Een derdegraadsvergelijking oplossen

De eerste keer dat je een derdegraadsvergelijking tegenkomt (van de vorm ax³ + bx² + cx + d =0) ziet die er wellicht bijna onoplosbaar uit. Deze methode voor het oplossen van derdegraadsvergelijkingen bestaat echter al eeuwen! In de 16e eeuw is zij ontdekt door de Italiaanse wiskundigen Niccolò Tartaglia en Gerolamo Cardano. Het was een van de eerste formules die niet bekend waren bij de oude Grieken en Romeinen. Het oplossen van derdegraadsvergelijkingen kan heel moeilijk kan zijn, maar met de juiste aanpak (en voldoende basiskennis), kunnen zelfs de lastigste derdegraadsvergelijkingen worden getemd.

Methode 1

Methode 1 van 3:

Het oplossen met de abc-formule

Pdf downloaden

1
Ga na of de derdegraadsvergelijking een constante bevat. Zoals hierboven al aangegeven hebben derdegraadsvergelijkingen de vorm ax³ + bx² + cx + d =0. b, c, en d kunnen 0 zijn zonder dat dit iets wijzigt aan het wel of niet gaat om een derdegraadsvergelijking — dit houdt in wezen in dat een vergelijking niet hoeft te bestaan uit alle termen bx², cx of d om een derdegraadsvergelijking te zijn. Je begint met het toepassen van deze relatief eenvoudige methode voor het oplossen van derdegraadsvergelijkingen door eerst na te gaan of je vergelijking een constante heeft (een d-waarde). Is dit niet het geval, dan kun je de abc-formule gebruiken om met een beetje rekenwerk de antwoorden te vinden van de vergelijking.
- Bevat de vergelijking wel een constante, dan zal je een andere methode moeten gebruiken. Zie hieronder voor alternatieve benaderingen.
2
Ontbind een x uit de vergelijking. Omdat je vergelijking geen constant bevat, heeft elke term in de vergelijking een x-variabele. Dit betekent dat een x ontbonden kan worden uit de vergelijking om deze te vereenvoudigen. Doe dit en herschrijf je vergelijking in de vorm x(ax² + bx + c).
- Bijvoorbeeld, stel je hebt de vergelijking 3x³ + -2x² + 14x=0. Door een x buiten haakjes te plaatsen, krijgen we x(3x² + -2x + 14)=0.
3
Gebruik de abc-formule om de termen tussen haakjes op te lossen. Wellicht heb je opgemerkt dat de termen van je nieuwe vergelijking tussen haakjes, de vorm heeft van een tweedegraadsvergelijking (ax² + bx + c). Dit betekent dat we de waarden waarvoor de tweedegraadsvergelijking gelijk is aan nul, kunnen vinden door a, b en c in de abc-formule in te vullen ({-b +/-√ (b²- 4ac)}/2a). Hiermee vind je twee van de antwoorden van je derdegraadsvergelijking.
- In onze voorbeeldopgave vullen we onze waarden voor a, b en c (respectievelijk 3, -2 en 14) als volgt in de tweedegraadsvergelijking in:
  {-b +/-√ (b²- 4ac)}/2a
  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)
  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6
  {2 +/-√ (4 - (168)}/6
  {2 +/-√ (-164)}/6
- Antwoord 1:
  {2 + √(-164)}/6
  {2 + 12.8i}/6
- Antwoord 2:
  {2 - 12.8i}/6
4
Gebruik nul en de kwadratische antwoorden als antwoorden op je derdegraadsvergelijking. Tweedegraadsvergelijkingen hebben twee oplossingen, maar derdegraadsvergelijkingen hebben er drie. Je hebt er nu al twee — dit zijn de antwoorden die je hebt gevonden door het uitwerken van de 'kwadratische vergelijking' tussen de haakjes. In die gevallen waarbij een vergelijking geschikt is voor dit 'buiten haakjes plaatsen', zal het derde antwoord altijd 0 zijn. Gefeliciteerd — je hebt zojuist een derdegraadsvergelijking opgelost.
- De reden dat dit werkt heeft te maken met het fundamentele feit dat elk getal vermenigvuldigd met nul gelijk is aan nul. Wanneer je de vergelijking omzet naar de vorm x(ax² + bx + c)=0, deel je in wezen de twee op in delen: het ene deel is de x-variabele buiten haakjes en het ander is het kwadraat binnen haakjes. Als een van deze delen gelijk is aan nul, dan geldt dat voor de hele vergelijking. Dus als de twee antwoorden op het kwadraat binnen de haakjes dat deel nul maken, dan zullen de antwoorden op de derdegraadsvergelijking het deel buiten haakjes ook gelijk maken aan nul.
Advertentie

