कैसे आयत के विकर्ण या डायगोनल का माप निकालें (Measurement of the Diagonal Inside a Rectangle, Pythagorean Theorem)

विकर्ण (Diagonal) एक सीधी रेखा है जो आयत के एक कोण को उसके विपरीत कोण से जोड़ती है।^{[१]Xरिसर्च सोर्स} एक आयत में दो विकर्ण होते हैं, और दोनों की लंबाई एक समान होती है।^{[२]Xरिसर्च सोर्स} यदि आपको आयत की लंबाई और चौड़ाई पता है, तो आप आसानी से पाइथागोरस प्रमेय (Pythagorean Theorem) का इस्तेमाल करके आयत के विकर्ण का माप ज्ञात कर सकते हैं, क्योंकि विकर्ण आयत को दो समकोण त्रिभुज (right triangles) में विभाजित करता है। अगर आपको आयत की लंबाई और चौड़ाई नहीं पता है, लेकिन दूसरी जानकारी जैसे आयत का क्षेत्रफल या परिमाप, या लंबाई और चौड़ाई के बीच का संबंध दिया गया है, तो कुछ अतिरिक्त स्टेप्स करने पर आप आयत की लंबाई और चौड़ाई निकाल सकते हैं, और फिर पाइथागोरस प्रमेय की मदद से विकर्ण की लंबाई या चौड़ाई निकाल सकते हैं।

विधि 1

विधि 1 का 3:

लंबाई और चौड़ाई का इस्तेमाल करना

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1
पाइथागोरस प्रमेय का फार्मूला लिखें: पाइथागोरियन फार्मूला $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $How.com.vn हिन्द: a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ है, जहाँ $a$ $How.com.vn हिन्द: a$ और $b$ $How.com.vn हिन्द: b$ आयत की भुजाएं है, और $c$ $How.com.vn हिन्द: c$ समकोण त्रिभुज का कर्ण (Hypotenuse) है।^{[३]Xरिसर्च सोर्स}
- आप पाइथागोरस प्रमेय का इस्तेमाल करते हैं क्योंकि आयत का विकर्ण उसे दो संगत समकोण त्रिभुज (congruent right triangles) में काटता है।^{[४]Xरिसर्च सोर्स} आयत की लंबाई तथा चौड़ाई त्रिभुज की भुजाएं बन जाते हैं, और आयत का विकर्ण (Diagonal) त्रिभुज का कर्ण (Hypotenuse) बन जाता है।
2
फार्मूला में लंबाई और चौड़ाई के वैल्यूज़ सबस्टिट्यूट करें: यह दोनों माप प्रश्न में दिए जाने चाहिए, या आपको इनका नाप लेना पड़ेगा। ध्यान रहें, आप लंबाई और चौड़ाई की वैल्यूज़ $a$ $How.com.vn हिन्द: a$ और $b$ $How.com.vn हिन्द: b$ में सबस्टिट्यूट कर रहे हैं।
- उदाहरण के लिए, अगर आयत की चौड़ाई 3 सेंटीमीटर है, और लंबाई 4 सेंटीमीटर है, तो आपका सूत्र (Formula) इस तरह से होगा: $3^{2}+4^{2}=c^{2}$
3
लंबाई और चौड़ाई का वर्ग (Square) लें, फिर इन दोनों को जोड़ दें: याद रखें, संख्या का वर्ग लेने का मतलब है संख्या को उसी से गुणा करना।
- उदाहरण के लिए:
  $3^{2}+4^{2}=c^{2}$
  $9+16=c^{2}$
  $25=c^{2}$
4
समीकरण के दोनों तरफ का वर्गमूल (Square Root) निकालें: कैल्क्यूलेटर का इस्तेमाल करके आसानी से वर्गमूल निकाला जा सकता है। अगर आपके पास साइन्टिफिक कैल्क्यूलेटर नहीं है, तो आप ऑनलाइन कैल्क्यूलेटर का इस्तेमाल कर सकते हैं।^{[५]Xरिसर्च सोर्स} यह आपको $c$ $How.com.vn हिन्द: c$ की वैल्यू देगा, जो त्रिभुज का कर्ण (Hypotenuse) है, और आयत का विकर्ण (Diagonal) है।
- उदाहरण के लिए:
  $25=c^{2}$
  ${\sqrt {25}}={\sqrt {c^{2}}}$
  $5=c$
  तभी, एक आयत जिसकी चौड़ाई 3 सेंटीमीटर और लंबाई 4 सेंटीमीटर है, तो उसका विकर्ण 5 सेंटीमीटर होगा।

