Comment calculer une valeur attendue

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Apprendre à calculer une valeur attendue

Calculer la valeur attendue d’un placement

Calculer la valeur attendue d’un lancer de dé

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Références

La valeur attendue (VA) est un nombre sans unité fixe qui permet de mesurer la probabilité qu’un évènement mathématique se produise ou non. Ce concept mathématique est utilisé en finances pour savoir quels sont les différents scénarios de l’évolution d’un placement, dans les domaines des jeux de hasard, bref toute action qui se fonde sur une issue aléatoire. Cette valeur attendue s’obtient de façon simple, puisqu’elle est le produit de la somme des valeurs possibles d’une variable par la probabilité d’être engagée, c’est une sorte de moyenne pondérée.

Étapes

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:

Apprendre à calculer une valeur attendue

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   Identifiez toutes les sorties possibles d’un évènement. Calculer la valeur attendue d’une variable aléatoire revient à déterminer ce qui, au bout d’un très grand nombre de tirages, risque de se produire. Avant toute chose, vous devez identifier toutes les sorties possibles d’un tirage aléatoire. Pour cela, vous pouvez en dresser la liste ou faire un tableau .

   • Partons d’un paquet de 52 cartes à jouer et calculons dans le temps la valeur attendue pour le tirage d’une carte particulière. Pour commencer, décrivons le jeu. Nous avons donc 4 couleurs et dans chacune, les cartes suivantes :
     • l’as, le 2, le 3, le 4, le 5, le 6, le 7, le 8, le 9, le 10, le valet, la dame et enfin le roi.
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   Assignez une valeur à chaque sortie. Ce que l’on appelle valeur peut être très divers, ce peut être une monnaie (jeu, placement…) ou une valeur arbitraire, mais significative (points, nombres sans unités). Comprenez bien que pour le calcul d’une valeur attendue vous devez impérativement affecter une valeur à chacune des sorties possibles. Ainsi, pour une expérience nouvelle en chimie, il vous serait loisible d’attribuer trois valeurs pour chacun résultat d’expérience, comme 0 en cas d’absence de réaction, 1 en cas de réaction positive et -1 pour toute réaction négative .

   • Reprenons l’exemple des cartes. Nous poserons de façon abrupte que l’as vaut 1, toutes les figures (rois, valets…) valent 10, quant à la valeur des autres cartes, elle sera la valeur faciale (le 7 vaut… 7).
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   Déterminez la probabilité de chaque sortie. La probabilité est la chance qu’une valeur ou une sortie particulière se produise. Cette probabilité peut être simple, comme celle d’une carte tirée au hasard dans un jeu de 52 cartes (chaque carte a une chance sur 52 de sortir) ou une encore plus simple dans un jeu de pile ou face. Dans d’autres cas, les probabilités sont plus complexes, par exemple, celles qui affecteraient le cours d’actions cotées en bourse. Dans ce cas très précis, vous allez devoir non prendre un seul critère, mais plusieurs (indices nationaux et internationaux, contexte politique… ).

   • Dans le jeu de pile ou face avec une pièce non truquée, la probabilité que face sorte est de 1/2 : soit c’est pile soit c’est face, il n’y a pas d’autre sortie possible.
   • Avec les cartes, comme il y a 52 cartes dans le jeu, la probabilité qu’une carte particulière sorte est de 1/52. D’autre part comme il y a 4 couleurs dans un jeu, la probabilité qu’un valet sorte n’est pas 1/52, mais 4/52, car il y a 4 valets, et cela vaut pour toutes les autres cartes. Le tableau de probabilités de sorties se présente comme suit :
     • 1 = 4/52
     • 2 = 4/52
     • 3 = 4/52
     • 4 = 4/52
     • 5 = 4/52
     • 6 = 4/52
     • 7 = 4/52
     • 8 = 4/52
     • 9 = 4/52
     • 10 = 16/52
   • Vérifiez que la somme de toutes les probabilités est 1. Comme vous avez envisagé tous les tirages possibles avec leurs probabilités, la somme de ces dernières est égale à 1 (52/52).
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   Multipliez chaque valeur par sa probabilité de sortir. Si chaque tirage ou sortie avait la même valeur, il ne servirait à rien de calculer une valeur attendue, mais dans le cas où les valeurs varient, il faut pondérer chaque probabilité. Ce qui nous intéresse est de connaitre la valeur moyenne pondérée sur le long terme d’une sortie : en deux mots, la valeur attendue .

   • Dans l’exemple des cartes, reprenons notre tableau de probabilités. Multipliez la valeur de chacune des cartes par sa probabilité propre de sortir. La liste s’établit comme suit :
     • $1\times {\frac {4}{52}}={\frac {4}{52}}$
       
       
     • $2\times {\frac {4}{52}}={\frac {8}{52}}$
       
       
     • $3\times {\frac {4}{52}}={\frac {12}{52}}$
       
       
     • $4\times {\frac {4}{52}}={\frac {16}{52}}$
       
       
     • $5\times {\frac {4}{52}}={\frac {20}{52}}$
       
       
     • $6\times {\frac {4}{52}}={\frac {24}{52}}$
       
       
     • $7\times {\frac {4}{52}}={\frac {28}{52}}$
       
       
     • $8\times {\frac {4}{52}}={\frac {32}{52}}$
       
       
     • $9\times {\frac {4}{52}}={\frac {36}{52}}$
       
       
     • $10\times {\frac {16}{52}}={\frac {106}{52}}$
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   Faites la somme de tous ces produits. La valeur attendue (VA) est donnée par la somme des valeurs possibles de cette variable, chacune multipliée par la probabilité d’être engagée. Que vous ayez fait une liste ou un tableur (c’est plus pratique !), faites la somme de ces produits et ce que vous obtenez est la valeur attendue .

   • Dans notre exemple, la valeur attendue (VA) est la somme des dix produits calculés précédemment, ce qui donne :
     • ${\text{VA}}={\frac {4+8+12+16+20+24+28+32+36+160}{52}}$
       
       
     • ${\text{VA}}={\frac {340}{52}}$
       
       
     • ${\text{VA}}=6,538$
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   Interprétez cette valeur. C’est là que les choses se compliquent. Nous sommes dans le domaine des probabilités et un résultat numérique comme une valeur attendue doit être analysé en fonction des paramètres que vous avez fixés. Une valeur attendue vous indique, sans certitude absolue, la valeur moyenne de chaque sortie ou tirage, étant entendu que c’est une valeur qui ne sera atteinte qu’à l’issue de milliers de tirages : la loi des probabilités joue à plein. La valeur attendue reste une valeur théorique .

   • En fait, lors du tirage d’une carte dans un jeu de 52 cartes, la probabilité de tirer un 2 est la même que celle de tirer un 8, un 10 ou un valet. Là où la donne change, c’est lorsque vous décidez que toutes les figures ne forment en quelque sorte qu’une seule carte, la probabilité est alors quatre fois plus grande.
   • Nous voilà avec une valeur attendue bien étrange de 6,538 ! Cette carte n’existe pas dans un jeu de 52 cartes. Ce que vous devez en conclure, c’est qu’à l’issue de milliers de tirages, vous aurez tiré plus de cartes supérieures au 6 qu’inférieures.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:

Calculer la valeur attendue d’un placement

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   Définissez toutes les évolutions possibles. En finances, la valeur attendue est un instrument parmi d’autres pour déclencher ou non, un investissement. En ce domaine, il est plus difficile de quantifier les sorties, alors que c’est beaucoup plus simple pour un lancer de dé ou un tirage de cartes. L’évolution d’un placement dépend de plusieurs variables plus ou moins aléatoires. Cependant, au fil du temps, des modèles d’évolution de tel ou tel placement ont été conçus et affinés.