Methode 2

Methode 2 van 3:

Het oplossen met behulp van lijsten van factoren

Pdf downloaden

1
Verzeker je ervan dat je derdegraadsvergelijking een constante heeft. Hoewel de bovenstaande methode handig is omdat je er geen nieuwe wiskundige vaardigheden voor hoeft te leren, zal het niet altijd werken om derdegraadsvergelijkingen op te lossen. Indien je vergelijking in de vorm ax³ + bx² + cx + d =0 staat, en d is ongelijk aan nul, dan zal het buiten haakjes plaatsen niet gaan werken, en heb je of deze methode nodig, of die in het volgende deel.
- Stel, je hebt bijvoorbeeld de gegeven vergelijking 2x³ + 9x² + 13x=-6. In dit geval zal een 0 aan de rechterzijde van het isgelijkteken vereisen dat er 6 aan beide zijden moet worden opgeteld. Onze nieuwe vergelijking is 2x³ + 9x² + 13x + 6=0, d=6, dus kunnen we het buiten haakjes brengen uit het vorige deel niet gebruiken.
2
Bepaal de factoren van a en d. Om de derdegraadsvergelijking op te lossen begin je met het bepalen van de factoren van a (de coëfficiënt van de x³ term) en d (de constante aan het eind van de vergelijking). Ter herinnering, factoren zijn die getallen die met elkaar vermenigvuldigd een ander getal vormen. Bijvoorbeeld, omdat je 6 ontstaat uit de vermenigvuldiging 6 &time; 1 en 2 × 3, zijn 1, 2, 3 en 6 factoren van 6.
- In onze voorbeeldopgave geldt a=2 en d=6. De factoren van 2 zijn 1 en 2. De factoren van 6 zijn 1, 2, 3 en 6.
3
Deel de factoren van a door de factoren van d. Nu maak je een lijst met alle waarden die je krijgt door het delen van elke factor a door elke factor d. Dit resulteert meestal in veel breuken en een paar gehele getallen. De oplossingen in gehele getallen van je derdegraadsvergelijking zal of een van de gehele getallen zijn uit de lijst, of het negatieve getal van een van deze getallen.
- In onze vergelijking bereken je de factoren van a (1, 2) over de factoren van d (1, 2, 3, 6) en krijg je de volgende lijst: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 en 2/3. Nu voegen we de negatieve getallen toe aan de lijst om deze compleet te maken: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 en -2/3. Het gehele getal van de oplossing van onze derdegraadsvergelijking is ergens te vinden in deze lijst.
4
Gebruik synthetisch delen om je antwoorden handmatig te controleren. Zodra je de lijst met waarden hebt samengesteld kun je de oplossingen van je derdegraadsvergelijking die bestaan uit gehele getallen vinden, door snel handmatig elk gehele getal in te voeren in en na te gaan welke gelijk zijn aan nul. Als je hier geen tijd aan wilt besteden, dan is er echter een iets snellere methode volgens een techniek genaamd synthetisch delen. De kern is dat je gehele getallen deelt door de originele a, b, c en d coëfficiënten van je derdegraadsvergelijking. Houd je een rest 0 over, dan is je waarde een van de oplossingen van de derdegraadsvergelijking.
- Synthetisch delen is een complex onderwerp — volg de bovengenoemde link voor meer informatie. Hier volgt een voorbeeld hoe je een van de oplossingen kunt vinden van onze derdegraadsvergelijking met behulp van synthetisch delen:
  -1 | 2 9 13 6
  __| -2-7-6
  __| 2 7 6 0
  Omdat we uiteindelijk een 0 als rest overhouden, weten we dat een van de oplossingen van onze derdegraadsvergelijking het gehele getal -1 is.
Advertentie

Methode 3

Methode 3 van 3:

Met behulp van de 'discriminant'

