कैसे पाई (π) कैलकुलेट करें (Calculate Pi)

पाइ (Pi) (π) गणित की अतिमहत्वपूर्ण और आकर्षक संख्याओं में से एक है। मोटे तौर पर 3.14, यह एक स्थिर अंक है जिसका उपयोग उस वृत्त के रेडियस या डायमीटर के आधार पर सर्किल की परिधि की गणना करने के लिए किया जाता है।^{[१]Xरिसर्च सोर्स} यह एक अतार्किक संख्या भी है जिसकी गणना कभी भी दोहराए जाने वाले पैटर्न से बिना फिसले डेसिमल स्थानों की इनफ़ाइनाइट संख्या तक की जा सकती है।^{[२]Xरिसर्च सोर्स} यह इसको मुश्किल बनाता है, लेकिन सटीक गणना करने के लिए असंभव नहीं।

विधि 1

विधि 1 का 5:

सर्किल का मेज़रमेंट यूज़ कर पाइ कैलकुलेट करना

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सुनिश्चित करिए कि आप एक सम्पूर्ण सर्किल का उपयोग कर रहे हैं: यह विधि वास्तविक सर्किल को छोड़कर किसी एलिप्सेस, अंडाकार या किसी अन्य चीज़ पर काम नहीं करेगी। एक सर्किल को परिभाषित किया जाता है जैसे विमान पर सभी बिन्दु एकल केंद्रीय बिन्दु से बराबर दूरी पर हैं। जारों के ढक्कन इस अभ्यास को करने के लिए अच्छी घरेलू वस्तुएँ हैं। आपको मोटे तौर पर पाइ (Pi) की गणना कर लेनी चाहिए क्योंकि पाइ (Pi) के एकदम सही परिणाम पाने के लिए आपको एक बहुत पतली पेंसिल की आवश्यकता होगी (या आप जो भी इस्तेमाल कर रहे हैं)। यहाँ तक कि सबसे तेज़ पेंसिल ग्रैफ़ाइट भी सही परिणामों को पाने के लिए बहुत बड़ी हो सकती है।
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सर्किल की परिधि को आप उतना सही नापें जितना आप कर सकते हैं: परिधि वह लंबाई है जो सर्किल के पूरे किनारे तक जाती है। चूंकि परिधि गोल होती है, इसे नापना कठिन हो सकता है। (इसीलिए पाइ (Pi) का इतना महत्व है।
- जितना नज़दीक संभव हो उतना सर्किल पर एक स्ट्रिंग डालें। जहां सर्किल पर वह घूमकर आ जाता है वहाँ पर स्ट्रिंग काट दें, और फिर स्ट्रिंग की लंबाई को पैमाने से नापें।
डायमीटर सर्किल के केंद्र बिन्दु से सर्किल के एक तरफ़ से दूसरी ओर जाता है।
फ़ोर्मुले से सर्किल की परिधि का पता चलता है C= π*d = 2*π*r इस तरह पाइ (Pi) डायमीटर से भाग देने पर सर्किल की परिधि की बराबरी करती है। अपनी संख्याओं को एक कैलकुलेटर पर चढ़ाएँ: मोटे तौर पर परिणाम होगा 3.14।^{[३]Xरिसर्च सोर्स}
इस प्रक्रिया को अनेक भिन्न सर्किलों पर दोहराएँ, और फिर परिणामों का औसत निकालें: यह आपको अधिक सही परिणाम देगा। आपकी पैमाइश किसी दिये गए सर्किल की सही नहीं हो सकती है, लेकिन अधिक समय के बाद वे पाइ का लगभग सही औसत देंगे।

विधि 2

विधि 2 का 5:

इनफ़ाइनाइट सेरीज़ का प्रयोग करते हुए पाइ की गणना करना

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ग्रेगरी-लेबिनीज़ सेरीज़ का प्रयोग करें: गणितज्ञों ने अनेक भिन्न गणितीय सेरीज़ पाई हैं, जिनका यदि विशाल रूप से प्रयोग किया जाता है, तो वे पाइ की बड़ी संख्या में डेसिमल स्थानों की सही गणना करेगा। इनमें से कुछ इतने जटिल हैं कि उनको प्रोसेस करने के लिए सुपरकंप्यूटर्स की आवश्यकता है। इनमें से सबसे आसान, हालांकि, ग्रेगरी-लेबिनीज़ सेरीज़ है। जबकि बहुत कार्यसाधक नहीं है, यह हर पुनरावृत्ति के बाद पाइ के और तथा और पास पहुँचती जाएगी, 500,000 पुनरावृत्तियों के साथ यह पाइ को पाँच डेसिमल स्थानों पर सटीक रूप से पेश करेगा।^{[४]Xरिसर्च सोर्स} Here is the formula to apply.
- π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) ...
- 4 को लें और फिर 3 से भाग देकर 4 को घटाएँ। फिर 4 जोड़कर 5 से भाग दें। फिर 4 घटाकर 7 से भाग दें। न्यूमरेटर 4 का और डिनामनेटर हर अनुवर्ती विषम संख्या का बारी-बारी से जोड़ना और घटाना जारी रखें। जितनी बार आप यह करेंगे, उतना ही आप पाइ (π) के पास पहुंचेंगे।
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नीलकंठ सेरीज़ पर कोशिश करें: पाइ (π) की गणना के लिए यह एक अन्य इनफ़ाइनाइट सेरीज़ है जो समझने में काफी आसान है। जबकि कुछ अधिक जटिल है, यह लेबिनीज़ फॉरमुला से अधिक तेज़ पाइ (π) पर झुकती है। ^{[५]Xरिसर्च सोर्स}
- π = 3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) + 4/(10*11*12) - 4/(12*13*14) ...
- इस फॉरमुले के लिए, तीन को लें, और 4 के न्यूमरेटर्स से बारी-बारी से फ्रैक्शन्स को जोड़ें और घटाएँ और डिनामनेटर्स जो तीन निरंतर पूर्णांकों के परिणाम हैं और वे हर नई आवृत्ति के साथ बढ़ते हैं। हर अनुवर्ती फ्रैक्शन अपने पूर्णांक के सेट को पूर्ववर्ती फ्रैक्शन में सबसे अधिक प्रयुक्त पूर्णांक से आरंभ करता है। इसको कुछ बार तक जारी रखें और परिणाम पाइ के नजदीक होंगे।

विधि 3

विधि 3 का 5:

बुफ़न की नीडिल प्राब्लम का प्रयोग करते हुए पाइ की गणना

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हॉटडॉग फेंककर पाइ की गणना करने के लिए इस प्रयोग का प्रयास करें: पाइ (π), यह पता चलता है, इसका स्थान रोचक थॉट एक्सपरिमेंट में भी है जिसे बुफ़न की नीडिल प्राब्लम कहते हैं।^{[६]Xरिसर्च सोर्स} जो यह संभावना सुनिश्चित करने की कोशिश करता है कि एकाएक एक समान उछाली गई वस्तुएँ भूमि पर बीच में गिरेंगी या समानान्तर लाइनों की श्रंखलाओं को पार करती हुई भूमि पर आएंगी। यह पता चलता है कि यदि उछाले गए सामानों की लंबाई और लाइनों के बीच दूरी समान है, जितनी बार चीज़ें लाइनों के पार फेंकी जाएंगी और भूमि पर आएंगी इसका उपयोग पाइ की गणना के लिए किया जा सकता है। ऊपर दिये गए WikiHow आर्टिकिल लिंक को मनोरंजन के विश्लेषण के लिए फेंके हुए खाने से प्रयोग करें।
- वैज्ञानिकों और गणितज्ञों ने पाइ की सटीक गणना का तरीक़ा नहीं निकाला है, क्योंकि उनको अभी तक इतनी बारीक सामग्री नहीं मिली है जो एकदम सही गणना कर सके।^{[७]Xरिसर्च सोर्स}

विधि 4

विधि 4 का 5:

सीमा निर्धारित करके पाइ की गणना करना

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जितना बड़ा नंबर होगा, उतनी ही सही आपकी गणना होगी।
अपना नंबर प्लग करें, जिसे हम x कहेंगे, इस फॉरमुला में पाइ की गणना के लिए: x * साइन(180 / x)। इस पर काम करने के लिए, सुनिश्चित करें कि आपका कैलकुलेटर डिग्रीज़ पर सेट है। यही कारण है कि इसे एक लिमिट कहा जाता है क्योंकि इसका परिणाम पाइ तक लिमिटेड (limited) है।

विधि 5

विधि 5 का 5:

आर्कसिन फ़ंक्शन/ उल्टे साइन फ़ंक्शन का उपयोग करना

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ऐसा इसलिए है कि आर्कसिन फ़ंक्शन 1 से अधिक -1 से कम या तर्क के लिए अपरिभाषित है।
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अपने नंबर को निम्नलिखित फार्मूला में प्लग करें, और परिणाम मोटे तौर पर पाइ के बराबर होगा।
- पाइ = 2 * (Arcsin(sqrt(1 - x^2)) + एब्स (Arcsin(x)))
  - Arcsin रेडियन्स में इन्वर्स साइन को संदर्भित करता है
  - Sqrt स्क्वेर रूट का शार्ट्फॉर्म है
  - Abs ऐब्सलूट वैल्यू का शार्ट्फॉर्म है
  - x^2 एक्स्पोनन्ट को संदर्भित करता है, इस मामले में, x स्क्वेर्ड है।

सलाह

पाइ की गणना करना रोचक और चुनौतीपूर्ण हो सकता है, लेकिन इसको बहुत गहराई से करना कम फ़ायदा देनेवाला है। ऐस्ट्रोफिज़िसिस्ट कहते हैं कि उन्हें ब्रह्माण्ड संबंधी गणनाओं के लिए केवल 39 डेसिमल स्थानों पर पाइ के प्रयोग की आवश्यकता होती है जो एक एटम के आकार के बराबर सही होते हैं।