如何求矩形对角线的长度

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在本文中：

使用长和宽

使用面积和周长

使用面积和边长的相对关系

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参考

对角线是连接矩形的一个角及其对角的一条直线。一个矩形有两条对角线，它们长度相等。如果知道矩形各边的边长，你可以借助勾股定理轻易地算出对角线的长度，因为对角线将矩形分成了两个直角三角形。如果你不知道边长，但知道面积和周长，或边长之间的关系等其他信息，你可以先计算出矩形的长和宽，然后再用勾股定理算出对角线的长度。

步骤

方法 1

方法 1 的 3:

使用长和宽

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   1
   列出勾股定理的公式。该公式是$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，其中$a$和$b$是直角三角形直角边的边长，而$c$是直角三角形的斜边长度。

   • 由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。矩形的长和宽是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。
2. 
   2
   将长和宽代入到公式中。长和宽应该是已知条件，又或者你可以量出它们的长度。确保你用长和宽代入的是$a$和$b$。

   • 例如，如果矩形的宽是3 cm，而长是4 cm，代入公式后得到如下等式：$3^{2}+4^{2}=c^{2}$。
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   算出长和宽的平方，然后相加求和。记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。

   • 例如：
     $3^{2}+4^{2}=c^{2}$
     $9+16=c^{2}$
     $25=c^{2}$
4. 
   4
   将等式两边开平方。最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。这样可以算出$c$的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。

   • 例如：
     $25=c^{2}$
     ${\sqrt {25}}={\sqrt {c^{2}}}$
     $5=c$
     因此，宽为3 cm，而长为4 cm的矩形，其对角线的长度是5 cm。
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方法 2

方法 2 的 3:

使用面积和周长

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   1
   列出矩形的面积公式。该公式是$A=lw$，其中$A$为矩形的面积，$l$为矩形的长，而$w$为矩形的宽。
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   将矩形的面积代入到公式中。确保你代入的是变量$A$。

   • 例如，如果矩形的面积是35平方厘米，则代入后得到如下等式：$35=lw$。
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   3
   变换等式，使之变成$$ w {\displaystyle w} 的表达式。等式两边都除以$l$。将这个表达式放到一边。稍后你会将它代入周长公式。

   • 例如：
     $35=lw$
     ${\frac {35}{l}}=w$。
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   列出矩形的周长公式。该公式是$P=2(w+l)$，其中$w$为矩形的宽，而$l$为矩形的长。
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   将周长的值代入到公式中。确保你代入的是变量$P$。

   • 例如，如果矩形的周长是24厘米，则代入后会得到如下等式：$24=2(w+l)$。
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   等式两边都除以2。这样就算出了$w+l$的值。

   • 例如：
     $24=2(w+l)$
     ${\frac {24}{2}}={\frac {2(w+l)}{2}}$
     $12=w+l$。
7. 
   7
   将$$ w {\displaystyle w} 的表达式代入到等式中。使用你变换面积公式得到的表达式。

   • 例如，如果使用你变换而得的表达式${\frac {35}{l}}=w$，把它代入周长公式中的$w$：
     $12=w+l$
     $12={\frac {35}{l}}+l$
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   去掉等式中的分母。等式两边都乘以$l$。

   • 例如：
     $12={\frac {35}{l}}+l$
     $12\times l=({\frac {35}{l}}\times l)+(l\times l)$
     $12l=35+l^{2}$
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   使等式一边等于0。等式两边都减去一次项。

   • 例如：
     $12l=35+l^{2}$
     $12l-12l=35+l^{2}-12l$
     $0=35+l^{2}-12l$
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    按项次对等式重新排序。这意味着带指数的项排第一个，然后是带变量的项，最后是常量。重新排序时，请注意保留正确的正、负符号。你应该注意到了，这个等式现在变成了一个二次方程。

    • 例如，$0=35+l^{2}-12l$变成了$0=l^{2}-12l+35$。
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    将二次方程因式分解。关于如何进行此步骤的完整说明，请阅读解二次方程。

    • 例如，方程$0=l^{2}-12l+35$可因式分解成$0=(l-7)(l-5)$。
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    求$$ l {\displaystyle l} 的值。令各项等于零，求出变量。你会得到方程的两个解，或两个根。由于你面对的是一个矩形，所以得到的两个根是矩形的宽和长。

