Como Calcular um Valor Esperado

Baixe em PDF

Baixe em PDF

Neste Artigo:

Sabendo determinar qualquer valor esperado

Calculando o valor esperado de um investimento

Determinando o valor esperado em um lançamento de dados

Artigos Relacionados

Referências

O valor esperado (VE) representa um conceito empregado na estatística para ajudar a decidir quão benéfica ou maléfica será uma ação em seus resultados. Saber como calcular essa variável pode ser útil na estatística numérica, em apostas e em outras situações de probabilidade, em investimentos no mercado de ações ou, até mesmo, em outras situações com desfechos variados. Para determinar o valor esperado, você precisa identificar cada um dos resultados que podem acontecer na situação além da probabilidade da ocorrência de cada um deles.

Passos

Método 1

Método 1 de 3:

Sabendo determinar qualquer valor esperado

Baixe em PDF

1. 
   1
   Identifique todos os resultados possíveis. Calcular o valor esperado (VE) de possibilidades variadas é uma ferramenta estatística usada para determinar qual delas será a mais provável ao longo do tempo. Para começar, você deve antes identificar quais delas são possíveis. Liste-as ou crie uma tabela que as contenha para ajudá-lo a definir os resultados.

   • Por exemplo, imagine que tenha um baralho convencional de $52$ cartas, desejando encontrar o valor esperado, ao longo do tempo, de uma única carta escolhida aleatoriamente. Será necessário listar todos os resultados possíveis, sendo eles:
     • ${\text{Ás}}$, ${\text{2}}$, ${\text{3}}$, ${\text{4}}$, ${\text{5}}$, ${\text{6}}$, ${\text{7}}$, ${\text{8}}$, ${\text{9}}$, ${\text{10}}$, ${\text{J}}$, ${\text{Q}}$ e ${\text{K}}$, em cada um dos quatro naipes.
2. 
   2
   Associe um valor para cada resultado possível. Alguns dos cálculos estarão baseados em dinheiro, como nos investimentos em ações. Outros podem estar evidentes, como no caso dos jogos com dados. Em alguns casos, talvez seja necessário definir um valor para alguns ou para todos os resultados possíveis. Esse pode ser o caso em um experimento de laboratório no qual se definiu, por exemplo, um valor de $+1$ à reação química positiva, um valor de $-1$ à reação química negativa, e um valor de $0$ se nenhuma reação ocorrer.

   • No exemplo das cartas de baralho, os valores tradicionais são ${\text{Ás}}=1$, todas as cartas com figuras equivalem a $10$, e todas as outras cartas têm valor igual ao número nelas expresso. Associe esses valores no presente exemplo.
3. 
   3
   Determine a probabilidade de cada resultado possível. A probabilidade é a chance que cada valor ou resultado em particular tem de acontecer. Em situações como no mercado de ações, por exemplo, elas podem ser afetadas por forças externas. Você teria que ter informações adicionais antes de conseguir calcular as probabilidades nesses exemplos: Em um problema de aleatoriedade, como ao se lançar dados ou moedas, a probabilidade é definida como porcentagem de um determinado resultado dividida pela quantidade de resultados possíveis.

   • Com uma moeda ideal, por exemplo, a probabilidade de conseguir "Cara" é de ${\frac {1}{2}}$, uma vez que existe apenas uma Cara dividida pelos dois resultados possíveis (Cara e Coroa).
   • No exemplo com o baralho convencional, há $52$ cartas presentes, de modo que cada uma delas apresenta uma probabilidade de ${\frac {1}{52}}$. Reconheça, no entanto, que há quatro naipes diferentes, além de múltiplas formas de se extrair um valor igual a $10$ Pode ser útil fazer uma tabela de probabilidades, como esta:
     • $1={\frac {4}{52}}$
     • $2={\frac {4}{52}}$
     • $3={\frac {4}{52}}$
     • $4={\frac {4}{52}}$
     • $5={\frac {4}{52}}$
     • $6={\frac {4}{52}}$
     • $7={\frac {4}{52}}$
     • $8={\frac {4}{52}}$
     • $9={\frac {4}{52}}$
     • $10={\frac {16}{52}}$
   • Observe que a soma de todas as probabilidades deve resultar no total de $1$. Uma vez que a lista de resultados deve representar todas elas, a somatória necessariamente será igual a uma unidade inteira.
4. 
   4
   Multiplique cada valor por sua respectiva probabilidade. Cada resultado possível representa uma porção do valor esperado total ou do experimento sendo analisado. Para determinar o valor parcial com base em cada resultado, multiplique seu valor pela probabilidade.

