Binaire getallen van elkaar aftrekken

Het aftrekken van binaire getallen verloopt een beetje anders bij decimale getallen, maar door de onderstaande stappen te volgen is het net zo gemakkelijk, of zelfs gemakkelijker.

Methode 1

Methode 1 van 2:

Met behulp van lenen

Pdf downloaden

Schrijf het grotere getal boven het kleinere getal. Als het kleinere getal minder cijfers heeft, lijn beide getallen dan aan de rechterkant uit, zoals je ook zou doen bij een decimaal getal (grondtal tien).
2
Probeer enkele eenvoudige opgaven. Voor sommige binaire getallen geldt dat het aftrekken niet anders verloopt dan bij decimale getallen. Zet de cijfers onder elkaar, begin aan de rechterkant en bepaal de uitkomst voor elk cijfer. Hier zijn een paar eenvoudige voorbeelden:
- 1 - 0 = 1
- 11 - 10 = 1
- 1011 - 10 = 1001
3
Doe nu een gecompliceerder probleem. Je hoeft slechts één speciale 'regel' te weten om elk willekeurige min-som met binaire getallen te kunnen doen. Deze regel vertelt je hoe je van het cijfer links kunt 'lenen', voor het oplossen van een '0 - 1' kolom. Voor de rest van dit deel, nemen we een paar voorbeeldopgaven en lossen deze op met behulp van lenen. Hier volgt de eerste:
- 110 - 101 = ?
4
'Leen' van het tweede cijfer. Vanaf de rechterkolom (de eenheden), moeten we het probleem '0 - 1' oplossen. Hiertoe moeten we 'lenen' van het cijfer links ervan (de tweetallen). Dit gaat in twee stappen:
- Kruis eerst de 1 door en vervang deze door een 0, en je krijgt: 1⁰10 - 101 = ?
- Je hebt 10 afgetrokken van het eerste getal, dus kun je dit 'geleende' getal optellen bij het cijfer in de eenheden: 1⁰1¹⁰0 - 101 = ?
5
Los op voor de kolom uiterst rechts. Nu kan elke kolom als gewoonlijk worden opgelost. Op de volgende manier kun je de kolom uiterst rechts (die van de eenheden) van deze opgave oplossen:
- 1⁰1¹⁰0 - 101 = ?
- De kolom uiterst rechts is nu: ¹⁰ - 1 = 1. Weet je niet hoe je bij dit antwoord moet komen, probeer dan de opgave als decimalen uit te rekenen:
- 10₂ = (1 x 2) + (0 x 1) = 2₁₀. (De _sub getallen geven aan in welk grondtal het getal staat genoteerd.)
- 1₂ = (1x1) = 1₁₀.
- In decimale vorm ziet deze opgave er dus als volgt uit: 2 - 1 = ?, dus is het antwoord 1.
6
Rond de opgave af. De rest van het probleem kan nu eenvoudig worden opgelost. Los het per kolom op, van rechts naar links:
- 1⁰1¹⁰0 - 101 = __1 = _01 = 001 = 1.
7
Probeer een lastiger opgave. Lenen komt veel voor bij binair rekenen, en soms moet je meerdere keren lenen per kolom. Bijvoorbeeld, we lossen het volgende op: 11000 - 111. We kunnen niet 'lenen' van een 0, dus blijven we doorgaan met lenen van het cijfer aan de linkerkant, tot het iets wordt waar we wel van kunnen lenen:
- 1⁰1¹⁰000 - 111 =
- 1⁰1^¹100¹⁰00 - 111 = (remember, 10 - 1 = 1)
- 1⁰1^¹100^¹100¹⁰ 0 - 111 =
- Hier staat het wat korter genoteerd: 1011¹⁰0 - 111 =
- Los per kolom op: _ _ _ _ 1 = _ _ _ 0 1 = _ _ 0 0 1 = _ 0 0 0 1 = 1 0 0 0 1
8
Controleer je antwoord. Er zijn altijd drie manieren om je antwoord te controleren.^[1]XBron Een snelle manier is het invoeren van de opgave in een binaire rekenmachine online. De andere twee methoden zijn nog steeds nuttig, omdat je wellicht je antwoord tijdens een proefwerk met de hand moet controleren, en omdat je erdoor makkelijker leert omgaan met binaire getallen:
- Tel de binaire getallen bij elkaar op om je werk te controleren. Tel het antwoord op bij het kleinere antwoord, en je krijgt als het goed is het grotere getal als resultaat. Met behulp van ons vorige voorbeeld (11000 - 111 = 10001), krijgen we 10001 + 111 = 11000, en dat is het grotere getal waar we mee zijn begonnen.
- Een andere optie is het converteren van elke getal van binair naar decimaal om te zien of het klopt. Met behulp van hetzelfde voorbeeld (11000 - 111 = 10001), kunnen we elk getal omzetten naar een decimaal, waarna we 24 - 7 = 17 als antwoord krijgen. Dit klopt, dus is onze oplossing juist.
Advertentie

