Binärzahlen subtrahieren

Das Subtrahieren von Binärzahlen ist ein bisschen anders als das Subtrahieren von Dezimalzahlen, aber mit folgender Anleitung kann es genauso einfach sein.

Methode 1

Methode 1 von 2:

Mit der Borgen-Methode

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Schreibe die größere Zahl über die kleinere Zahl. Wenn die kleinere Zahl weniger Stellen hat, richte sie nach der rechten Seite aus, wie du es bei einer Subtraktions-Aufgabe mit Dezimalzahlen (Basis zehn) machen würdest.
2
Versuche es mit ein paar einfachen Aufgaben. Einige binäre Subtraktions-Aufgabe sind nicht anders als Subtraktionen zur Basis zehn. Richte die Spalten aus und bestimme, von rechts anfangend, das Ergebnis für jede Ziffer. Hier sind ein paar einfache Beispiele:
- 1 - 0 = 1
- 11 - 10 = 1
- 1011 - 10 = 1001
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Eine etwas kompliziertere Aufgabe. Du musst nur eine spezielle "Regel" kennen, um jede binäre Subtraktions-Aufgabe lösen zu können. Diese Regel gibt an, wie du von der Stelle links von dir "borgen" kannst, so dass du eine "0 - 1"-Spalte berechnen kannst. Für den Rest dieses Abschnitts schauen wir uns ein paar Beispiel-Aufgaben an und lösen sie mit der Methode des Borgens. Hier ist die erste:
- 110 - 101 = ?
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"Borge" von der zweiten Stelle. Wir starten mit der rechten Spalte (der Einerstelle) und müssen "0 - 1" berechnen. Damit wir das tun können, müssen wir von der Stelle weiter links (der Zweierstelle) "borgen". Wir machen es in zwei Schritten:
- Streiche zuerst die 1 durch und ersetze sie durch eine 0, um folgendes zu erhalten: 1⁰10 - 101 = ?
- Wir haben 10 von der ersten Zahl subtrahiert, deshalb können wir die "geborgte" Zahl zur Einerstelle hinzufügen: 1⁰1¹⁰0 - 101 = ?
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Berechne die Spalte ganz rechts. Wir können jetzt jede Spalte wie üblich berechnen. Hier siehst du, wie wir die rechte Spalte (die Einerstelle) in dieser Aufgabe berechnen:
- 1⁰1¹⁰0 - 101 = ?
- Die rechte Spalte sieht nun folgendermaßen aus: ¹⁰ - 1 = 1. Wenn du nicht herausfinden kannst, wie man zu diesem Ergebnis kommt, dann siehst du hier, wie die Aufgabe wieder in das Dezimalsystem verwandelt wird:
- 10₂ = (1 x 2) + (0 x 1) = 2₁₀. Die _sub-Zahlen geben an, in welchem Basissystem die Zahlen stehen.
- 1₂ = (1x1) = 1₁₀.
- Deshalb ist die Aufgabe im Dezimalsystem 2 - 1 = ?, und das Ergebnis ist 1.
6
Beende die Aufgabe. Der Rest der Aufgabe kann nun leicht gelöst werden. Löse sie spaltenweise, fange ganz rechts an und arbeite dich nach links vor:
- 1⁰1¹⁰0 - 101 = __1 = _01 = 001 = 1.
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Versuche eine schwierigere Aufgabe. Das Borgen kommt oft vor bei binärer Subtraktion, und manchmal musst du mehrmals borgen, nur um eine Spalte zu berechnen. Hier siehst zum Beispiel wie man 11000 - 111 berechnet. Wir können nicht von einer 0 "borgen", also müssen wir immer weiter nach links gehen, bis wir etwas finden, von dem wir etwas borgen können:
- 1⁰1¹⁰000 - 111 =
- 1⁰1^¹100¹⁰00 - 111 = (Erinnerung: 10 - 1 = 1)
- 1⁰1^¹100^¹100¹⁰ 0 - 111 =
- Hier ist es etwas ordentlicher geschrieben: 1011¹⁰0 - 111 =
- Berechne es spaltenweise: _ _ _ _ 1 = _ _ _ 0 1 = _ _ 0 0 1 = _ 0 0 0 1 = 1 0 0 0 1
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Überprüfe dein Ergebnis. Es gibt drei Möglichkeiten, wie du dein Ergebnis überprüfen kannst.^{[1]XForschungsquelle} Eine schnelle Möglichkeit ist, einen Binär-Taschenrechner online zu finden und die Aufgabe dort einzugeben. Die beiden anderen Methoden sind immer noch nützlich, da du eventuell dein Ergebnis in einem Test nicht mit dem Computer überprüfen kannst, und du wirst dadurch vertrauter mit binären Zahlen:
- Addiere im Binärsystem, um dein Ergebnis zu überprüfen. Addiere dein Ergebnis zur kleineren Zahl, und du solltest die größere Zahl erhalten. In unserem letzten Beispiel (11000 - 111 = 10001) haben wir 10001 + 111 = 11000, und das ist die größere Zahl, mit der wir begonnen haben.
- Alternativ kannst du jede Zahl vom Binär- in das Dezimalsystem umwandeln und sehen, ob alles stimmt. In dem selben Beispiel (11000 - 111 = 10001) können wir jede Zahl in das Dezimalsystem umwandeln und erhalten 24 - 7 = 17. Das ist wahr, also ist unsere Lösung korrekt.
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Methode 2

