Come Risolvere un Triangolo Rettangolo con la Trigonometria

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La trigonometria dei triangoli rettangoli è di grande aiuto nel calcolare le misure degli elementi che caratterizzano un triangolo ed è, in generale, una parte fondamentale della trigonometria. Di solito, il primo incontro di uno studente con la trigonometria si verifica con il triangolo rettangolo, ed è possibile che, in un primo momento, risulti disorientante. Questi passaggi faranno chiarezza sulle funzioni trigonometriche e il modo in cui vengono impiegate.

Passaggi

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   Conosci le 6 funzioni trigonometriche. Devi imparare a memoria quelle che seguono:

   • seno
     
     • si abbrevia in "sin"
     • lato opposto/ipotenusa
   • coseno
     
     • si abbrevia in "cos"
     • lato adiacente/ipotenusa
   • tangente
     
     • si abbrevia in "tan"
     • lato opposto/lato adiacente
   • cosecante
     
     • si abbrevia in "csc"
     • ipotenusa/lato opposto
   • secante
     
     • si abbrevia in "sec"
     • ipotenusa/lato adiacente
   • cotangente
     
     • si abbrevia in "cot"
     • lato adiacente/opposto
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   Individua gli schemi. Se al momento sei confuso dal significato di ogni parola, non preocuparti, e non agitarti nel tentativo di imparare tutto a memoria. Se conosci gli schemi, non è troppo difficile:

   • Quando si scrivono le funzioni trigonometriche, si usano sempre le abbreviazioni. Non scriverai mai "cotangente" o "secante" per esteso. Vedendo l'abbreviazione, dovresti udire il nome completo. Allo stesso modo, quando senti il nome completo, dovresti visualizzare l'abbreviazione. Nota che, in tutti i casi, con l'eccezione di csc (cosecante), l'abbreviazione è costituita dalle prime tre lettere del nome. Csc rappresenta un'eccezione perché le prime tre lettere, "cos", servono già a indicare il coseno; quindi, in questo caso, si ricorre alle prime tre consonanti.
     
   • Puoi ricordare le prime tre funzioni memorizzando la parola "Soicaitoa". È solo un nome che ti serve per aiutarti a ricordare; se ti può essere utile, fingi che sia quello di un capotribù azteco, ma assicurati di ricordare come compitarlo. In sostanza, non è che l'acronimo di "sin opposto ipotenusa, cos adiacente ipotenusa, tan opposto adiacente. Nota che, se inserisci il simbolo della divisione tra due parole che indicano i lati (per esempio, adiacente e ipotenusa, non cos e adiacente), ottieni il rapporto che determina la funzione.
     
   • Le ultime tre funzioni sono il reciproco delle prime tre (non l'inverso). Ricorda che qualunque funzione priva del prefisso "co" è il reciproco di quella col prefisso, e viceversa. Di conseguenza, le funzioni csc, sec e cot sono rispettivamente il reciproco di sin, cos e tan. Per esempio, il rapporto della cot è adiacente/opposto.
     
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   Conosci gli elementi del triangolo. Giunto a questo punto, probabilmente saprai già cos'è l'ipotenusa, ma potresti essere un po' confuso riguardo ai lati opposto e adiacente. Osserva il diagramma in alto: i nomi di questi lati sono giusti nel caso in cui tu stia utilizzando l'angolo C. Se volessi invece impiegare l'angolo A, nel diagramma le parole "opposto" e "adiacente" andrebbero scambiate.
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   Comprendi cosa sono le funzioni trigonometriche e quando sono impiegate. Quando la trigonometria del triangolo rettangolo venne scoperta per la prima volta, si comprese che, dati due triangoli rettangoli simili (i cui angoli siano cioè della stessa misura), se dividi un lato per un altro e fai lo stesso con i lati corrispondenti dell'altro triangolo, ottieni gli stessi valori. Le funzioni trigonometriche vennero quindi sviluppate in modo da poter trovare il rapporto per ogni angolo dato. Ai lati vennero anche assegnati dei nomi, in modo da stabilire più facilmente quali angoli impiegare. Puoi usare le funzioni trigonometriche per determinare la misura di un lato a partire da un lato e un angolo, oppure puoi utilizzarle per stabilire la misura di un angolo a partire dalla lunghezza di due lati.
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   Comprendi cosa devi risolvere. Identifica il valore ignoto con una "x". Questo ti aiuterà, in seguito, a impostare l'equazione. Assicurati anche di disporre di sufficienti informazioni per risolvere il triangolo. Ti servono la misura di un angolo e di un lato, oppure quella di tutti e tre i lati.
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   Imposta il rapporto. Contrassegna il lato opposto, quello adiacente e l'ipotenusa in rapporto all'angolo contrassegnato (non ha importanza se il segno è costituito da un numero o da una "x", come indicato nel passaggio precedente). Poi prendi nota di quali sono i lati che conosci o che vuoi scoprire. Senza considerare csc, sec o cot, stabilisci quale rapporto coinvolge entrambi i lati che hai annotato. Non dovresti utilizzare le funzioni reciproche, perché, di solito, le calcolatrici non dispongono di un pulsante apposito. Ma, anche se potessi farlo, non si presenterà quasi mai una situazione nella quale dovrai impiegarle per risolvere un triangolo rettangolo. Dopo aver capito quale funzione utilizzare, annotala, seguita dal valore o dalla variabile del triangolo. Poi scrivi un segno di "uguale" seguito dai lati compresi nella funzione (sempre in termini di opposto, adiacente e ipotenusa). Riscrivi l'equazione, inserendo la lunghezza o la variabile dei lati contenuti nella funzione.
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   Risolvi l'equazione. Se la variabile si trova al di fuori della funzione trigonometrica (se stai cioè risolvendo un lato), risolvi il valore esatto di x, poi inserisci l'espressione nella calcolatrice per ottenere un'approssimazione decimale della lunghezza del lato. Se, invece, la variabile si trova all'interno della funzione trigonometrica (stai cioè risolvendo un angolo), dovresti semplificare l'espressione sulla destra, poi inserire l'inverso di quella funzione trigonometrica, seguita dall'espressione. Per esempio, se la tua equazione è sin(x)=2/4, semplifica il termine a destra ottenendo 1/2, poi digita sulla calcolatrice "sin^-1" (non si tratta che di un solo pulsante, solitamente la seconda opzione della funzione trigonometrica che desideri), seguito da 1/2. Assicurati di trovarti nella modalità corretta quando svolgi i calcoli. Se desideri ottenere l'angolo in gradi sessagesimali, imposta la calcolatrice in questa modalità; se vuoi ricavarlo in radianti, impostala in modalità radiante; se non sai come è configurata, impostala in gradi sessagesimali. Il valore di x corrisponde al valore del lato o dell'angolo che ti interessa ricavare.
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Consigli

• I valori del sin e del cos sono sempre compresi tra -1 e 1, ma quello della tangente può essere rappresentato da qualsiasi numero. Se commetti un errore utilizzando la funzione trigonometrica inversa, il valore che otterrai sarà probabilmente troppo grande o troppo piccolo. Controlla il rapporto e prova di nuovo. Un errore comune è scambiare i lati nel rapporto, come, per esempio, utilizzare per il sin l'ipotenusa/lato opposto.
• sin^-1 non equivale a csc, cos^-1 non corrisponde a sec, e tan^-1 non equivale a cot. La prima è la funzione trigonometrica inversa (il che significa che, se inserisci il valore di un rapporto, otterrai l'angolo corrispondente), mentre la seconda è la funzione reciproca (il rapporto è invertito).

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