제곱근 곱하는 방법

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계수가 없는 제곱근끼리 곱하기

계수가 있는 제곱근끼리 곱하기

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제곱근은 서로 곱하는 것이 가능하다. 루트 안에서 정수를 곱하는 것처럼 하면 된다. 그리고 가끔은 제곱근을 곱하는 문제에서 루트 앞에 계수(루트 앞의 정수)가 붙은 것이 있을 수도 있다. 하지만 그래봐야 곱셈을 한 번 더 할 뿐이며 따로 제곱근을 곱하는 과정이 바뀌는 것은 아니다. 사실 제곱근끼리 곱할 때 가장 헷갈리는 부분은 최종 답안을 최대한 간결하게 바꾸는 것이다. 하지만 이 역시 완전제곱에 대해서만 알고 있다면 간단하게 넘길 수 있다.

단계

방법 1

방법 1 의 2:

계수가 없는 제곱근끼리 곱하기

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   루트 안의 숫자 곱하기. 루트 안의 숫자를 가장 먼저 곱하도록 하자. 그냥 루트는 잠시 잊고 정수 두 개를 곱하듯이 곱해보도록 하자.

   • 예를 들어 ${\sqrt {15}}\times {\sqrt {5}}$를 계산하고 있다면, $15\times 5=75$를 먼저 계산해 ${\sqrt {15}}\times {\sqrt {5}}={\sqrt {75}}$를 얻는 것이 먼저다.
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   루트 안의 숫자 중 완전제곱수가 있는지 확인하기. 단순히 루트 안의 숫자 중에 완전제곱수가 있는지 살펴보면 된다. 완전제곱수가 없다면 현재 답이 최대한 간결하게 쓰여진 것이니 더 이상 아무것도 할 필요가 없다.

   • 완전제곱수는 두 동일한 정수(양수와 음수 모두 포함)를 곱해 나온 수를 의미한다. 예를 들어 25는 $5\times 5=25$ 이기 때문에 완전제곱수다.
   • 예를 들어 ${\sqrt {75}}$에는 완전제곱수인 25가 포함되어 있다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다:
     ${\sqrt {75}}$
     =${\sqrt {25\times 3}}$
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   완전제곱수의 제곱근을 루트 앞에 쓰기. 완전제곱수를 제외한 나머지는 루트 안에 놔두도록 한다. 제곱근을 밖으로 뺐으면 답이 간결해진 것이다.

   • 예를 들어 ${\sqrt {75}}$는 다음처럼 쓸 수 있다: ${\sqrt {25\times 3}}$ 그리고 25가 완전제곱수이므로 그 제곱근인 5를 다음처럼 밖으로 뺄 수 있다:
     ${\sqrt {75}}$
     = ${\sqrt {25\times 3}}$
     = $5{\sqrt {3}}$
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   루트를 제곱하기. 어떤 경우에는 주어진 제곱근을 제곱해야 할 수도 있다. 제곱근, 즉, 루트를 씌우는 것과 제곱을 하는 것은 정반대의 연산이다. 따라서 상쇄가 된다. 결과적으로 제곱근을 제곱하게 되면 루트만 벗겨지고 안의 숫자는 그대로 남게 된다.

   • ${\sqrt {25}}\times {\sqrt {25}}=25$를 보자. ${\sqrt {25}}\times {\sqrt {25}}=5\times 5=25$이기 때문에 루트만 빼고 숫자를 쓰면 답이 된다.
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방법 2

방법 2 의 2:

계수가 있는 제곱근끼리 곱하기

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   계수 곱하기. 계수는 간단히 말하면 루트 앞의 숫자를 의미한다. 이 수를 곱하려면 루트와 루트 안의 숫자를 완전히 무시하고 그냥 바깥의 계수 두 개만을 곱하면 된다. 곱한 수는 답의 루트 앞에 적으면 된다.

   • 계수끼리 곱할 때는 양수와 음수 부호에 주의를 기울이도록 한다. 음수와 양수를 곱하면 음수가 된다는 것, 음수와 음수를 곱하면 양수가 된다는 것을 꼭 기억하자.
   • 예를 들어 $3{\sqrt {2}}\times 2{\sqrt {6}}$를 계산하려고 한다면 먼저 루트 앞의 계수를 다음처럼 곱해주도록 한다. $3\times 2=6$ 그러면 문제를 다음처럼 정리할 수 있다. $6{\sqrt {2}}\times {\sqrt {6}}$
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   루트 안의 숫자 곱하기. 그냥 정수를 곱하듯이 곱하면 된다. 루트 안의 숫자를 곱했으면 루트 안에 써야 한다는 점을 기억하도록 하자.

   • 위의 문제를 계속 풀어보자. $6{\sqrt {2}}\times {\sqrt {6}}$에서 루트 안의 숫자를 곱하면 $2\times 6=12$가 되므로 ${\sqrt {2}}\times {\sqrt {6}}={\sqrt {12}}$로 쓸 수 있다. 그러면 결과는 $6{\sqrt {12}}$가 된다.
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   루트 안에 완전제곱수가 있는지 찾아보기. 가능하면 답안을 최대한 간결하게 적어야 한다. 완전제곱수가 없다면 현재 답이 최대한 간결하게 쓰여진 것이니 더 이상 아무것도 할 필요가 없다.

   • 완전제곱수는 두 동일한 정수(양수와 음수 모두 포함)를 곱해 나온 수를 의미한다. 예를 들어 4는 $2\times 2=4$로 쓸 수 있기 때문에 완전제곱수이다.
   • ${\sqrt {12}}$를 보도록 하자. 12의 인수 중 4가 완전제곱수라는 점을 알 수 있다. 그러면 다음처럼 식을 바꿔쓸 수 있다:
     ${\sqrt {12}}$
     =${\sqrt {4\times 3}}$
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   완전제곱수의 제곱근을 계수와 곱하기. 나머지 숫자는 다 루트 안에 놔두면 된다. 그러면 답이 간략해진다.

   • 예를 들어 $6{\sqrt {12}}$는 $6{\sqrt {4\times 3}}$로 줄일 수 있다. 이제 4의 제곱근인 2를 루트 밖으로 빼고 6에 곱하기만 하면 된다:
     $6{\sqrt {12}}$
     = $6{\sqrt {4\times 3}}$
     = $6\times 2{\sqrt {3}}$
     = $12{\sqrt {3}}$
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팁

• 항상 완전제곱수를 기억하도록 하라. 곱하는 과정들이 매우 간단해질 것이다.
• 새 계수가 양수인지 음수인지를 정하도록 한다. 양수와 음수를 곱하면 음수가 되며, 두 음수끼리 또는 두 양수끼리 곱하면 양수가 된다는 점을 기억하자.
• 루트 안의 모든 숫자는 양수여야 한다. 루트 안의 숫자를 곱할 때는 부호에 신경쓰지 않아도 된다.

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필요한 것

• 연필
• 종이
• 계산기