विधि 2

विधि 2 का 3:

क्षेत्रफल और परिमाप का इस्तेमाल करना

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क्षेत्रफल का फार्मुला $A=lw$ है, जहाँ $A$ आयत का क्षेत्रफल है, $l$ आयत की लंबाई, और $w$ आयत की चौड़ाई है।^{[६]Xरिसर्च सोर्स}
2
फार्मुला में आयत के क्षेत्रफल की वैल्यू सबस्टिट्यूट करें: ध्यान रहें आप चर (Variable) $A$ $How.com.vn हिन्द: A$ के स्थान पर वैल्यू लिख रहे हैं।
- उदाहरण के लिए, अगर आयत का क्षेत्रफल 35 वर्ग सेंटीमीटर है, तो आपका सूत्र इस तरह से होगा: $35=lw$
3
फार्मुला को नए क्रम में लिखें, ताकि $w$ की वैल्यू निकाल सकें: ऐसा करने के लिए, समीकरण के दोनों तरफ $l$ $How.com.vn हिन्द: {\displaystyle l}$ से भाग दें। इसे ऐसे ही रहने दें। बाद में इस वैल्यू का इस्तेमाल आपको परिमाप निकालते समय करना पड़ेगा।
- उदाहरण के लिए,
  $35=lw$
  ${\frac {35}{l}}=w$
आयत का परिमाप निकालने का फार्मुला $P=2(w+l)$ है, जहाँ $w$ आयत की चौड़ाई, और $l$ आयत की लंबाई है।^{[७]Xरिसर्च सोर्स}
5
फार्मुला में सारी वैल्युज़ सबस्टिट्यूट करें: ध्यान रहें आप चर (variable) $P$ $How.com.vn हिन्द: {\displaystyle P}$ के लिए वैल्यू सबस्टिट्यूट कर रहे हैं।
- उदाहरण के लिए, अगर आयत का परिमाप 24 सेंटीमीटर है, तो आपका फार्मुला ऐसा होगा: $24=2(w+l)$
6
समीकरण के दोनों तरफ 2 से भाग दें: ऐसा करने से $w+l$ $How.com.vn हिन्द: {\displaystyle w+l}$ की वैल्यू मिलेगी।
- उदाहरण के लिए:
  $24=2(w+l)$
  ${\frac {24}{2}}={\frac {2(w+l)}{2}}$
  $12=w+l$
7
समीकरण में $w$ की वैल्यू सबस्टिट्यूट करें: नए सिरे से लिखें क्षेत्रफल के फार्मुला को परिमाप के समीकरण में सबस्टिट्यूट करें।
- उदाहरण के लिए, क्षेत्रफल के फार्मुला में आपने देखा होगा कि ${\frac {35}{l}}=w$ है, तो परिमाप वाले फार्मुला में $w$ की जगह पर इस वैल्यू को लिखें:
  $12=w+l$
  $12={\frac {35}{l}}+l$
8
समीकरण में भिन्न को काट दें: ऐसा करने के लिए, समीकरण के दोनों तरफ $l$ $How.com.vn हिन्द: {\displaystyle l}$ से गुणा कर लें।
- उदाहरण के लिए:
  $12={\frac {35}{l}}+l$
  $12\times l=({\frac {35}{l}}\times l)+(l\times l)$
  $12l=35+l^{2}$
9
समीकरण को 0 से इक्वेट करें: ऐसा करने के लिए, जिसकी डिग्री 1 है, उस संख्या को समीकरण के दोनों तरफ से घटा दें।
- उदाहरण के लिए:
  $12l=35+l^{2}$
  $12l-12l=35+l^{2}-12l$
  $0=35+l^{2}-12l$
10
समीकरण को उसके घटते घातांक के अनुसार लिखें: इसका अर्थ यह है कि, जिस पद में घातांक है, उसे सबसे पहले लिखें, फिर चर वाला पद (Variable) और आखिर में अचर वाले पद (Constant) को लिखें। समीकरण को क्रमानुसार लिखते समय, ध्यान रहें कि आप उचित धनात्मक (Positive Sign) और ऋणात्मक चिन्ह (Negative Sign) का उपयोग कर रहे हैं। अब आपका समीकरण एक द्विघाती समीकरण (Quadratic Equation) के रूप में होना चाहिए।
- उदाहरण के लिए, समीकरण $0=35+l^{2}-12l$ इस तरह बन जाएगा $0=l^{2}-12l+35$
11
द्विघाती समीकरण (Quadratic Equation) के गुणनखंड निकालें: इसे पूरी तरह से समझने के लिए एक-गणितीय-फंक्शन-के-शून्य-पता-करें लेख को पढ़िए।
- उदाहरण के लिए, समीकरण $0=l^{2}-12l+35$ के गुणनखंड है $0=(l-7)(l-5)$
$How.com.vn हिन्द: Step 12 l {\displaystyle l}$
12
$l$ $How.com.vn हिन्द: {\displaystyle l}$ की वैल्यू निकालें: ऐसा करने के लिए, हर एक पद को 0 के साथ इक्वेट करें और चर (Variable) की वैल्यू निकालने के लिए हल करें। आप देखेंगे कि इस समीकरण के दो उत्तर, या दो मूल (Roots) मिलेंगे। चूंकि आप आयत का विकर्ण निकाल रहे हैं, तो दो मूल आयत की चौड़ाई तथा लंबाई है।
- उदाहरण के लिए:
  $0=(l-7)$
  $7=l$
  और
  $0=(l-5)$
  $5=l$
  इसलिए, आयत की लंबाई तथा चौड़ाई है 7 सेंटामीटर और 5 सेंटीमीटर।
13
पाइथागोरस प्रमेय का फार्मूला लिखें: यह फार्मूला $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $How.com.vn हिन्द: a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ इस तरह से है, जहाँ $a$ $How.com.vn हिन्द: a$ और $b$ $How.com.vn हिन्द: b$ दोनों आयत की भुजाएं है, और $c$ $How.com.vn हिन्द: c$ समकोण त्रिभुज का कर्ण (Hypotenuse) है।^{[८]Xरिसर्च सोर्स}
- आप पाइथागोरस प्रमेय का इस्तेमाल करते हैं क्योंकि आयत का विकर्ण (Diagonal) आयत को दो संगत समकोण त्रिभुज (congruent right triangles) में काटता है।^{[९]Xरिसर्च सोर्स} आयत की लंबाई तथा चौड़ाई त्रिभुज की भुजाएं बन जाते हैं; और आयत का विकर्ण (Diagonal) त्रिभुज का कर्ण (Hypotenuse) बन जाता है।
14
फार्मूला में लंबाई और चौड़ाई की वैल्यूज़ सबस्टिट्यूट करें: यह महत्वपूर्ण नहीं है कि आप किस चर (Variable) के लिए किस मूल्य का उपयोग करते हैं।
- उदाहरण के लिए, अगर आपने आयत की लंबाई और चौड़ाई निकाल ली है, जो 5 सेंटीमीटर तथा 7 सेंटीमीटर है, तो आपका फार्मुला इस तरह से होगा: $5^{2}+7^{2}=c^{2}$
15
लंबाई और चौड़ाई का वर्ग (Square) लें, फिर इन दोनों को जोड़ दें: याद रखें, संख्या का वर्ग लेने का मतलब संख्या को उसी से गुणा करना है।
- For example:
  $5^{2}+7^{2}=c^{2}$
  $25+49=c^{2}$
  $74=c^{2}$
16
समीकरण के दोनों तरफ का वर्गमूल (Square Root) निकालें: कैल्क्यूलेटर का इस्तेमाल करके आसानी से वर्गमूल निकाला जा सकता है। अगर आपके पास साइन्टिफिक कैल्क्यूलेटर नहीं है, तो आप ऑनलाइन कैल्क्यूलेटर का इस्तेमाल कर सकते हैं।^{[१०]Xरिसर्च सोर्स} यह आपको $c$ $How.com.vn हिन्द: c$ की वैल्यू देगा, जो त्रिभुज का कर्ण (Hypotenuse) है, और आयत का विकर्ण (Diagonal) है।
- उदाहरण के लिए:
  $74=c^{2}$
  ${\sqrt {74}}={\sqrt {c^{2}}}$
  $8.6024=c$
  इसलिए, एक आयत जिसका क्षेत्रफल 35 वर्ग सेंटीमीटर और परिमाप 24 सेंटीमीटर है उसका विकर्ण लगभग 8.6 सेंटीमीटर होगा।