    • 例如：
      $0=(l-7)$
      $7=l$
      及
      $0=(l-5)$
      $5=l$。
      因此，矩形的长和宽分别为7 cm和5 cm。
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    列出勾股定理的公式。该公式是$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，其中$a$和$b$是直角三角形直角边的边长，而$c$是直角三角形斜边的边长。

    • 由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。矩形的宽和长是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。
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    将宽和长代入到公式中。此时，长可以随意代入到a或b中，将宽代入另一个即可。

    • 例如，如果你算出矩形的宽和长为5 cm和7 cm，代入后得到如下等式：$5^{2}+7^{2}=c^{2}$。
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    算出宽和长的平方，然后相加求和。记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。

    • 例如：
      $5^{2}+7^{2}=c^{2}$
      $25+49=c^{2}$
      $74=c^{2}$
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    将等式两边开平方。最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。这样可以算出$c$的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。

    • 例如：
      $74=c^{2}$
      ${\sqrt {74}}={\sqrt {c^{2}}}$
      $8.6024=c$
      因此，面积为$35cm^{2}$而周长为24 cm的矩形，其对角线长度约等于8.6 cm。
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方法 3

方法 3 的 3:

使用面积和边长的相对关系

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   1
   写下能够说明两条边边长之间关系的等式。你可以将之写成长($l$)或宽($w$)的表达式。将这个等式放到一边。稍后你会将它代入面积公式。

   • 例如，如果已知矩形的宽比矩形的长要长2 cm，你可以列出$w$的表达式：$w=l+2$。
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   列出矩形的面积公式。该公式是$A=lw$，其中$A$为矩形的面积，$l$为矩形的长，而$w$为矩形的宽。

   • 如果知道矩形的周长，你也可以使用这种方法，不过列出的应该是周长公式，而非面积公式。矩形的周长公式是$P=2(w+l)$，其中$w$为矩形的宽，而$l$为矩形的长。
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   将矩形的面积代入到公式中。确保你代入的是变量$A$。

   • 例如，如果矩形的面积是35平方厘米，则代入后得到如下等式：$35=lw$。
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   将长或宽的关系表达式代入公式中。由于你面对的是一个矩形，所以求$l$或$w$变量的值都可以。

   • 例如，如果你知道$w=l+2$，可以将这个表达式代入面积公式中的$w$：
     $35=lw$
     $35=l(l+2)$
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   列出二次方程。用括号前的系数乘以括号内的各项，然后使方程的一边等于0。

   • 例如：
     $35=l(l+2)$
     $35=l^{2}+2l$
     $0=l^{2}+2l-35$
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   将二次方程因式分解。关于如何进行此步骤的完整说明，请阅读解二次方程。

   • 例如，方程$0=l^{2}+2l-35$可因式分解成$0=(l+7)(l-5)$。
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   7
   求$$ l {\displaystyle l} 的值。令各项等于零，求出变量。你会求出方程的两个解，或两个根。

   • 例如：
     $0=(l+7)$
     $-7=l$
     及
     $0=(l-5)$
     $5=l$。
     在本例中，你会得到一个负数根。由于矩形的长不可能为负数，所以长必定为5 cm。
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   将长或宽的值代入到关系表达式中。这样就算出了矩形另一条边的边长。

   • 例如，如果你知道矩形的长为5 cm，且边长之间的关系为$w=l+2$，可以将长的值5代入到表达式中：
     $w=l+2$
     $w=5+2$
     $w=7$
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   列出勾股定理的公式。该公式是$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，其中$a$和$b$是直角三角形直角边的边长，而$c$是直角三角形斜边的边长。

   • 由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。矩形的宽和长是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。
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    将宽和长代入到公式中。此时，长可以随意代入到a或b中，将宽代入另一个即可。

    • 例如，如果你算出矩形的宽和长为5 cm和7 cm，代入后得到如下等式：$5^{2}+7^{2}=c^{2}$。
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    11
    算出宽和长的平方，然后相加求和。记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。

    • 例如：
      $5^{2}+7^{2}=c^{2}$
      $25+49=c^{2}$
      $74=c^{2}$
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    将等式两边开平方。最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。这样可以算出$c$的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。

    • 例如：
      $74=c^{2}$
      ${\sqrt {74}}={\sqrt {c^{2}}}$
      $8.6024=c$
      因此，宽比长要长2 cm，且面积为$35cm^{2}$的矩形，其对角线的长度约等于8.6 cm。
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