   • No exemplo das cartas de baralho, use a tabela de probabilidades que você acaba de criar. Multiplique o valor de cada uma delas por suas respectivas probabilidades. Esses cálculos ficarão da seguinte forma:
     • $1\times {\frac {4}{52}}={\frac {4}{52}}$
     • $2\times {\frac {4}{52}}={\frac {8}{52}}$
     • $3\times {\frac {4}{52}}={\frac {12}{52}}$
     • $4\times {\frac {4}{52}}={\frac {16}{52}}$
     • $5\times {\frac {4}{52}}={\frac {20}{52}}$
     • $6\times {\frac {4}{52}}={\frac {24}{52}}$
     • $7\times {\frac {4}{52}}={\frac {28}{52}}$
     • $8\times {\frac {4}{52}}={\frac {32}{52}}$
     • $9\times {\frac {4}{52}}={\frac {36}{52}}$
     • $10\times {\frac {16}{52}}={\frac {160}{52}}$
5. 
   5
   Encontre a soma dos produtos. O valor esperado (VE) de um conjunto de resultados equivale à soma dos produtos individuais de valor multiplicada pela probabilidade. Fazendo uso do diagrama ou da tabela criados até o momento, some os produtos e o resultado equivalerá ao valor esperado do problema.

   • No exemplo das cartas de baralho, o valor esperado equivale à somatória entre os dez produtos separados. Esse resultado será:
     • ${\begin{aligned}{\text{VE}}&={\frac {4+8+12+16+20+24+28+32+36+160}{52}}\\&={\frac {340}{52}}\\&=6,538\end{aligned}}$
6. 
   6
   Interprete o resultado. O VE fica melhor aplicado ao se realizar o teste ou experimento explicitado diversas vezes. Por exemplo, é possível trabalhar o VE em situações de aposta para descrever os resultados esperados por milhares de apostadores diariamente, repetindo-se o processo dia após dia. No entanto, ele não é muito preciso em prever um resultado em particular de um teste específico.

   • Ao tirar uma carta de um baralho, por exemplo, a probabilidade de se conseguir um $2$ em certa tentativa é idêntica à probabilidade de se conseguir um $6$, um $7$, um $8$ ou qualquer outra carta numerada.
   • Ao longo de várias tentativas, o valor teórico a ser esperado é $6,538$. Naturalmente, esse valor não existe em uma das cartas. No entanto, se estivesse fazendo uma aposta, valeria esperar por uma carta com valor maior que $6$ do que o inverso.
   Publicidade

Método 2

Método 2 de 3:

Calculando o valor esperado de um investimento

Baixe em PDF

1. 
   1
   Defina todos os resultados possíveis. O cálculo do VE é uma ferramenta muito útil em investimentos e previsões do mercado de ações. Como em qualquer problema relacionado, você deve começar definindo todos os resultados que podem ocorrer. Geralmente, situações de mundo real não são tão fáceis de definir como outras, como lançar dados ou tirar uma carta do baralho. Por essa razão, analistas criam modelos que aproximam as situações presentes no mercado de ações e fazem uso deles para suas previsões.

   • Suponha, nesse exemplo, que você pode definir quatro resultados distintos para o seu investimento:
     • $1.$ Ganhar uma quantia igual ao investimento;
     • $2.$ Ganhar de volta metade do investimento;
     • $3.$ Nem ganhar e nem perder dinheiro;
     • $4.$ Perder todo o investimento.
2. 
   2
   Defina valores para cada resultado possível. Em alguns casos, você pode conseguir determinar um valor monetário específico aos resultados. Em outros, na situação do modelo, pode ser necessário definir um valor ou uma pontuação que represente quantias monetárias.

