كيفية إيجاد نصف قطر الكرة

تنزيل المقال

تنزيل المقال

نصف قطر الكرة (يرمز له بالمتغير نق أو r أو R) هو المسافة من مركز الكرة إلى أي نقطة على سطحها الخارجي، وعادة ما يكون نصف قطر الكرة معلومة مبدئية مهمة لحساب قطر الشكل ومحيطه ومساحة سطحه وحجمه أو أيًا منهم كما في الدوائر، لكنك تستطيع إيجاده بشكل عكسي من القطر أو المحيط... إلخ. استخدم المعادلة التي تتفق والمعطيات المتاحة لديك لإيجاد نصف قطر الكرة.

الخطوات

طريقة 1

طريقة 1 من 3:

استخدام معادلات حساب نصف القطر

تنزيل المقال

1. 
   1
   جد نصف القطر إذا عرفت القطر. نصف القطر هو القطر مقسومًا على اثنين، لذا استخدم المعادلة r=D/2 وهي مطابقة للطريقة المتبعة لحساب نصف قطر الدائرة من قطرها.

   • جد نصف قطر كرة قطرها 16 سم بقسمة 16/2 للحصول على 8 سم، وإذا كان القطر 42 سم فنصف القطر هو 21.
2. 
   2
   جد نصف القطر بمعرفة المحيط. استخدم المعادلة C/2π لأن المحيط يساوي πD والذي يساوي 2πr. ستعطيك قسمة المحيط على 2π نصف القطر.

   • إذا كانت لديك كرة محيطها 20 سم فجد نصف القطر بقسمة 20/2π = 3.183 m .
   • استخدم المعادلة نفسها للتحويل بين نصف القطر ومحيط الدائرة.
3. 
   3
   احسب نصف القطر بمعرفة حجم الكرة. استخدم المعادلة ((V/π)(3/4))^1/3. يشتق حجم الكرة من المعادلة V = (4/3)πr³، وسيعطيك حل المعادلة للحصول على متغير r ((V/π)(3/4))^1/3 = r ما يعني أن نصف قطر الكرة يساوي حجمها مقسومًا على ط مضروبًا في 3/4 وجميعها مرفوعة للأس 1/3 (أو الجذر التكعيبي).

   • جد نصف القطر كما يلي إذا كانت لديك كرة حجمها 254 سم³:
     • ((V/π)(3/4))^1/3 = r
     • ((254/π)(3/4))^1/3 = r
     • ((80.85)(3/4))^1/3 = r
     • (60.6)^1/3 = r
     • 3.9 cm = r
4. 
   4
   جد نصف القطر من مساحة السطح. استخدم المعادلة r = √(A/(4π)). تشتق مساحة سطح الكرة من المعادلة A = 4πr². يعطينا حل المعادلة لإيجاد قيمة المتغير r √(A/(4π)) = r ما يعني أن نصف قطر الكرة يساوي الجذر التربيعي لمساحة السطح مقسومًا على 4 ط، كما يمكنك أخذ الأس 1/2 للجزء (A/(4π)) للحصول على نفس النتيجة.

   • إذا كانت لديك كرة مساحة سطحها 1200 سم² فجد نصف القطر كما يلي:
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95.49) = r
     • 9.77 cm = r

طريقة 2

طريقة 2 من 3:

تعريف المفاهيم الرئيسية

تنزيل المقال

1. 
   1
   حدد القياسات الأساسية للكرة. نصف القطر (r) هو المسافة من مركز الكرة لأي نقطة على سطحها، ويمكنك إيجاد نصف قطر الكرة في العموم إذا عرفت القطر أو المحيط أو الحجم أو مساحة السطح.

   • القطر D: هو المسافة عبر الكرة وضعف نصف القطر. القطر هو طول الخط المار بمركز الكرة من نقطة على سطحها الخارجي إلى نقطة مناظرة لها مباشرة. بعبارة أخرى: هو أكبر مسافة ممكنة بين نقطتين على سطح الكرة.
   • المحيط المنحني المغلق c: المسافة الخطية حول الكرة في أعرض نقطة. بعبارة أخرى: هي محيط المقطع العرضي الكروي الذي يمر مستواه بمركز الكرة.
   • الحجم v: المساحة ثلاثية الأبعاد التي تضمها الكرة، وهي الفراغ الذي تحتله الكرة.
   • مساحة السطح A: المساحة ثنائية الأبعاد لسطح الكرة من الخارج، أي مقدار المساحة المستوية التي تغطي الكرة من الخارج.
   • ط أو π: ثابتٌ يعبر عن النسبة بين محيط الدائرة إلى قطرها، ودومًا ما تكون الأرقام العشرة الأولى من ط هي 3,141592653 رغم أنها غالبًا ما تقرّب إلى 3,14.
2. 
   2
   استخدم قياسات مختلفة لإيجاد نصف القطر. يمكنك استخدام القطر والمحيط المنحني المغلق والحجم ومساحة السطح لحساب نصف قطر الكرة، كما يمكنك حساب كل من هذه الأرقام إذا عرفت طول نصف القطر نفسه لذا حاول أن تعكس معادلات حساب هذه المكونات إذا أردت استخدامها لإيجاد نصف القطر. اعرف المعادلات التي تستخدم نصف القطر لإيجاد القطر والمحيط والحجم ومساحة السطح.