Methode 2 von 2:

Mit der Komplement-Methode

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1
Schreibe die Zahlen wie bei einer Dezimal-Subtraktions-Aufgabe hin. Diese Methode wird von Computern verwendet, um binäre Zahlen zu subtrahieren, da sie ein effizienteres Programm benutzt. Für einen Menschen, der an die üblichen Dezimal-Subtraktions-Aufgaben gewöhnt ist, ist dies wahrscheinlich die schwierigere Methode, aber es könnte nützlich für Programmierer sein, sie zu verstehen.^{[2]XForschungsquelle}
- Wir betrachten das Beispiel 101 - 11 = ?
2
Füge führende Nullen an, wenn nötig, so dass beide Zahlen die gleiche Anzahl von Stellen haben. Wir schreiben zum Beispiel 101-11 als 101-011, so dass beide drei Stellen haben.
- 101 - 011 = ?
3
Konvertiere alle Ziffern in der zweiten Zahl. Mache alle 0en zu 1en und alle 1en zu 0en in der zweiten Zahl. In unserem Beispiel wird die zweite Zahl zu: ~~011~~ → 100.
- Was wir tatsächlich tun, ist das "Einerkomplement" zu nehmen oder jede Stelle in der Zahl von 1 zu subtrahieren. Die Abkürzung durch das "Umdrehen" funktioniert im Binärsystem, da es nur die zwei Möglichkeiten des Umdrehens gibt: 1 - 0 = 1 und 1 - 1 = 0.
Sobald wir die "umgekehrte" Zahl haben, addieren wir 1 zu dem Ergebnis. In unserem Beispiel erhalten wir 100 + 1 = 101.
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Löse die neue Aufgabe als binäre Additions-Aufgabe. Verwende binäre Additionsmethoden, um die neue Zahl zur ursprünglichen Zahl zu addieren, statt sie zu subtrahieren:
- 101 + 101 = 1010
- Wenn du dies nicht verstehst, wiederhole, wie man Binärzahlen addiert.
6
Entferne die erste Ziffer. Bei dieser Methode sollte immer am Ende ein Ergebnis stehen, das eine Stelle zu lang ist. Zum Beispiel habe wir in unserer Beispiel-Aufgabe dreistellige Zahlen (101 + 101), aber wir haben am Ende eine vierstellige Lösung (1010). Streiche einfach die erste Stelle durch, und wir haben die Lösung für die ursprüngliche Subtraktions-Aufgabe:^{[3]XForschungsquelle}
- 1010 = 10
- Deshalb gilt 101 - 011 = 10
- Wenn du keine zusätzliche Ziffer hast, hast du versucht, eine größere Zahl von einer kleineren zu subtrahieren. Lies in dem Abschnitt Tipps, wie man solche Aufgaben löst, und fange nochmals an.
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Versuche es mit dieser Methode im Dezimalsystem. Diese Methode heißt "Zweierkomplement"-Methode, denn durch das "Umdrehen der Ziffern" erhält man das "Einerkomplement", und dann wird die Zahl 1 addiert.^{[4]XForschungsquelle} Wenn du ein intuitiveres Verständnis möchtest, warum diese Methode funktioniert, versuche es im Dezimalsystem:
- 56 - 17
- Da wir die Basis zehn benutzen, nehmen wir das "Neunerkomplement" der zweiten Zahl (17), indem wir jede Ziffer von neun subtrahieren. 99 - 17 = 82.
- Schreibe es als Addition: 56 + 82. Wenn du sie mit der ursprünglichen Aufgabe vergleichst (56 - 17), dann siehst du, dass wir 99 dazu addiert haben.
- 56+82=138. Aber da wir durch unsere Änderungen 99 zu der Original-Aufgabe addiert haben, müssen wir wieder 99 vom Ergebnis subtrahieren. Wir benutzen wieder eine Abkürzung, genau wie bei der binären Methode oben: Wir addieren 1 zum Ergebnis, und entfernen dann die linke Ziffer (die 100 repräsentiert):
- 138 + 1 = 139 → 139 → 39 Dies ist nun die endgültige Lösung für unsere ursprüngliche Aufgabe 56-17.
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Tipps

Mathematisch betrachtet, nutzt die Komplement-Methode die Gleichung a - b = a + (2ⁿ - b) - 2ⁿ aus. Wenn n die Anzahl der Stellen von b ist, dann ist 2ⁿ - b um eins größer als das Ergebnis des Negierens.
Um eine größere Zahl von einer kleineren zu subtrahieren, drehe die Reihenfolge der Zahlen herum, führe die Subtraktion durch, und schreibe ein negatives Vorzeichen vor das Ergebnis. Um zum Beispiel die binäre Aufgabe 11 - 100 zu lösen, berechne 100 - 11 stattdessen, und schreibe ein negatives Vorzeichen vor das Ergebnis (Das gilt für eine Subtraktion in einer beliebigen Basis, nicht nur für das Binärsystem).

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