Comment calculer le rayon d'une sphère

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Calculer le rayon d'une sphère

Maitriser la terminologie de la sphère

Calculer le rayon dans un espace à 3 dimensions

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Références

Le rayon d'une sphère ($r$) est la distance entre le centre d’une sphère et un point quelconque sur son bord extérieur. Comme pour les cercles, le rayon d’une sphère sert à calculer toutes les autres dimensions, comme son volume, sa circonférence, sa surface extérieure, etc. Ce qui est vrai dans ce sens l'est aussi dans l'autre, c'est-à-dire qu'à partir d'une dimension d'une sphère, il est possible de calculer son rayon. Tout est question de manipulation de formules très simples.

Étapes

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:

Calculer le rayon d'une sphère

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   Calculez le rayon à l’aide du diamètre. Le rayon ($r$) n’est rien d’autre que la moitié du diamètre ($D$). Par conséquent, la formule est $r=D/2={\frac {D}{2}}$. Peut-être avez-vous déjà rencontré cette formule lors de l'étude des cercles  !

   • Si le diamètre de votre sphère est de 16 cm, divisez-le par 2 et vous obtenez son rayon, soit 8 cm. S'il fait 42 cm de diamètre, son rayon est de 21 cm : aussi simple que cela !
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   Calculez le rayon à l’aide de la circonférence. Étant donné que la circonférence ($C$) est égale à $C=\pi D=2\pi r$, alors en en déduit que : $r={\frac {C}{2\pi }}$, vous devez diviser la circonférence par $2\pi$ pour obtenir votre rayon .

   • Si la circonférence de votre sphère est de 20 m, trouvez le rayon en divisant 20 par $2\pi$. Le résultat est égal à 3,183 m.
   • Peut-être le savez-vous déjà, mais c'est la même formule pour les cercles, ce qui est assez logique !
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   Calculez le rayon à l'aide du volume. La formule du volume $V$d'une sphère est assez simple : $V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}$. Contenant le rayon, il est possible d'en déduire la formule du rayon en fonction du volume : $r^{3}={\frac {3V}{4\pi }}$. Il suffit alors d'extraire la racine cubique pour obtenir $r$ trouver la variable $r$ dans cette équation, on obtiendra $r={\sqrt[{3}]{\frac {3V}{4\pi }}}=({\frac {3V}{4\pi }})^{\frac {1}{3}}$ , ce qui veut dire que le rayon est égal à trois le volume divisé par 4 fois $\pi$, le tout à la puissance ${\frac {1}{3}}$ .

   • Prenons l'exemple d'une sphère d'un volume de 100 cm³ dont on chercherait le rayon $r$ :
     • $r=({\frac {3V}{4\pi }})^{\frac {1}{3}}$
     • $r=({\frac {3(100)}{4\pi }})^{\frac {1}{3}}$
     • $r=({\frac {300}{4\pi }})^{\frac {1}{3}}$
     • $r=(23,87)^{\frac {1}{3}}$ (avec $\pi =3,1415$)
     • $r=2,88\ cm$
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   Calculez le rayon avec l’aire de la sphère. La formule de l’aire $A$ d'une sphère est la suivante : $A=4\pi r^{2}$. Moyennant quelques arrangements, on obtient : $r^{2}={\frac {A}{4\pi }}$, ce qui permet d'obtenir la formule du rayon en fonction de l'aire : $r={\sqrt {\frac {A}{4\pi }}}$. Autrement dit, le rayon de la sphère est égal à la racine carrée de la surface divisée par $4\pi$.

   • Prenons une sphère ayant une aire de 1 200 cm². Calculons son rayon $r$ :
     • $r={\sqrt {\frac {A}{4\pi }}}$
     • $r={\sqrt {\frac {1\ 200}{4\pi }}}$
     • $r={\sqrt {\frac {300}{\pi }}}$
     • $r={\sqrt {95,49}}$ (avec $\pi =3,1415$)
     • $r\approx {9,77}\ cm$
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:

Maitriser la terminologie de la sphère

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   Identifiez les grandeurs d’une sphère. Le rayon (r) représente la distance entre le centre de la sphère et un point quelconque de sa surface. Selon les cas, il vous sera donné d'emblée, ou vous pourrez le déduire du diamètre, de la circonférence, du volume ou de l’aire de la sphère.

   • Le diamètre ($D$) est la distance transversale d’une sphère, à savoir la longueur d’un segment de droite passant par le centre et limitée par deux points présents sur la surface de la sphère. C’est donc le double du rayon et la plus longue distance entre deux points de la sphère.
   • La circonférence ($C$) est la distance unidimensionnelle autour de la sphère à son point le plus large. Autrement dit, c’est le périmètre d'une section transversale de la sphère dont le plan passe par le centre.
   • Le volume ($V$) est l'espace tridimensionnel contenu à l’intérieur de la sphère. C’est en quelque sorte l’espace qu’occupe la sphère .
   • L’aire ($A$) représente la zone bidimensionnelle sur la surface extérieure de la sphère. C’est la quantité d'espace plat recouvrant la partie externe de la sphère.
   • Pi ($\pi$) est la constante bien connue, liée au cercle, exprimant la division entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Selon le degré de précision qui vous sera demandé, vous utiliserez telle ou telle approximation, en général, c'est le fameux 3,14.
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   Apprenez et retenez les formules d'une sphère. Le rayon est l'élément de base d'une sphère, car par rotations diverses, par translations, d'un simple segment, le rayon, on obtient un diamètre, une circonférence, un volume et une aire. Le rayon est toujours présent et incontournable. Comme les formules s'appuient sur le rayon, à l'inverse, il est possible de retrouver le rayon à partir de toutes les dimensions d'une sphère.