   • D=2r. قطر الكرة ضعف نصف القطر كما في الدوائر.
   • C = πD أو 2πr. يساوي محيط الكرة ط مضروبًا في القطر كما في الدائرة. القطر ضعف نصف القطر، لذا يمكننا أيضًا أن نقول إن المحيط هو ضعف نصف القطر مضروبًا في ط.
   • V = (4/3)πr³. حجم الكرة هو مكعب نصف القطر (مضروبًا في نفسه مرتين) مضروبًا في ط وفي 4/3.
   • A = 4πr². مساحة سطح الكرة هي مربع نق (مضروبًا في نفسه) مضروبًا في ط وفي 4. مساحة الدائرة هي πr² لذا يمكن القول إن مساحة الكرة هي 4 أمثال مساحة الدائرة التي يكونها المحيط.

طريقة 3

طريقة 3 من 3:

إيجاد نصف القطر كمسافة بين نقطتين

تنزيل المقال

1. 
   1
   جد الإحداثيات (x، y، z) لمركز الكرة. تتمثل إحدى الطرق المتاحة لتصور نصف قطر الكرة في اعتباره مسافة بين نقطة في مركز الكرة وأي نقطة على سطحها. هذا صحيحٌ، لذا يمكنك إيجاد نصف قطر الكرة إذا عرفت إحداثيات مركزها وأي نقطة على السطح بحساب المسافة بين النقطتين من خلال تعديل معادلة المسافة الأساسية. جد إحداثيات مركز الكرة لتبدأ ولاحظ أن الكرة ثلاثية الأبعاد لذا ستكون النقطة (x,y,z) بدلًا من (x,y).

   • يسهل فهم هذه العملية بمثال. لنفترض – لأغراض الشرح – أن لدينا كرة مركزها النقطة (4، -1، 12). سنستخدم هذه النقطة في الخطوات التالية لمساعدتنا على إيجاد نصف القطر.
2. 
   2
   جد إحداثيات نقطة على سطح الكرة. ستحتاج بعدها لإيجاد إحداثيات نقطة على سطح الكرة والتي يمكن أن تكون "أي" نقطة على السطح. تتباعد النقاط على سطح الكرة عن المركز مسافات متساوية حسب التعريف لذا تكون أيٌ منها مناسبة لإيجاد نصف القطر.

   • لنقل في مثالنا بأن لدينا النقطة (3، 3، 0) الواقعة على سطح الكرة. يمكننا إيجاد نصف القطر بحساب المسافة بين هذه النقطة والمركز.
3. 
   3
   جد نصف القطر بالمعادلة d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²). ستجد نصف القطر الآن بعد أن عرفت مركز الكرة ونقطة على السطح بحساب المسافة بينهما. استخدم معادلة المسافة ثلاثية الأبعاد d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²) حيث d تساوي المسافة و(x₁,y₁,z₁) تساوي إحداثيات المركز و(x₂,y₂,z₂) تساوي إحداثيات النقطة الموجودة على السطح لإيجاد المسافة بين النقطتين.

   • سنعوض ب(4، -1، 12) في (x₁ وy₁ وz₁) و(3,3,0) عن (x₂ وy₂ وz₂)لنحل المعادلة كما يلي:
     • d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)
     • d = √((3 – 4)² + (3 - -1)² + (0 – 12)²)
     • d = √((-1)² + (4)² + (-12)²)
     • d = √(1 + 16 + 144)
     • d = √(161)
     • d = 12.69. هذا هو نصف قطر كرتنا.
4. 
   4
   اعلم أنه في الحالات العامة r = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²). كل نقطة على سطح الكرة تبعد عن المركز نفس المسافة لذا إذا أخذنا معادلة المسافة ثلاثية الأبعاد الموضحة أعلاه واستبدلنا المتغير d بالمتغير r لنصف القطر فسنحصل على صورة من المعادلة تمكننا من إيجاد نصف القطر بمعرفة نقطة المركز (x₁,y₁,z₁) وأي نقطة مناظرة لها على السطح. (x₂,y₂,z₂).

   • وبتربيع طرفي المعادلة، نحصل على r² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)². لاحظ أن هذا يساوي بالضرورة معادلة الكرة الأساسية r² = x² + y² + z² التي تفترض أن إحداثيات المركز هي (0,0,0).

أفكار مفيدة

• ترتيب إجراء العمليات مهمٌ. إذا تحيرت في ترتيب الأولويات وكان الجهاز المستخدم يدعم الأقواس فاحرص على استخدامها.
• نشرت هذه المقالة عند الطلب، لكن إذا كنت تحاول فهم الهندسة للمرة الأولى فيفضل البدء من الجهة الأخرى، أي حساب خصائص الكرة من نصف القطر.
• تتمثل إحدى طرق إيجاد قياسات الكرة المطلوبة – إذا كان لها وجودٌ مادي – في إزاحة الماء. يمكنك غمرها في وعاء مملوء بالماء أولًا وجمع ما يفيض بافتراض أن الحجم يتيح لنا هذا، ثم قس حجم الفائض الذي جمعته. حول من مل إلى سم مكعب أو القياس الذي تختاره للكرة ويمكنك استخدام تلك القيمة لإيجاد قيمة r بالمعادلة v=(4/3)* pi*r^3. هذا أكثر تعقيدًا من قياس المحيط بشريط قياس أو مسطرة لكنه قد يكون أدق لأنك لن تقلق بشأن تزحزح آلة القياس عن المركز.
• ط أو π هي حرفٌ إغريقيٌ يمثل نسبة قطر الدائرة إلى محيطها، وهو رقمٌ غير نسبي ولا يمكن كتابته كنسبة بين عددين صحيحين. هناك الكثير من التقريبات له إذ تعطي 333/106 ط حتى 4 خانات عشرية. يحفظ العديدون في الوقت الحاضر التقريب 3,14 والذي عادة ما يكون دقيقًا بدرجة كافية للأغراض اليومية.