. Es werden zufällig drei Murmeln aus der Urne gezogen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Murmel rot, die zweite Murmel blau und die dritte Murmel weiß ist?
  - Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Murmel rot ist, beträgt 5/20 bzw. 1/4. Die Wahrscheinlichkeit einer zweiten, blauen Murmel ist 4/19, da wir zwar eine Murmel weniger haben, allerdings nicht weniger blaue Murmeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass die dritte Murmel weiß ist, beträgt dann 11/18, da wir bereits zwei Murmeln gezogen haben. Es handelt sich hierbei um ein weiteres Beispiel für ein "abhängiges Ereignis".
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Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse miteinander. Dadurch erhältst du die Wahrscheinlichkeit von mehreren Ereignissen, die nacheinander auftreten:
- Beispiel 1: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit einem sechsseitigen Würfel zweimal hintereinander eine fünf zu würfeln? Die Wahrscheinlichkeit der beiden unabhängigen Ereignisse beträgt 1/6.
  - Dadurch erhalten wir 1/6 x 1/6 = 1/36 bzw. 0,027 oder 2,7%.
- Beispiel 2: Es werden zufällig zwei Karten aus einem Kartendeck gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Karten Kreuzkarten sind?
  - Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des ersten Ereignisses ist 13/52. Die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Ereignis eintritt beträgt 12/51. Die Wahrscheinlichkeit liegt also bei 13/52 x 12/51 = 12/204 bzw. 1/17 oder 5,8%.
- Beispiel 3: Eine Urne enthält 4 blaue Murmeln, 5 rote Murmeln und 11 weiße Murmeln. Es werden zufällig drei Murmeln aus der Urne gezogen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Murmel rot, die zweite Murmel blau und die dritte Murmel weiß ist?
  - Die Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses ist 5/20. Die Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses 4/19. Und die Wahrscheinlichkeit des dritten Ereignisses 11/18. Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 oder 3,2%.
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Methode 3

Methode 3 von 4:

Gewinnquoten in Wahrscheinlichkeiten umrechnen

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Bestimme die Gewinnquote. Ein Golfer erhält zum Beispiel eine Quote auf den Sieg von 9/4. Die Gewinnquote gibt das Verhältnis zwischen der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintrifft und der Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintrifft an.
- Im oben genannten Beispiel beträgt das Verhältnis 9:4, wobei die 9 die Wahrscheinlichkeit darstellt, dass der Golfer gewinnt. Die 4 repräsentiert die Wahrscheinlichkeit, dass er nicht gewinnt. Daraus ergibt sich, dass es für ihn wahrscheinlicher ist zu gewinnen, als zu verlieren.
- Bei Sport- und Pferdewetten werden diese Quoten als „Lay-Wette“ bezeichnet. Das bedeutet die Quote dafür, dass das Ereignis nicht eintritt wird zuerst genannt und die Quote, dass es eintritt, folgt als zweites. Obwohl das sehr verwirrend erscheint, ist es wichtig dies zu wissen. Für die Zwecke dieses Artikels verwenden wir diese "Gegen-Wette" nicht.
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Rechne die Gewinnquote in Wahrscheinlichkeit um. Die Gewinnquoten umzuwandeln ist ziemlich einfach. Unterteile die Quote in zwei separate Ereignisse und berechne die Anzahl aller möglichen Ergebnisse.
- Das Ereignis, dass der Golfer gewinnt ist 9 und dass er verliert ist 4. Die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse ist 9+4 oder 13.
- Die Berechnung ist nun die gleiche wie bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ereignisses.
  - 9 ÷ 13 = 0,692 oder 69,2%. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Golfer gewinnt beträgt 9/13.
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Methode 4

Methode 4 von 4:

Regeln für Wahrscheinlichkeiten

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Das bedeutet, dass beide nicht zur gleichen Zeit auftreten können.
Falls du auf eine negative Zahl stößt, überprüfe deine Berechnungen.
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Die Wahrscheinlichkeit aller Einzelereignisse muss summiert 1 bzw. 100% ergeben. Sollte die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse zusammenaddiert nicht 1 bzw. 100% ergeben, dann hast du einen Fehler gemacht.
- Die Wahrscheinlichkeit mit einem sechsseitigen Würfel eine Drei zu würfeln beträgt 1/6. Aber die Wahrscheinlichkeit jede der anderen fünf Zahlen zu würfeln beträgt ebenfalls 1/6. 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 bzw. 1 bzw. 100%.
Das bedeutet es ist ausgeschlossen, dass dieses Ereignis eintrifft.
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Tipps

Du kannst deine eigene subjektive Wahrscheinlichkeit festlegen, basierend auf deiner Einschätzung, wie wahrscheinlich es ist, dass dieses Ereignis eintrifft. Die subjektive Auslegung von Wahrscheinlichkeiten unterscheidet sich von Person zu Person.
Du kannst den Ereignissen jeden beliebigen Wert zuordnen, allerdings muss dieser der dazugehörigen Wahrscheinlichkeit entsprechen. Das bedeutet er muss den Grundregeln entsprechen, die für alle Wahrscheinlichkeiten gelten.

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