平方根の掛け算をする方法

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係数のついていない平方根の掛け算

係数のついた平方根の掛け算

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整数の掛け算と全く同様に、無理式の平方根は掛け算をすることができます。平方根に係数（根号の前にある整数）がつく場合もあります。しかし、係数の計算は掛け算の手順が加わるだけで、方法は同じです。平方根の掛け算においてコツの要る部分を強いてあげるとすれば、最終的な答えを出すときに、根号の中の数字を可能な限り小さな自然数にするという部分です。しかし、完全平方を知っている人であれば、この手順も難しいものではありません。

ステップ

方法 1

方法 1 の 2:

係数のついていない平方根の掛け算

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   被開平数を掛ける　被開平数とは根号の中にある数のことです。被開平数を掛けるには、整数の場合と同様の掛け算をします。求めた積は必ず根号の中に書きましょう。

   • たとえば、${\sqrt {15}}\times {\sqrt {5}}$を計算する場合、$15\times 5=75$の計算をします。それゆえ、${\sqrt {15}}\times {\sqrt {5}}={\sqrt {75}}$となります。
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   被開平数の中の完全平方は、因数として全てくくり出す　完全平方をくくるために、完全平方が被開平数の因数の中にあるかどうかを確かめます。完全平方をくくり出せない場合、数式はすでに簡略化されているので、これ以上計算をする必要はありません。

   • 完全平方とは整数を2乗した答えです。これは整数が正の数でも負の数でも同様です。たとえば、25は$5\times 5=25$となるので、完全平方です。
   • たとえば、${\sqrt {75}}$は完全平方である25を因数としてくくり出すことができます。
     ${\sqrt {75}}$
     =${\sqrt {25\times 3}}$
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   根号の前に完全平方の平方根を書く　根号の中の完全平方以外の数字はそのまま残します。これで平方根を簡略化した形にすることができます。

   • たとえば、${\sqrt {75}}$は、${\sqrt {25\times 3}}$のように、因数に分解できます。それゆえ25の平方根すなわち5を根号の前に書きます。
     ${\sqrt {75}}$
     = ${\sqrt {25\times 3}}$
     = $5{\sqrt {3}}$
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   平方根を2乗する　計算問題を解いていると、平方根を2乗しなければならない場面が生じることがあります。平方根とは2乗の逆の概念です。したがって、平方根の2乗は根号が無くなり、2乗の平方根は指数の2が無くなります。平方根を2乗すると、結果は単に根号の中にある数になります。

   • たとえば、${\sqrt {25}}\times {\sqrt {25}}=25$です。${\sqrt {25}}\times {\sqrt {25}}=5\times 5=25$というわけで、答えは25になります。
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方法 2

方法 2 の 2:

係数のついた平方根の掛け算

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   係数を掛ける　係数は根号の前についている数です。係数を掛けるためには、根号と被開平数は無視して、2つの整数を掛けましょう。得られた掛け算の答えを一番左にある根号の前に書きます。

   • 係数を掛けるときは、正負の符号に注意しましょう。負の数と正の数を掛けると負の符号がつき、負の数同士を掛けると正の符号がつきます。
   • たとえば、$3{\sqrt {2}}\times 2{\sqrt {6}}$を計算する場合、まずは$3\times 2=6$を計算します。それゆえ、式は$6{\sqrt {2}}\times {\sqrt {6}}$となります。
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   被開平数を掛ける　被開平数を掛けるときは、整数の場合と同様の掛け算をします。得られた掛け算の答えは必ず根号の中に書きましょう。

   • たとえば、$6{\sqrt {2}}\times {\sqrt {6}}$という式が与えられた場合、被開平数の積を求めるために$2\times 6=12$の計算をします。それゆえ、${\sqrt {2}}\times {\sqrt {6}}={\sqrt {12}}$となります。式は$6{\sqrt {12}}$という形になります。
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   被開平数の因数の中に完全平方がある場合は、全てくくり出す　答えを簡略化するために、被開平数の因数の中の完全平方はくくり出す必要があります。完全平方をくくり出せない場合、 数式はすでに簡略化されているので、この手順はとばしてかまいません。

   • 完全平方とは整数を2乗した答えです。これは整数が正の数でも負の数でも同様です。 たとえば、4は$2\times 2=4$となるので、4は完全平方です。
   • たとえば、${\sqrt {12}}$は、完全平方である4を因数としてくくり出すことができます。
     ${\sqrt {12}}$
     =${\sqrt {4\times 3}}$
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   係数と完全平方の平方根を掛ける　根号の中の完全平方以外の数字は、そのまま残します。これで平方根を簡略化した形にすることができます。

   • たとえば、$6{\sqrt {12}}$は$6{\sqrt {4\times 3}}$のように因数に分解できます。それゆえ、4の平方根すなわち2を根号の前に書き、2と6を掛けます。
     $6{\sqrt {12}}$
     = $6{\sqrt {4\times 3}}$
     = $6\times 2{\sqrt {3}}$
     = $12{\sqrt {3}}$
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ポイント

• 完全平方を覚えましょう。計算が非常に楽になります。
• 計算で得られた係数の正負の符号の決定は、通常の積の符号のルールに従いましょう。正の数に負の数を掛けると符号は負になります。2つの正の数同士や、2つの負の数同士を掛けると符号は正になります。
• 被開平数の符号は常に正です。それゆえ、被開平数を掛けるときは、符号のルールについて心配しなくても大丈夫です。

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必要なもの

• 鉛筆
• 紙
• 電卓