   • Pour être plus clair, prenons le cas d’un investissement que vous souhaiteriez faire et envisagez les différentes issues possibles pour ce placement, lesquelles pourraient être les suivantes :
     • vous doublez la mise de fond (cas le plus stimulant) ;
     • vous gagnez 50 % ;
     • vous ne gagnez ni ne perdez rien ;
     • vous perdez tout (scénario catastrophe).
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   Assignez une valeur à chacune des évolutions possibles. Avec les variables aléatoires, il est parfois possible d’affecter une valeur numérique logique. D’autres fois, comme ici, il faut recourir à des valeurs arbitraires, mais cohérentes entre elles.

   • Théoriquement parlant, nous partirons d’un placement d’un seul euro (1 €). Nous allons définir quatre évolutions (il pourrait y en avoir plus) sur le moyen terme qui vont du doublement de la mise de fonds à la perte totale du fonds, les deux cas se présentent en bourse, ainsi que toute évolution entre ces deux extrêmes. Prenons les quatre évolutions possibles et affectons à chacune une valeur :
     • vous doublez votre mise de fonds : + 1 ;
     • vous gagnez 50 % : + 0,5 ;
     • vous ne gagnez ni perdez rien : 0 ;
     • vous perdez tout (ce qui est rare !) : - 1.
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   Déterminez la probabilité de chaque évolution. Vous le savez, le cours des actions ou l’évolution des placements spéculatifs sont difficiles à prévoir, sinon vous pensez bien que tout le monde serait riche. Ces cours sont le résultat de multiples facteurs eux-mêmes dépendant d’autres facteurs. Grâce aux ordinateurs, des modèles complexes de prédiction financière ont été créés et affinés, c’est le fruit du travail des financiers et des statisticiens.

   • Pour l’exemple pris (1 €), nous n’envisagerons que 4 évolutions possibles, toutes ayant la même probabilité, soit 25 % chacune.
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   Multipliez la valeur de chaque évolution par sa probabilité de survenir. Cette opération consiste à pondérer la probabilité de survenir par la valeur de l’évolution, c’est essentiel pour donner un sens à votre prédiction.

   • La pondération est simple, comme le montre la liste ci-dessous :
     • pour un doublement de la somme investie : + 1 x 25 % = 0,25 ;
     • pour un gain de 50 % de la somme investie : + 0,5 x 25 % = 0,125 ;
     • pour la stabilité du placement : 0 x 25 % = 0 ;
     • pour la perte de la somme investie : -1 x 25 % = -0,25.
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   Faites la somme de ces produits. Pour déterminer la valeur attendue de ce placement dans les conditions fixées par vous, il suffit d’additionner toutes ces sorties en quelque sorte pondérées.

   • La valeur attendue de votre placement, selon le modèle simpliste que nous avons adopté, se calcule comme suit :
     • ${\text{VA}}=0,25+0,125+0-0,25=0,125$
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   Interprétez ce résultat. Cette valeur est tout à fait théorique, mais elle est quand même basée sur une réalité statistique. Sur le moyen ou le long terme, vous êtes susceptible de viser cette valeur.

   • Dans notre exemple, nous obtenons une valeur positive : vous allez gagner de l’argent ! Mais ce sera au fil du temps et uniquement si vos critères ont été les bons. Ici, avec les critères (valeurs et probabilités) choisis, pour un 1 € investi, vous êtes susceptible au fil du temps de gagner 12,5 centimes (1 + 0,125 = 1,125), soit un rendement de 12,5 % : beau placement !
   • Gagner 12,5 centimes n’est pas spectaculaire en soi, mais si vous songez à une somme investie beaucoup plus importante, disons 1 000 000 €, le gain se monte alors 125 000 € (0,125 € x 1 000 000).
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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:

Calculer la valeur attendue d’un lancer de dé

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   Connaissez bien les données du problème. Avant de parler de sorties, de tirages et de probabilités, vous devez bien comprendre la situation qui va entrainer le calcul de la valeur attendue. Prenons le cas d’un lancer de dé : sur chacun d’entre eux, disons que vous misez 10 €. Selon la face qui va sortir, les gains sont différents. Sortir un 6 vous rapportera 30 € et un 5, 20 €, pour tout autre résultat, vous gagnerez… 0 € !
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   Identifiez toutes les sorties possibles. Nous avons volontairement pris une situation aléatoire simple, puisque, si le dé n’est pas pipé, il n’y a à chaque lancer que six sorties possibles : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
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   Assignez une valeur à chacune des sorties. Selon les règles établies précédemment (certains tirages vous rapportent de l’argent, d’autres vous en font perdre), vous êtes en mesure de savoir combien vous allez gagner ou perdre en fonction de la face du dé qui sort. C’est ce gain (ou cette perte) qui détermine la valeur de chaque sortie. Elles se présentent comme suit :

   • 1 = - 10 € (10 € de mise et 0 € de gain) ;
   • 2 = - 10 € ;
   • 3 = - 10 € ;
   • 4 = - 10 € ;
   • 5 = + 10 € (10 € de mise et 20 € de gain) ;
   • 6 = + 20 € de (10 € de mise et 30 € de gain).
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   Déterminez la probabilité de chacune des sorties. Dans l’exemple qui est le nôtre, les probabilités sont faciles à établir : si le dé n’est pas truqué, chaque face, à chaque lancer, a une chance sur six de sortir (1/6). Le mieux est de conserver la fraction, mais si besoin était, vous pourriez prendre la valeur calculée, soit 0,167 (1 divisé par 6).
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   Multipliez chaque valeur assignée par la probabilité. Faites ces six produits (6 faces) : faites attention au signe, parfois vous gagnez (signe $+$), parfois vous perdez (signe $-$). Le fait de multiplier par 0,167 (positif) ne change pas le signe. La liste se présente alors ainsi :

   • 1 = -10 € x 0,167 = - 1,67 €
   • 2 = -10 € x 0,167 = - 1,67 €
   • 3 = -10 € x 0,167 = - 1,67 €
   • 4 = -10 € x 0,167 = - 1,67 €
   • 5 = + 10 € x 0,167 = + 1,67 €
   • 6 = + 20 € x 0,167 = + 3,34 €
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   Faites la somme de tous ces produits. C’est le calcul final qui va vous donner ce qu’on appelle la « valeur attendue ». Le calcul se présente donc ainsi :

   • ${\text{VA}}=-1,67-1,67-1,67-1,67+1,67+3,34=-1,67$
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   Interprétez le résultat. Le chiffre est là : la valeur attendue sur ce jeu de dés est de -1,67. Cela signifie en clair que, sur le long terme, vous perdez chaque fois que vous jouez 1,67 €. Bien entendu, ce n’est pas cette somme complexe que vous sortez chaque fois de votre poche. La preuve : après chaque lancer, soit vous perdez 10 €, soit vous gagnez 10 ou 20 €. C’est sur le long terme que vous allez perdre en moyenne 1,67 € par lancer. Vous gagnerez parfois, vous perdrez souvent et à l’arrivée, c’est ce 1,67 que vous perdrez multiplié par un certain nombre, celui des lancers.

   • Si vous ne jouez qu’une fois, il y a une chance sur 6 que vous gagniez 20 € (déduction faite de la mise de 10 €). Si vous jouez une deuxième fois, il est aussi possible que vous gagniez 20 €, mais au fil des lancers, par le jeu des probabilités, vos gains au bout de 100, 200, 1 000 lancers seront… des pertes qui approcheront progressivement et respectivement 167 € (100 x 1,67), 334 € et 1 670 € !
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Conseils

• En cas de calculs pour des situations aléatoires à multiples sorties, il est bien de créer pour l’occasion une feuille de calcul (pourquoi pas dans Excel !) afin de faire diverses simulations rapidement, les cellules contenant les bonnes formules, bien sûr !

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Éléments nécessaires

• Un crayon
• Du papier
• Une calculatrice