   • $D=2r$ : comme pour les cercles, le diamètre d'une sphère est le double de son rayon.
   • $C=\pi D=2\pi r$ : à l'image des cercles, la circonférence d'une sphère est égale au produit du diamètre par $\pi$, mais aussi le produit du rayon double par $\pi$.
   • $V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ : le volume $V$est égal au produit du cube du rayon ($r\times r\times r$) par $\pi$ et par la fraction ${\frac {4}{3}}$ .
   • $A=4\pi r^{2}$ : l’aire $A$ est égale à 4 fois le produit du carré du rayon ($r\times r$) par $\pi$. Pour mémoire, l'aire d'un cercle est $A=\pi r^{2}$.
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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:

Calculer le rayon dans un espace à 3 dimensions

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   Trouvez les coordonnées (x, y, z) du centre de la sphère. Une sphère est une figure à trois dimensions et dans un tel espace, on sait calculer la distance séparant deux points quelconques, il suffit d'avoir les coordonnées des deux points. Appliqué à une sphère, le rayon n'est rien d'autre que la distance entre son centre (un point) et un point quelconque de sa surface. C'est pourquoi il faut commencer par déterminer les coordonnées (x, y, z) du centre de la sphère.

   • Pour plus de clarté, nous nous appuierons sur un exemple concret, une sphère dont le centre est le point de coordonnées (4, -1, 12).
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   Trouvez les coordonnées d'un point sur la surface de la sphère. C'est la deuxième étape : pour calculer la distance entre deux points d'un espace tridimensionnel, il faut les coordonnées de deux points, et pour notre rayon, nous avons besoin de celles du centre et celles d'un point quelconque de la surface, étant entendu que tous les points de la surface d'une sphère sont à égale distance du centre.

   • Reprenons notre exemple : on posera que le point de coordonnées (3, 3, 0) se trouve à la surface de la sphère dont le centre est le point (4, -1, 12).
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   Calculez la distance $$ d {\displaystyle d} entre deux points d'un espace. La formule est longue, mais facile à retenir : $d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}$, ($x_{1},y_{1},z_{1}$) étant les coordonnées d'un point, et ($x_{2},y_{2},z_{2}$) celles d'un autre point. Si le premier point est le centre d'une sphère et le second un point de la surface, $d$ devient le rayon $r$ de la sphère.

   • Dans notre exemple, nous remplacerons ($x_{1},y_{1},z_{1}$) par (4, -1, 12) et
     ($x_{2},y_{2},z_{2}$) par (3, 3, 0). Le calcul se présente comme suit :
     • $d=r={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}$
     • $d=r={\sqrt {(3-4)^{2}+(3-(-1))^{2}+(0-12)^{2}}}$
     • $d=r={\sqrt {(-1)^{2}+(4)^{2}+(-12)^{2}}}$
     • $d=r={\sqrt {1+16+144}}$
     • $d=r={\sqrt {161}}$
     • $d=r=\approx {12,69}$. Ceci est le rayon de notre sphère.
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   Soyez toujours attentif. Certes, lors d'un exercice, vous serez toujours tenté(e) d'appliquer à la lettre les formules apprises à la maison… et c'est normal ! Dans le cas d'une sphère définie par des points dans un espace à 3 dimensions, il est un cas particulier qui va modifier la formule de calcul du rayon. C'est celui dans lequel le centre est le point origine $O$ de coordonnées (0,0,0). Vous imaginez bien que cela va avoir une incidence sur la formule qui va se trouver singulièrement simplifiée.

   • La formule brute du rayon $r$ est donc la suivante :
     $r={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}$, mais comme
     $(x_{1},y_{1},z_{1})$ est $(0,0,0)$ quand le centre de la sphère est le point origine, la formule devient alors : $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$, $(x,y,z)$ étant les coordonnées d'un point quelconque de la surface de la sphère.
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Conseils

• Cet article demande une belle capacité à concevoir les choses, à maitriser les formules et l'algèbre. Aussi, si vous êtes quelque peu novice en sphère, il serait sage de travailler dans l'autre sens, à savoir calculer les dimensions (volume, aire) d'une sphère à partir du rayon.
• Rappelez-vous que l'ordre dans lequel les calculs sont effectués est important. Si vous avez des doutes quant aux règles de priorité des calculs et que vous avez une calculatrice scientifique qui permet l'utilisation de parenthèse, assurez-vous de les insérer.
• Cet article vous montre essentiellement comment calculer le rayon à partir d'autres grandeurs d’une sphère. Toutefois, si vous essayez de vous familiariser avec la géométrie dans l’espace, il est sans doute bien meilleur de commencer en sens inverse, c’est-à-dire calculer les propriétés des sphères à partir du rayon.
• Pi (π) est une lettre de l'alphabet grec qui représente le rapport entre le diamètre d'un cercle et sa circonférence. C’est un nombre irrationnel et ne peut donc pas être écrit comme une fraction de nombres réels. Cependant, il existe plusieurs approximations numériques pour représenter cette constante, par exemple l’opération 333/106 donne π à 4 décimales. Aujourd’hui, la plupart des gens utilisent l'approximation de 3,14 qui est d’ailleurs suffisamment précise pour faire de simples calculs.

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