विधि 3

विधि 3 का 3:

क्षेत्रफल और भुजाओं के बीच के संबंध का इस्तेमाल करना

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1
भुजाओं के बीच का संबंध दर्शाते हुए फार्मुला लिखें:^{[११]Xरिसर्च सोर्स} आप लंबाई ( $l$ $How.com.vn हिन्द: {\displaystyle l}$ ) या चौड़ाई ( $w$ $How.com.vn हिन्द: {\displaystyle w}$ ) को अलग करके लिख सकते हैं। इस फार्मुला को लिख लें। आपको इसे बाद में क्षेत्रफल के फार्मुला में सबस्टिट्यूट करना पड़ेगा।
- उदाहरण के लिए, अगर आपके आयत की चौड़ाई लंबाई से 2 सेंटीमीटर अधिक है, तो आपका फार्मुला $w$ : $w=l+2$ होगा।
2
आयत के क्षेत्रफल का फार्मुला लिखें: यह आयत के क्षेत्रफल का फार्मुला $A=lw$ $How.com.vn हिन्द: {\displaystyle A=lw}$ है, जहाँ $A$ $How.com.vn हिन्द: A$ आयत का क्षेत्रफल है, $l$ $How.com.vn हिन्द: {\displaystyle l}$ आयत की लंबाई है, तथा $w$ $How.com.vn हिन्द: {\displaystyle w}$ आयत की चौड़ाई है।^{[१२]Xरिसर्च सोर्स}
- अगर आपको आयत का परिमाप ज्ञात है, तो भी आप इस प्रणाली का इस्तेमाल कर सकते हैं, सिर्फ आपको क्षेत्रफल की जगह पर परिमाप का फार्मुला लेना होगा। आयत का परिमाप निकालने का फार्मुला है $P=2(w+l)$ , जहाँ $w$ आयत की चौड़ाई है, तथा $l$ आयत की लंबाई है।^{[१३]Xरिसर्च सोर्स}
3
आयत के क्षेत्रफल का फार्मुला लिखें: सुनिश्चित कर लें कि आप चर $A$ $How.com.vn हिन्द: A$ के स्थान पर वैल्यू सबस्टिट्यूट कर रहे हैं।
- उदाहरण के लिए, अगर आयत का क्षेत्रफल 35 वर्ग सेंटीमीटर है, तो आपका फार्मुला ऐसा होगा: $35=lw$
4
क्षेत्रफल के फार्मुला में लंबाई (या चौड़ाई) के संबंध वाले सूत्र को सबस्टिट्यूट करें: चूंकि आप आयत का विकर्ण निकाल रहे हैं, तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता की आपके सूत्र में चर (Variable) $l$ $How.com.vn हिन्द: {\displaystyle l}$ है या $w$ $How.com.vn हिन्द: {\displaystyle w}$ है।
- उदाहरण के लिए, अगर आप $w=l+2$ लेते हैं, तो आप $w$ की वैल्यू को आयत के क्षेत्रफल वाले फार्मुला में लिखेंगे:
  $35=lw$
  $35=l(l+2)$
5
द्विघाती समीकरण (Quadratic Equation) लिखें: ऐसा करने के लिए, साहचर्य गुण (distributive property) का इस्तेमाल करके ब्रैकेट में मौजूद पदों का गुणन करें, फिर समीकरण को 0 से इक्वेट करें।
- उदाहरण के लिए:
  $35=l(l+2)$
  $35=l^{2}+2l$
  $0=l^{2}+2l-35$
6
द्विघाती समीकरण (Quadratic Equation) के गुणनखंड निकालें: इसे पूरी तरह से समझने के लिए एक-गणितीय-फंक्शन-के-शून्य-पता-करें लेख को पढ़िए।
- उदाहरण के लिए, समीकरण $0=l^{2}+2l-35$ के गुणनखंड $0=(l+7)(l-5)$ यह है।
$How.com.vn हिन्द: Step 7 l {\displaystyle l}$
7
