Come Trovare la Misura della Diagonale Inscritta in un Rettangolo

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In questo Articolo:

Utilizzare Lunghezza e Larghezza

Utilizzare Area e Perimetro

Utilizzare l'Area e la Relazione che Lega i Lati

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Riferimenti

In un rettangolo, la diagonale è la retta che collega i due angoli opposti della figura. Da questo concetto si intuisce che un rettangolo possiede due diagonali identiche. Dato che la diagonale divide il rettangolo in due triangoli rettangoli uguali, conoscendo la misura dei lati che compongono il rettangolo in esame, è possibile calcolare la misura della diagonale in modo semplice e rapido avvalendosi del teorema di Pitagora. Al contrario, se non si conoscono le misure dei lati ma si conoscono altre informazioni, ad esempio area o perimetro o la relazione che lega i suoi lati, è comunque possibile risalire alla loro misura con alcuni passaggi aggiuntivi e poi sfruttare nuovamente il teorema di Pitagora per risolvere il problema.

Passaggi

Metodo 1

Metodo 1 di 3:

Utilizzare Lunghezza e Larghezza

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   Imposta la formula relativa al teorema di Pitagora. La formula in esame è $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, dove $a$ e $b$ rappresentano i cateti di un triangolo rettangolo, mentre $c$ rappresenta la sua ipotenusa.

   • In questo caso, è possibile avvalersi del teorema di Pitagora perché la diagonale di un rettangolo lo suddivide in due triangoli rettangoli congruenti. La lunghezza e la larghezza del poligono rappresentano i due cateti del triangolo, cioè la base e l'altezza, mentre la diagonale non è altro che l'ipotenusa.
2. 
   2
   Sostituisci le variabili della formula con la misura dei due lati. Questi dati dovrebbero essere già noti oppure puoi misurarli fisicamente utilizzando un righello o un metro. Assicurati di sostituire i valori con le variabili $a$ e $b$ della formula.

   • Ad esempio, ipotizzando di studiare un rettangolo largo 4 cm e lungo 3 cm, la formula dovrebbe apparire così: $4^{2}+3^{2}=c^{2}$.
3. 
   3
   Eleva al quadrato il valore di lunghezza e larghezza, quindi somma i risultati fra loro. Ricorda che calcolare il quadrato di un numero significa semplicemente moltiplicarlo per se stesso.

   • Nel nostro esempio otterremo:
     $4^{2}+3^{2}=c^{2}$
     $16+9=c^{2}$
     $25=c^{2}$
4. 
   4
   Calcola la radice quadrata di ciascun membro dell'equazione. Il modo più semplice per eseguire questo calcolo consiste nell'utilizzare la calcolatrice. Se non possiedi una calcolatrice scientifica, puoi utilizzare una calcolatrice online. In questo modo otterremo il valore di $c$, che rappresenta l'ipotenusa del triangolo in esame che coincide con la diagonale del rettangolo.

   • Nel nostro esempio, otterremo:
     $25=c^{2}$
     ${\sqrt {25}}={\sqrt {c^{2}}}$
     $5=c$
     Possiamo quindi affermare che la diagonale del rettangolo in esame, avente una base lunga 4 cm e un'altezza pari a 3 cm, misura esattamente 5 cm.
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Metodo 2

Metodo 2 di 3:

Utilizzare Area e Perimetro

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1. 
   1
   Imposta la formula per calcolare l'area di un rettangolo. La formula è $A=bh$, dove $A$ rappresenta l'area superficiale della figura, $b$ è la misura della base o della lunghezza e $h$ rappresenta l'altezza o la larghezza del rettangolo.
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   Inserisci il valore dell'area all'interno della formula. Assicurati di sostituire tale valore con la variabile $A$.