Methode 2

Methode 2 van 2:

Met behulp van de complement-methode

Pdf downloaden

1
Lijn de twee getallen uit zoals bij decimaal aftrekken. Deze methode wordt gebruikt door computers voor het aftrekken van binaire getallen, omdat het gebruikmaakt van een efficiënter programma. Voor iemand die gewend is aan het aftrekken van gewone decimale getallen, is dit waarschijnlijk een moeilijker methode om te gebruiken, maar het kan nuttig zijn om te begrijpen voor een programmeur.^[2]XBron
- We gebruiken het volgende voorbeeld: 101 - 11 = ?
2
Plaats er nullen voor, indien nodig, zodat beide getallen hetzelfde aantal cijfers hebben. Bijvoorbeeld, zet 101-11 om naar 101-011 zodat beide getallen drie cijfers hebben.
- 101 - 011 = ?
3
Verwissel de cijfers in de tweede term. Maak van alle nullen enen en van alle enen nullen in de tweede term. In ons voorbeeld wordt de tweede term: ~~011~~ → 100.
- Wat we hier eigenlijk doen is 'het complement nemen van één', of elk cijfer in de term aftrekken van één. Dit is geldig voor binaire getallen, aangezien er slechts twee mogelijkheden uitkomsten zijn bij het omwisselen van de term: 1 - 0 = 1 and 1 - 1 = 0.
Tel één op bij de nieuwe tweede term. Heb je eenmaal de 'omgekeerde' term, tel dan één op bij het resultaat. In ons voorbeeld krijgen we 100 + 1 = 101.
5
Los de nieuwe opgave op als een binaire optelling. Gebruik opteltechnieken voor binaire getallen om de nieuwe term op te tellen bij de oorspronkelijke term, in plaats van aftrekken:
- 101 + 101 = 1010
- Als dit onduidelijk voor je is, lees dan meer over het optellen van binaire getallen.
6
Negeer het eerste cijfer. Bij deze methode eindig je altijd met een antwoord dat een cijfer te lang is. Bijvoorbeeld: we begonnen met getallen van elk drie cijfers (101 + 101), maar zijn geëindigd met een antwoord van vier cijfers (1010). Streep het eerste cijfer door en je krijgt het antwoord op de oorspronkelijke min-som:^[3]XBron
- 1010 = 10
- Aldus: 101 - 011 = 10
- Is erg geen extra cijfer, dan heb je geprobeerd om een groter getal af te trekken van een kleinere. Zie het deel Tips voor het oplossen van dergelijke problemen, en begin opnieuw.
7
Probeer deze methode bij decimalen. Deze methode heet de "2-complement"-methode, omdat de stappen met de 'omgekeerde de cijfers' resulteert in het '1-complement', waarna er 1 bij wordt opgeteld.^[4]XBron Als je beter wilt begrijpen waarom deze methode werkt, probeer het dan eens in het decimale talstelsel (grondtal 10):
- 56 - 17
- Aangezien we decimalen gebruiken, nemen we het 'complement van negen' van de tweede term (17) door elk cijfer van negen af te trekken. 99 - 17 = 82.
- Maak hier een optelsom van: 56 + 82. Als je dit vergelijkt met het oorspronkelijke probleem (56-17), dan zie je dat we 99 hebben toegevoegd.
- 56 + 82 = 138. Maar aangezien onze wijzigingen 99 hebben toegevoegd aan het oorspronkelijke probleem, moeten we 99 aftrekken van het antwoord. Nogmaals, we gebruiken een snellere weg, net als bij de binaire methode hierboven: tel 1 op bij het totale aantal, verwijder vervolgens het cijfer links (dat 100 vertegenwoordigt):
- 138 + 1 = 139 → 139 → 39 Dit is uiteindelijk de oplossing van ons oorspronkelijke probleem, 56-17.
Advertentie

Tips

Om een groter getal af te kunnen trekken van een kleiner getal, wissel je de volgorde van de getallen om, werk je de min-som uit, en voeg je een minteken toe aan het antwoord. Bijvoorbeeld, om de binaire som 11-100 op te lossen, werken we eerst 100-11 uit en voegen daarna een minteken toe aan het antwoord (en deze regel geldt voor aftrekken in elk grondtal, niet alleen bij binaire getallen).
Wiskundig gezien maakt de complement-methode gebruik van de identiteit a - b = a + (2ⁿ - b) - 2ⁿ Wanneer n het aantal cijfers is in b, dan is 2ⁿ - b één meer dan het resultaat van het wegstrepen.

Advertentie