$l$ $How.com.vn हिन्द: {\displaystyle l}$ की वैल्यू निकालें: ऐसा करने के लिए, हर एक पद को 0 के साथ इक्वेट करें और चर (Variable) की वैल्यू निकालने के लिए हल करें। आप देखेंगे कि इस समीकरण के दो उत्तर, या दो मूल (Roots) मिलेंगे।
- उदाहरण के लिए:
  $0=(l+7)$
  $-7=l$
  और
  $0=(l-5)$
  $5=l$
  इस उदाहरण में, आपको एक ऋणात्मक मूल (Negative root) मिलेगा। चूंकि आयत की लंबाई कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकती, लंबाई को 5 सेंटीमीटर ही लेना होगा।
8
लंबाई (या चौड़ाई) की वैल्यू को संबंध दिखाने वाले फार्मुला में सबस्टिट्यूट करें: इसे हल करने पर आपको आयत की दूसरी तरफ की लंबाई मिलेगी।
- उदाहरण के लिए, अगर आपको पता है कि आयत की लंबाई 5 सेंटीमीटर है, और चौड़ाई के साथ लंबाई का संबंध $w=l+2$ है, तो फार्मुला में लंबाई की जगह 5 सेंटीमीटर सबस्टिट्यूट करें:
  $w=l+2$
  $w=5+2$
  $w=7$
9
पाइथागोरस प्रमेय का फार्मूला लिखें: यह फार्मूला $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $How.com.vn हिन्द: a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ इस तरह से है, जहाँ $a$ $How.com.vn हिन्द: a$ और $b$ $How.com.vn हिन्द: b$ दोनों आयत की भुजाएं है, और $c$ $How.com.vn हिन्द: c$ समकोण त्रिभुज का कर्ण (Hypotenuse) है।^{[१४]Xरिसर्च सोर्स}
- आप पाइथागोरस प्रमेय का इस्तेमाल करते हैं क्योंकि आयत का विकर्ण (Diagonal) आयत को दो संगत समकोण त्रिभुज (congruent right triangles) में काटता है।^{[१५]Xरिसर्च सोर्स} आयत की लंबाई तथा चौड़ाई त्रिभुज की भुजाएं बन जाते हैं; और आयत का विकर्ण (Diagonal) त्रिभुज का कर्ण (Hypotenuse) बन जाता है।
10
फार्मूला में लंबाई और चौड़ाई की वैल्यूज़ सबस्टिट्यूट करें: यह महत्वपूर्ण नहीं है कि आप किस चर (Variable) के लिए किस मूल्य का उपयोग करते हैं।
- उदाहरण के लिए, अगर आपने आयत की लंबाई और चौड़ाई निकाल ली है, जो 5 सेंटीमीटर तथा 7 सेंटीमीटर है, तो आपका फार्मुला इस तरह से होगा: $5^{2}+7^{2}=c^{2}$
11
लंबाई और चौड़ाई का वर्ग (Square) लें, फिर इन दोनों को जोड़ दें: याद रखें, संख्या का वर्ग लेने का मतलब है संख्या को उसी से गुणा करना।
- For example:
  $5^{2}+7^{2}=c^{2}$
  $25+49=c^{2}$
  $74=c^{2}$
12
समीकरण के दोनों तरफ का वर्गमूल (Square Root) निकालें: कैल्क्यूलेटर का इस्तेमाल करके आसानी से वर्गमूल निकाला जा सकता है। अगर आपके पास साइन्टिफिक कैल्क्यूलेटर नहीं है, तो आप ऑनलाइन कैल्क्यूलेटर का इस्तेमाल कर सकते हैं।^{[१६]Xरिसर्च सोर्स} यह आपको $c$ $How.com.vn हिन्द: c$ की वैल्यू देगा, जो त्रिभुज का कर्ण (Hypotenuse) है, और आयत का विकर्ण (Diagonal) है।
- उदाहरण के लिए:
  $74=c^{2}$
  ${\sqrt {74}}={\sqrt {c^{2}}}$
  $8.6024=c$
  इसलिए, आयत जिसका क्षेत्रफल 35 वर्ग सेंटीमीटर है और परिमाप 24 सेंटीमीटर है उसका विकर्ण लगभग 8.6 सेंटीमीटर होगा।