   • Ad esempio, ipotizzando di avere un rettangolo con area pari a 35 cm², la formula apparirà così:$35=bh$.
3. 
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   Utilizza la formula inversa per individuare il valore di $$ b {\displaystyle b} . Per farlo, occorre dividere entrambi i lati dell'equazione per $h$. Una volta calcolato questo valore, mettilo da parte, lo utilizzerai in seguito per calcolare il perimetro del rettangolo in esame.

   • Nel nostro esempio otterremo:
     $35=bh$
     ${\frac {35}{h}}=b$.
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   4
   Imposta la formula per calcolare il perimetro di un rettangolo. La formula in oggetto è $P=2(b+h)$, dove $b$ rappresenta la base del rettangolo e $h$ rappresenta l'altezza.
5. 
   5
   Sostituisci i valori noti all'interno della formula per calcolare il perimetro di un rettangolo. Assicurati di sostituire la variabile $P$ con il valore corretto.

   • Ad esempio, ipotizzando di avere un rettangolo con perimetro pari a 24 cm, la formula apparirà così: $24=2(b+h)$.
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   Dividi entrambi i membri dell'equazione per 2. In questo modo otteniamo il valore dell'espressione $b+h$.

   • Nel nostro esempio otterremo:
     $24=2(b+h)$
     ${\frac {24}{2}}={\frac {2(b+h)}{2}}$
     $12=b+h$.
7. 
   7
   Sostituisci il valore della variabile $$ b {\displaystyle b} all'interno dell'equazione. Utilizza il valore ottenuto usando la formula inversa del calcolo dell'area.

   • Nel nostro esempio abbiamo ottenuto che ${\frac {35}{h}}=b$. Sostituisci la variabile $b$ della formula per calcolare il perimetro con il valore noto ottenendo:
     $12=b+h$
     $12={\frac {35}{h}}+h$
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   8
   Semplifica l'equazione eliminando la frazione. Per eseguire questo passaggio, occorre moltiplicare entrambi i membri dell'equazione per $h$.

   • Nel nostro esempio otterremo:
     $12={\frac {35}{h}}+h$
     $12\times h=({\frac {35}{h}}\times h)+(h\times h)$
     $12h=35+h^{2}$
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   Eguaglia l'equazione a 0. Per farlo, occorre sottrarre a ogni membro dell'equazione il termine di primo grado.

   • Nel nostro esempio otterremo:
     $12h=35+h^{2}$
     $12h-12h=35+h^{2}-12h$
     $0=35+h^{2}-12h$
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    10
    Riordina i termini dell'equazione in base al grado. Nel nostro caso significa che il termine con l'esponente dovrà apparire per primo, seguito dal termine senza esponente e infine dalla costante. Quando si riordinano i termini di un'equazione occorre tenere sempre presente anche il relativo segno, positivo o negativo che sia. Arrivato a questo punto, dovresti esserti accorto di aver ottenuto un'equazione quadratica, cioè un'equazione di secondo grado.

    • Nel nostro esempio l'equazione originale $0=35+h^{2}-12h$ è diventata $0=h^{2}-12h+35$.
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    Scomponi in fattori l'equazione quadratica. Per una trattazione completa su come risolvere un'equazione di secondo grado, puoi consultare questo articolo.

    • Nel nostro esempio, l'equazione $0=h^{2}-12h+35$ può essere scomposta nei seguenti fattori $0=(h-7)(h-5)$.
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    12
    Calcola il valore della variabile $$ h {\displaystyle h} . Per farlo, eguaglia a zero ogni termine dell'equazione, quindi esegui i relativi calcoli. Un'equazione quadratica ammette due soluzioni denominate anche radici. Dato che stiamo studiando un rettangolo, le due soluzioni della formula rappresenteranno la misura della base e dell'altezza.

    • Nel nostro esempio otterremo:
      $0=(h-7)$
      $7=h$
      e
      $0=(h-5)$
      $5=h$.
      A questo punto, possiamo affermare che il rettangolo in esame ha un'altezza di 7 cm e una base di 5 cm.
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    Imposta la formula relativa al teorema di Pitagora. La formula in esame è $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, dove $a$ e $b$ rappresentano i cateti di un triangolo rettangolo, mentre $c$ rappresenta la sua ipotenusa.

    • In questo caso è possibile avvalersi del teorema di Pitagora, perché la diagonale di un rettangolo lo suddivide in due triangoli rettangoli congruenti. La lunghezza e la larghezza del poligono rappresentano i due cateti del triangolo, cioè la base e l'altezza, mentre la diagonale non è altro che l'ipotenusa.
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    Sostituisci i valori di base e altezza all'interno della formula. In questo caso, non importa quale valore assegni alle variabili, il risultato finale sarà identico.

    • Nel nostro esempio abbiamo calcolato che l'altezza e la base del nostro rettangolo misurano 5 e 7 cm, quindi la formula apparirà così: $5^{2}+7^{2}=c^{2}$.
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    Eleva al quadrato il valore di base e altezza, quindi somma i risultati fra loro. Ricorda che calcolare il quadrato di un numero significa semplicemente moltiplicarlo per se stesso.

    • Nel nostro esempio otterremo:
      $5^{2}+7^{2}=c^{2}$
      $25+49=c^{2}$
      $74=c^{2}$
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    Calcola la radice quadrata di ciascun membro dell'equazione. Il modo più semplice per eseguire questo calcolo consiste nell'utilizzare la calcolatrice. Se non possiedi una calcolatrice scientifica, puoi utilizzare una calcolatrice online. In questo modo otterremo il valore di $c$, che rappresenta l'ipotenusa del triangolo in esame che coincide con la diagonale del rettangolo.

    • Nel nostro esempio otterremo:
      $74=c^{2}$
      ${\sqrt {74}}={\sqrt {c^{2}}}$
      $8,6024=c$
      Possiamo quindi affermare che la diagonale di un rettangolo con un'area pari a 35 cm² e un perimetro pari a 24 cm misura circa 8,6 cm.
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Metodo 3

Metodo 3 di 3:

Utilizzare l'Area e la Relazione che Lega i Lati

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   Scrivi l'equazione che esprime la relazione esistente fra i due lati del rettangolo in esame. Puoi scegliere di isolare l'altezza ($h$) o la base ($b$). Una volta ottenuta la formula, mettila da parte, la userai successivamente all'interno di quella relativa al calcolo dell'area di un rettangolo.

   • Ad esempio, ipotizzando di avere un rettangolo con una base più lunga di 2 cm rispetto all'altezza, puoi creare la formula che descrive questa relazione in base alla variabile $b$: $b=h+2$.
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   Imposta la formula per calcolare l'area di un rettangolo. La formula è $A=bh$, dove $A$ rappresenta l'area superficiale della figura, $b$ è la misura della base o della lunghezza e $h$ rappresenta l'altezza o la larghezza del rettangolo.

   • Puoi usare questo metodo anche quando conosci il perimetro della figura, ma in quel caso dovrai utilizzare la formula per il calcolo del perimetro e non dell'area. La formula per calcolare il perimetro di un rettangolo è $P=2(b+h)$, dove $b$ rappresenta la base del rettangolo e $h$ rappresenta l'altezza.
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   Inserisci il valore dell'area all'interno della formula. Assicurati di sostituire tale valore con la variabile $A$.

   • Ad esempio, ipotizzando di avere un rettangolo con area pari a 35 cm², la formula apparirà così:$35=bh$.
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   Sostituisci la relativa variabile (base o altezza) all'interno della formula che ne descrive la relazione. Dato che stiamo studiando un rettangolo, non importa se si usa la variabile dell'altezza $h$ o quella della base $b$.