Pdf downloaden

1
Schrijf de waarden uit van a, b, c en d. Bij deze methode voor het vinden van een de oplossingen van een derdegraadsvergelijking zullen we zwaar leunen op de coëfficiënten van de termen in onze vergelijking. Om deze reden is het verstandig om de termen a, b, c en d op te schrijven voordat je begint, zodat je niet vergeet wat elke is.
- Bijvoorbeeld, voor de vergelijking x³ - 3x² + 3x - 1, schrijven we a=1, b=-3, c=3 en d=-1. Vergeet niet dat van een x-variabele zonder coëfficiënt aangenomen wordt dat de coëfficiënt gelijk is aan 1.
2
Bereken Δ0=b² - 3ac. Wanneer je de discriminant gebruikt voor het oplossen van een derdegraadsvergelijking, dan heb je wat meer gevorderde wiskunde nodig, maar als je de procedure zorgvuldig volgt, zal je merken dat het een waardevol instrument is voor het oplossen van die toch al lastige derdegraadsvergelijkingen. Begin met het bepalen van Δ0, de eerste van diverse belangrijke waarden die we nodig hebben, door het substitueren van de juiste waarden in de formule b² - 3ac.
- In onze voorbeeldopgave, lossen we dit als volgt op:
  b² - 3ac
  (-3)² - 3(1)(3)
  9 - 3(1)(3)
  9 - 9=0=Δ0
3
Bereken Δ1=2b³ - 9abc + 27a²d. De volgende belangrijke kwantiteit die we nodig hebben, Δ1, vereist wat meer werk, maar is op ongeveer dezelfde manier te vinden als Δ0. Subtitueer de juiste waarden in de formule 2b³ - 9abc + 27a²d voor de waarde van Δ1.
- In onze voorbeeldopgave, lossen we dit als volgt op:
  2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)
  2(-27) - 9(-9) + 27(-1)
  -54 + 81 - 27
  81 - 81=0=Δ1
4
Bereken Δ=Δ1² - 4Δ0³) ÷ -27a². Vervolgens berekenen we de discriminant van de derdegraadsvergelijking uit de waarden voor Δ0 en Δ1. Een discriminant is simpelweg een getal dat ons iets vertelt over de antwoorden van een polynoom (onbewust ken je wellicht al de kwadratische discriminant: b² - 4ac). In het geval van de derdegraadsvergelijking geldt dat als de discriminant positief is, dat de vergelijking dan drie reële oplossingen heeft. Is de discriminant nul, dan heeft de vergelijking één of twee reële oplossingen, en sommige van die oplossingen worden gedeeld. Is het negatief, dan heeft de vergelijking slechts één oplossing. (Een derdegraadsvergelijking heeft altijd één reële oplossing, omdat de grafiek altijd ten minste één keer met de x-as snijdt.)
- In onze voorbeeldopgave is het bepalen van Δ heel eenvoudig, omdat zowel Δ0 als Δ1=0. We lossen dit als volgt op:
  Δ1² - 4Δ0³) ÷ -27a²
  (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²
  0 - 0 ÷ 27
  0=Δ, dus heeft onze vergelijking 1 of 2 antwoorden.
5
Bereken C=³√(√((Δ1² - 4Δ0³) + Δ1)/ 2). De laatste belangrijke waarde die we moeten bereken is C. Met deze belangrijke kwantiteit kunnen we eindelijk de drie oplossingen vinden. Los dit als gewoonlijk op, Δ1 en Δ0 substituerend waar nodig.
- In onze voorbeeldopgave, vinden we C als volgt:
  ³√(√((Δ1² - 4Δ0³) + Δ1)/ 2)
  ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)
  ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)
  0=C
6
Bereken de drie antwoorden met je variabelen. De antwoorden op je derdegraadsvergelijking worden gegeven door de formule (b + uⁿC + (Δ0/uⁿC)) / 3a, waarbij u=(-1 + √(-3))/2 en n is 1, 2, of 3. Vul je waarden waar nodig in om dit op te lossen — dit vereist veel rekenwerk, maar als het goed is krijg je er drie mogelijke antwoorden uit!
- In onze voorbeeldopgave kunnen we dit oplossen door het antwoord te controleren wanneer n gelijk is aan 1, 2, of 3. De antwoorden die we uit deze tests halen, zijn de mogelijke antwoorden op onze derdegraadsvergelijking — elke oplossing waarbij er 0 als antwoord wordt verkregen na substitutie in de vergelijking is juist. Bijvoorbeeld, stel we krijgen 1 als antwoord op een van de tests, omdat het invoeren van 1 in x³ - 3x² + 3x - 1 resulteert in 0 als antwoord, dan is 1 één van de antwoorden op onze derdegraadsvergelijking.
Advertentie