Pi berekenen

Pi (π) is één van de belangrijkste en meest fascinerende getallen in de wiskunde. Eenvoudig weergegeven als 3.14, wordt als constante gebruikt voor het berekenen van de omtrek van een cirkel, met behulp van de straal of diameter. Het is ook een irrationaal getal, wat inhoudt dat je het tot een oneindig aantal decimalen kunt berekenen, zonder dat je ooit een herhalend patroon tegen zult komen. Dit maakt het moeilijk, maar niet onmogelijk, om er nauwkeurig mee te werken.

Methode 1

Methode 1 van 5:

Pi berekenen met behulp van een cirkel

Pdf downloaden

Deze methode werkt niet met een ellips, ovaal of wat dan ook, behalve dan een echte cirkel. Een cirkel wordt gedefinieerd als alle punten in een plat vlak die op gelijke afstand van een bepaald centraal punt liggen. Deksels van bijvoorbeeld een jampot is een mooi hulpmiddel om te gebruiken voor deze oefening. Je kunt hiermee ruwweg een waarde van Pi uitrekenen. Zelfs het dunste, scherpste potlood is nog enorm vergeleken met de nauwkeurigheid die vereist is voor een exacte berekening van het getal Pi.
2
Meet de omtrek van de cirkel zo nauwkeurig als je kunt. De omtrek is de lengte van de volledige omtrek van de cirkel. Omdat dit de rondte in gaat, kan het wat lastig zijn om te meten (dat is waarom Pi zo belangrijk is).
- Leg een draad langs de omtrek, zo precies als mogelijk. Markeer het draad wanneer de cirkel rond is, en meet vervolgens de lengte van de draad met een liniaal.
De diameter is de lengte van de doorsnede van een cirkel, door het midden van de cirkel.
De omtrek van een cirkel is te vinden met de formule C=π*d=2*π*r. Dus pi is gelijk aan de omtrek van de cirkel, gedeeld door de diameter. Voer je getallen in een rekenmachine in: het resultaat zou ongeveer 3.14 moeten zijn.^[1]XBron
Voor een meer accuraat resultaat herhaal je dit proces voor verschillende cirkels, en neem je vervolgens het gemiddelde van de resultaten. Je meetwaarden zijn misschien niet perfect als het gaat om een individuele meting, maar na verloop van tijd zou het gemiddelde een hele aardige benadering van Pi moeten zijn.
Advertentie

Methode 2

Methode 2 van 5:

Pi berekenen met behulp van oneindige reeksen

Pdf downloaden

1
Maak gebruik van de Gregory-Leibniz reeksen. Wiskundigen hebben verscheidene wiskundige reeksen gevonden die, indien tot in het oneindige gevolgd, Pi kunnen berekenen tot een enorm aantal cijfers achter de komma. Sommige van deze reeksen zijn zo complex dat er supercomputers voor nodig zijn om ze te verwerken. Een van de eenvoudigste is evenwel de Gregory-Leibniz reeks. Misschien niet erg efficiënt, maar het levert wel met elke iteratie een nauwkeuriger getal op voor pi, en komt uiteindelijk uit op 5 cijfers achter de komma na 500.000 iteraties.^[2]XBron Hier is de formule om te gebruiken.
- π=(4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) ...
- Neem 4 en trek hier 4 gedeeld door 3 van af. Tel er vervolgens 4 gedeeld door 5 bij op. Trek er daarna weer 4 gedeeld door 7 van af. Blijf dit patroon herhalen met een teller 4 en een opeenvolgend oneven getal in de noemer. Hoe vaker je dit doet, des te dichter je in de buurt van pi komt.
2
Maak gebruik van de Nilakantha-reeksen. Dit is een andere oneindige reeks waarmee je pi kunt berekenen en die niet moeilijk is om te begrijpen. Hoewel wat gecompliceerder, kun je er veel sneller pi mee berekenen dan met de Leibniz formule.
- π=3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) + 4/(10*11*12) - 4/(12*13*14) ...
- Deze formule pas je toe door eerst 2 te nemen en daarna afwisselend breuken bij elkaar optelt en aftrekt, met als teller 4 en als noemer het product van 3 opeenvolgende gehele getallen die toenemen met elke nieuwe iteratie. Elke opeenvolgende breuk begint met een reeks gehele getallen waarbij het eerste getal van de reeks het laatste getal is van de vorige reeks (in de vorige breuk). Ook al doe je dit slechts een paar keer, dan kom je al snel in de buurt van pi.
Advertentie

Methode 3

Methode 3 van 5:

Het berekenen van Pi met behulp van Buffon's Naaldprobleem

Pdf downloaden

1
Probeer het volgende experiment om pi te berekenen door het gooien met hotdogs. Pi neemt ook een plaats in bij het gedachtenexperiment onder de naam Buffon's Naaldprobleem, wat de waarschijnlijkheid probeert te bepalen dat willekeurig geworpen, gelijkvormige objecten, terecht zullen komen tussen of op een reeks parallelle lijnen op de vloer. Het blijkt dat als de afstand tussen de lijnen gelijk is aan de lengte van de geworpen objecten, het aantal malen dat de objecten na vele malen gooien op een lijn terecht komen, gebruikt kan worden om pi te berekenen.
- Wetenschappers en wiskundigen hebben nog niet een mogelijkheid ontdekt om pi exact te berekenen, omdat ze nog geen materiaal hebben gevonden dat zo dun is dat je er exacte berekeningen mee uit kunt voeren.^[3]XBron

Methode 4

Methode 4 van 5:

Pi berekenen met een limiet

Pdf downloaden

Hoe groter het getal, hoe nauwkeuriger je berekening zal zijn.
x *sin (180 / x). Om dit te laten werken, moet je ervoor zorgen dat je rekenmachine is ingesteld op graden. De reden dat dit een limiet wordt genoemd, is dat het resultaat ervan 'beperkt' is tot pi. Naarmate je je getal x verhoogt, komt het resultaat steeds dichter bij de waarde van pi.
Advertentie

Methode 5

Methode 5 van 5:

Arcsinus- en inverse sinusfunctie

Pdf downloaden

Dit omdat de arcsinus niet is gedefinieerd voor getallen groter dan 1 of kleiner dan -1.
2
Gebruik het getal in de volgende formule en het resultaat is ruwweg gelijk aan pi.
- pi=2 *(Arcsin(sqrt(1 - x^2))) + abs(Arcsin(x)).
  - Arcsin verwijst naar een inverse sinus in radialen
  - Sqrt is een afkorting voor de tweedemachtswortel van
  - Abs is een afkorting voor absolute waarde
  - x^2 is een bepaalde macht, in dit geval x in het kwadraat.
Advertentie

Tips

Het berekenen van pi is leuk en uitdagend, maar als je teveel cijfers achter de komma gaat berekenen, dan wordt het nut ervan niet groter .Astronomen zeggen dat er niet meer dan 39 decimalen voor het getal pi nodig zijn om uiterst nauwkeurige berekeningen te kunnen doen.

Advertentie