   • Para simplificar, suponha que tenha investido, no modelo de investimentos, ${\text{R}}\$\ 1$. O valor determinado de cada resultado será positivo se você espera ganhar e negativo se você espera perder. Nesse problema, os quatro resultados possíveis terão os seguintes valores relativos ao investimento de ${\text{R}}\$\ 1$:
     • $1.$ Ganhar uma quantia igual ao investimento $=+1$
     • $2.$ Ganhar de volta metade do investimento $=+0,5$
     • $3.$ Nem ganhar e nem perder dinheiro $=0$
     • $4.$ Perder o investimento $=-1$
3. 
   3
   Determine a probabilidade de cada resultado. Em uma situação como a do mercado de ações, analistas profissionais investem suas carreiras inteiras tentando definir a probabilidade de qualquer ação subir ou descer em um dia determinado. Essa probabilidade de resultados costuma depender de muitos fatores externos, e estatísticos trabalham em conjunto com os analistas de mercado na busca de associá-las com modelos de previsão.

   • Suponha, nesse exemplo, que a probabilidade de cada um dos quatro resultados seja igual a $25\%$.
4. 
   4
   Multiplique o valor de cada resultado por sua respectiva probabilidade. Use a sua lista de resultados possíveis e multiplique cada valor pela probabilidade de cada um deles ocorrer.

   • Na situação do modelo de investimentos, os cálculos ficarão da seguinte maneira:
     • $1.$ Ganhar uma quantia igual ao investimento
       $=+1\times 25\%$
       $=0,25$
     • $2.$ Ganhar de volta metade do investimento
       $=+0,5\times 25\%$
       $=0,125$
     • $3.$ Nem ganhar e nem perder dinheiro
       $=0\times 25\%$
       $=0$
     • $4.$ Perder o investimento
       $=-1\times 25\%$
       $=-0,25$
5. 
   5
   Some todos os produtos. Determine o VE somando os produtos dos valores, multiplicados pela probabilidade, de todos os resultados.

   • O VE, no modelo de investimento em ações, fica como se segue:
     • ${\begin{aligned}{\text{VE}}&=0,25+0,125+0-0,25\\&=0,125\end{aligned}}$
6. 
   6
   Interprete os resultados. É preciso ler os cálculos do VE e compreendê-los dentro do contexto da realidade, de acordo com o problema.

   • No modelo de investimentos, o VE positivo sugere que, ao longo do tempo, você ganha dinheiro ao investir. Especificamente, com base em um investimento de ${\text{R}}\$\ 1$, você pode esperar ganhar $1,25$ centavos, ou $12,5\%$ de seu investimento inicial.
   • Esse ganho não parece muito impressionante. No entanto, aplicar esse cálculo a números grandes sugere, por exemplo, que um investimento de ${\text{R}}\$\ 1.000.000$ traria um retorno equivalente a ${\text{R}}\$\ 125.000$.
   Publicidade

Método 3

Método 3 de 3:

Determinando o valor esperado em um lançamento de dados

Baixe em PDF

1. 
   1
   Acostume-se com o problema. Antes de pensar em toda a miríade de resultados e probabilidades envolvidos no processo, é crucial compreender o problema em sua integralidade. Suponha, por exemplo, que um jogo de dados custe ${\text{R}}\$\ 10$ por lançamento. Um dado de seis lados é lançado uma vez, e os seus ganhos dependerão do número resultante. Conseguir um $6$ traz ${\text{R}}\$\ 30$ em ganhos. Tirar um $5$, por sua vez, traz um retorno de ${\text{R}}\$\ 20$. Qualquer outro valor não traz ganhos.
2. 
   2
   Identifique todos os resultados possíveis. Esse é um jogo de apostas relativamente simples. Como você está trabalhando com um dado aqui, há apenas seis possíveis resultados em um lançamento, sendo eles: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ e $6$.
3. 
   3
   Determine um valor para cada resultado. Esse jogo de apostas possui valores assimétricos associados aos diversos lançamentos, de acordo com as regras definidas. