چگونه عدد پی را محاسبه کنیم

عدد پی (π) یکی از اعداد خیلی مهم و جذاب در ریاضیات است. این عدد تقریبا برابر با ۳/۱۴ است و برای محاسبه‌ی محیط و مساحت دایره با استفاده از شعاع و قطر آن به کار برده می‌شود. ^{[۱]Xمنبع تحقیقات} عدد پی یک عدد گنگ است، به این معنی که مقدار اعشاری آن می‌تواند تا بی‌نهایت ادامه پیدا کند. برای همین، محاسبه‌ی دقیق آن خیلی دشوار است اما ناممکن نیست. ^{[۲]Xمنبع تحقیقات}

روش 1

روش 1 از 5:

محاسبه‌ی عدد پی با استفاده‌ از اندازه‌گیری دایره

این روش برای بیضی‌‌ها، بیضی‌گون‌ها و یا اشکال دیگر کاربرد ندارد و فقط باید از دایره استفاده کنی. بنا به تعریف، دایره مجموعه‌ای از نقاط روی یک صفحه است که فاصله‌‌اشان تا یک نقطه‌ی مرکزی با هم برابر است. در شیشه‌ مربا شی مناسبی برای این کار است. با این روش می‌توانی عدد پی را به طور تقریبی محاسبه کنی، برای محاسبه‌ی دقیق به یک رشته نخ باریک (یا چیزی شبیه به آن) نیاز داری. حتی نوک خیلی تیز مدادهای طراحی هم برای اندازه‌گیری دقیق خیلی کلفت هستند.
2
محیط یک دایره را تا آن جایی که می‌توانی دقیق اندازه‌گیری کن. محیط دایره، طول لبه‌ی آن است. چون محیط دایره گِرد است، محاسبه‌ی آن دشوار است. (برای همین اندازه‌ی عدد پی مهم است.)
- یک رشته نخ را به دور لبه‌ی یک جسم گِرد بپیچ. نقطه‌ای که دو سر رشته به هم می‌رسند را علامت‌گذاری کن و بعد طول آن رشته نخ را با خط‌کش اندازه بگیر.
قطر دایره، پاره خطی است که از مرکز دایره می‌گذرد دو سر آن روی محیط دایره واقع شده است.
محیط یک دایره با فرمول C= π*d = ۲*π*r محاسبه می‌شود. یعنی عدد پی برابر است با محیط دایره تقسیم بر قطر آن. در این فرمول حرف C محیط، π عدد پی، حرف d قطر و حرف r هم شعاع دایره است. اعدادی که بدست آوردی را با ماشین حساب محاسبه کن: عدد حاصل باید تقریبا ۳/۱۴ باشد. ^{[۳]Xمنبع تحقیقات}
این روش را با دایره‌های بزرگ و کوچک تکرار کن و میانگین نتایج را محاسبه کن. این کار عدد دقیق‌تری را به تو خواهد داد. احتمالا نتیجه‌ی کار برای یک دایره دقیق نخواهد بود، اما با تکرار این کار روی دایره‌های مختلف، باید به مقدار میانگینی برسی که تقریبا با مقدار دقیق عدد پی برابر است.

روش 2

روش 2 از 5:

محاسبه‌ی عدد پی با استفاده از سری‌های نامتناهی

1
از سری‌ گریگوری-لایبنیتز استفاده کن. ریاضی‌دانان سری‌های ریاضی مختلفی را کشف کرده‌اند که اگر به طور نامحدود ادامه یابند، قسمت اعشاری عدد پی را تا تعداد زیادی رقم محاسبه خواهند کرد. بعضی از این محاسبات به اندازه‌ای پیچیده است که برای ٰآنها به ابرکامپیوتر نیاز است. یکی از ساده‌ترین این سری‌ها، سری گریگوری-لایبنیتز است. با این که این روش بازدهی زیادی ندارد، اما با هر بار تکرار، عدد تولید شده به عدد پی نزدیک و نزدیک‌تر می‌شود. مثلا با ۵۰۰ هزار بار تکرار، دقیقا پنج رقم اعشاری از عدد پی به دست می‌آید. این فرمول به شکل زیر است.^{[۴]Xمنبع تحقیقات}
- π = (۴/۱) - (۴/۳) + (۴/۵) - (۴/۷) + (۴/۹) - (۴/۱۱) + (۴/۱۳) - (۴/۱۵) ...
- عدد ۴ را در نظر بگیر و حاصل تقسیم ۴ بر ۳ را از آن کم کن. بعد حاصل تقسیم ۴ بر ۵ را با آن جمع کن. همین طور حاصل تقسیم ۴ بر ۷ را به آن اضافه کن و الی آخر. به همین ترتیب این سری را با جمع و تفریق کردن کسرهایی که در صورت آن‌ها عدد ۴ و در مخرجشان اعداد فرد متوالی است ادامه بده. هر چه بیشتر این کار را ادامه بدهی به عدد پی نزدیک‌تر خواهی شد.
2
سری نیلاکاندا را امتحان کن. این هم یک سری نامتناهی دیگر است که برای محاسبه‌ی عدد پی استفاده می‌شود و به آسانی قابل فهم است. البته این سری کمی از فرمول لایبنیتز پیچیده‌تر است ولی خیلی زودتر از آن به عدد پی نزدیک می‌شود. ^{[۵]Xمنبع تحقیقات}
- π = ۳ + ۴/(۲*۳*۴) - ۴/(۴*۵*۶) + ۴/(۶*۷*۸) - ۴/(۸*۹*۱۰) + ۴/(۱۰*۱۱*۱۲) - ۴/(۱۲*۱۳*۱۴) ...
- نحوه‌‌ی استفاده از این فرمول به این ترتیب است که عدد ۳ را به ترتیب باید با کسرهایی جمع و تفریق کنی که صورت آنها مقدار ثابت ۴ و مخرجشان حاصلضرب سه عدد صحیح متوالی است. سه عدد صحیح در مخرج کسر بعدی با بزرگترین سه عدد متوالی مخرج کسر قبلی خود شروع می‌شود. اگر این عمل را به تعداد کم هم انجام بدهی، می‌توانی ببینی که نتیجه خیلی زود به عدد پی نزدیک می‌شود.

روش 3

روش 3 از 5:

محاسبه‌ی عدد پی با استفاده از مسئله‌ی سوزن بوفون

1
برای محاسبه‌ی عدد پی این آزمایش را با پرتاب هات‌داگ انجام بده. عدد پی در آزمایش ذهنی جالبی به نام مسئله‌ی سوزن بوون ^{[۶]Xمنبع تحقیقات} نیز مطرح می‌شود. این مسئله برای بررسی این موضوع است که اجسام دراز و هم طولی که به طور تصادفی روی خطوط موازی که روی زمین کشیده شده‌اند پرتاب می‌شوند با چه احتمالی در بین یا روی این خطوط خواهند افتاد. اگر فاصله‌ی بین خطوط موازی برابر با طول جسم پرتاب شده باشد، با به دست آوردن تعداد دفعاتی که جسم بعد از تعداد زیادی پرتاب روی خطوط می‌افتد می‌توان عدد پی را محاسبه کرد.
- دانشمندان و ریاضی‌دانان راهی برای محاسبه‌ی دقیق عدد پی پیدا نکرده‌اند، چون نتوانسته‌اند جسمی را پیدا کنند که تا آن حد باریک باشد که بتوان برای محاسبه‌ی دقیق در این آزمایش از آن استفاده کرد.^{[۷]Xمنبع تحقیقات}

روش 4

روش 4 از 5:

محاسبه‌ی عدد پی با استفاده از حد

هر چه عددی که انتخاب می‌کنی بزرگ‌تر باشد محاسبه‌ دقیق‌تر خواهد بود.
این عدد را که ما آن را x می‌نامیم، در فرمول x * sin(۱۸۰ / x) بگذار تا عدد پی را محاسبه کنی. برای انجام این کار دقت کن که ماشین حساب بر حسب درجه تنظیم شده باشد.علت آنکه این محاسبه را حد می‌نامیم این است که نتیجه آن به عدد پی میل می‌کند. هر چه عددی را که به جای x در فرمول می‌گذاری بزرگ‌تر انتخاب کنی، عدد پی دقیق‌تر محاسبه خواهد شد.

روش 5

روش 5 از 5:

محاسبه‌ی عدد پی با استفاده از توابع معکوس مثلثاتی

چون تابع معکوس برای مقادیر بزرگ‌تر از ۱ و کوچک‌تر از ۱- تعریف نشده است.
2
عدد انتخاب شده را در فرمول زیر بگذار، نتیجه‌ای که بدست می‌آوری به طور تقریبی با عدد پی برابر است.
- pi = ۲ * (Arcsin(sqrt(۱ - x^۲)) + abs(Arcsin(x))).
  - Arcsin یعنی عکس سینوس بر حسب رادیان
  - Sqrt یعنی جذر
  - Abs یعنی قدر مطلق
  - x^۲ یعنی توان که این جا مجذور متغیر x است.

نکات

محاسبه‌ی عدد پی کاری سرگرم‌کننده و چالشی است اما کار کردن روی آن به صورت خیلی جدی، بازده نزولی دارد. اخترشناسان می‌گویند که برای محاسبات کیهان‌شناسی خود فقط تا ۳۹ رقم اعشار عدد پی را لازم دارند که برابر است با اندازه‌ی یک اتم.