Pi 계산하는 법

Pi (π)는 수학에서 가장 중요하고 매력적인 숫자입니다. 약 3.14 라는 값은 원의 반지름이나 지름을 이용하여 원주를 계산할 때 사용하는 상수입니다. 비합리적인 숫자이기도 합니다. 이 수는 계속 계산하면 소수점 밑으로 반복되는 패턴 없이 무한이 나아갑니다. 정확한 Pi값을 구하는 것은 어렵지만 불가능하지는 않습니다.

방법 1

방법 1 의 5:

원을 측정하여 Pi 계산하기

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타원이나 계란형 또는 원이 아닌 형태를 사용하면 안됩니다. 원의 정의는 한 중심점에서 같은 거리만큼 떨어져 있는 점들의 집합입니다. 단지뚜껑 같은 집에서 찾을 수 있는 물체들이 도움이 될 겁니다. 아마 당신은 대략적인 pi값을 찾게 될 겁니다. 정확한 pi 값을 찾으려면 엄청 얇은 심(어떤 필기구를 이용하든)이 필요하기 때문입니다. 가장 뾰족한 연필심을 사용한다 해도 정확한 결과를 찾기 힘듭니다.
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원주를 최대한 정확히 측정하세요. 원주는 원의 전체 바깥 둘레의 길이입니다. 원주는 둥그런 모양이므로 측정하기 힘듭니다.(그렇기에 pi 값이 중요합니다)
- 원 둘레에 실을 최대한 가깝게 감으세요. 한 바퀴 다 감았을 때 그 부분을 표시하세요. 그리고 자로 실의 길이를 재세요.
지름은 원의 한 점에서 원의 중심점을 지나 다른 반대쪽까지 뻗습니다.
원주 구하는 식은 C= π*d = 2*π*r입니다. 그러므로 pi는 원주를 지름으로 나눈 값입니다. 숫자들을 계산기에 입력하세요: 결과 값은 대략 3.14가 나올 겁니다. ^{[1]X출처 검색하기}
그리고 결과 값을 평균내세요. 더 정확한 결과 값을 알 수 있습니다. 모든 원에서 정확한 값이 나오지 않았더라도 계속 하다 보면 정확한 pi 값으로 평균이 수렴합니다.
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방법 2

방법 2 의 5:

무한 급수 이용하여 Pi 계산하기

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그레고리-라이프니츠 급수(Gregory-Leibniz series)를 사용하세요. 과거 수학자들은 여러 가지 수학적 급수를 찾아냈어요. 이 급수들을 무한으로 나열하면 정확한 파이 값의 수 많은 소수점 값들까지 구할 수 있어요. 그들 중 가장 간단한 식이 그레고리-라이프니츠 급수입니다. 엄청 효율적인 식은 아니지만 각 항을 되풀이 할 때마다 식이 보다 정밀한 값으로 수렴합니다. 500,000번 반복하면 파이 값의 소수점 밑 5자리를 정확히 구할 수 있어요.^{[2]X출처 검색하기} 아래는 공식입니다.
- π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) ...
- 4에서 4/3를 빼세요. 그리고 4/5를 더하세요. 그 뒤 4/7를 빼세요. 분자가 4이고 분모는 연속적 홀수로 이루어진 분수 더하기 빼기를 반복하세요. 더 많이 반복할수록 pi값에 가까워 집니다.
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닐라칸타(Nilakantha) 급수 사용하기. Pi를 계산하는 또 다른 무한 급수입니다. 비교적 이해하기 쉽습니다. 다소 복잡할 순 있지만 라이프니츠 공식보다는 pi 값에 더 빠르게 수렴합니다.
- π = 3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) + 4/(10*11*12) - 4/(12*13*14) ...
- 이 공식은 3으로 시작하여 분자를 4로 하고 분모는 연속되는 3개의 정수를 곱한 값을 번갈아 더하고 빼기를 반복합니다. 각 분수는 바로 앞 항의 분모의 숫자 3개들 중 가장 큰 수를 시작으로 하면 됩니다. 몇 항만 추가해도 pi 값에 비교적 가까운 값을 계산할 수 있습니다.
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방법 3

방법 3 의 5:

뷔퐁의 바늘 실험 이용하여 pi 값 구하기

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핫도그를 던지는 실험을 통해 pi를 구해보세요. Pi는 뷔퐁의 바늘 실험에서도 나옵니다. 이 실험은 바닥에 그어진 평행선들 위에 같은 길이의 물체들을 무작위로 던진 뒤 이 물체들이 선 사이나 선을 가로지르는 곳에 떨어질 가능성을 계산합니다. 만약 선들 사이의 거리가 던지는 물체의 길이와 같다면 여러 번 던졌을 경우, 선을 가로지르는 위치에 떨어지는 물체들의 수를 pi를 계산하는 데 쓸 수 있습니다.
- 과학자들은 아직 정확한 pi 값을 구하는 방법을 알아내지 못하였습니다. 원을 그리는 도구가 정밀한 계산을 가능케 할 정도로 얇아야 하는 데 이를 아직 찾기 못했기 때문입니다.^{[3]X출처 검색하기}

방법 4

방법 4 의 5:

극한 이용하여 pi 계산하기

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숫자가 클수록 계산이 정확해 집니다.
x * sin(180 / x) 에 넣어 pi를 계산하세요. 값을 계산할 때 각도로 계산하도록 하세요. 이를 극한이라고 부르는 이유는 결과 값이 pi로 제한되기 때문입니다. X가 커지는 동안 결과 값은 pi 값으로 점점 수렴합니다.
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방법 5

방법 5 의 5:

아크사인 함수/사인 역함수 이용하기

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아크사인 함수는 치역이 -1에서 1로만 정의되어 있기 때문입니다.
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이 숫자를 공식에 넣어 계산하면 pi에 근접한 값이 나옵니다.
- pi = 2 * (Arcsin(sqrt(1 - x^2)) + abs(Arcsin(x))).
  - 라디안 값이 사용되는 사인 함수의 역함수를 아크사인이라 부릅니다.
  - Sqrt은 제곱근의 줄임 기호입니다.
  - Abs은 절대값의 줄임 기호입니다.
  - x^2는 x의 제곱 값입니다.
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