   • Ad esempio, se la relazione che lega i due lati del poligono è espressa dall'equazione $b=h+2$, puoi sostituirla alla variabile $b$ presente nella formula per il calcolo dell'area ottenendo:
     $35=hb$
     $35=h(h+2)$
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   5
   Imposta l'equazione quadratica. Per farlo, puoi usare la proprietà distributiva per moltiplicare i termini presenti nella parentesi, quindi riscrivi l'equazione nella sua forma standard eguagliandola a 0.

   • Nel nostro esempio otterremo:
     $35=h(h+2)$
     $35=h^{2}+2h$
     $0=h^{2}+2h-35$
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   Scomponi in fattori l'equazione quadratica. Per una trattazione completa su come risolvere un'equazione di secondo grado, puoi consultare questo articolo.

   • Nel nostro esempio l'equazione $0=h^{2}+2h-35$ può essere scomposta nei seguenti fattori $0=(h+7)(h-5)$.
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   Calcola il valore della variabile $$ h {\displaystyle h} . Per farlo, eguaglia a zero ogni termine dell'equazione, quindi esegui i relativi calcoli. Un'equazione quadratica ammette due soluzioni denominate anche radici.

   • Nel nostro esempio otterremo:
     $0=(h+7)$
     $-7=h$
     e
     $0=(h-5)$
     $5=h$.
     In questo caso, una delle due soluzioni è negativa. Dato che un rettangolo non può ovviamente essere descritto da una misura negativa, la soluzione corretta è obbligatoriamente 5 cm.
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   8
   Sostituisci il valore appena calcolato all'interno della formula che descrive la relazione esistente fra base e altezza del rettangolo. In questo modo otterrai il valore del secondo lato del poligono.

   • Nel nostro esempio abbiamo scoperto che l'altezza del rettangolo misura 5 cm e che la relazione che la lega alla base è $b=h+2$. A questo punto, puoi sostituire il valore 5 all'interno di quest'ultima formula ottenendo:
     $b=h+2$
     $b=5+2$
     $b=7$
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   9
   Imposta la formula relativa al teorema di Pitagora. La formula in esame è $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, dove $a$ e $b$ rappresentano i cateti di un triangolo rettangolo, mentre $c$ rappresenta la sua ipotenusa.

   • In questo caso è possibile avvalersi del teorema di Pitagora perché la diagonale di un rettangolo lo suddivide in due triangoli rettangoli congruenti. La lunghezza e la larghezza del poligono rappresentano i due cateti del triangolo, cioè la base e l'altezza, mentre la diagonale non è altro che l'ipotenusa.
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    Sostituisci i valori di base e altezza all'interno della formula. In questo caso non importa quale valore assegni alle variabili, il risultato finale sarà identico.

    • Nel nostro esempio abbiamo calcolato che la base e l'altezza del rettangolo in esame sono pari a 5 e 7 cm, quindi la formula apparirà così: $5^{2}+7^{2}=c^{2}$.
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    Eleva al quadrato il valore di base e altezza, quindi somma i risultati fra loro. Ricorda che calcolare il quadrato di un numero significa semplicemente moltiplicarlo per se stesso.

    • Nel nostro esempio otterremo:
      $5^{2}+7^{2}=c^{2}$
      $25+49=c^{2}$
      $74=c^{2}$
12. 
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    Calcola la radice quadrata di ciascun membro dell'equazione. Il modo più semplice per eseguire questo calcolo consiste nell'utilizzare la calcolatrice. Se non possiedi una calcolatrice scientifica, puoi utilizzare una calcolatrice online. In questo modo otterremo il valore di $c$, che rappresenta l'ipotenusa del triangolo in esame che coincide con la diagonale del rettangolo.

    • Nel nostro esempio otterremo:
      $74=c^{2}$
      ${\sqrt {74}}={\sqrt {c^{2}}}$
      $8,6024=c$
      Possiamo quindi affermare che la diagonale di un rettangolo avente un'area pari a 35 cm² e una base che misura 2 cm in più dell'altezza è pari a 8,6 cm.
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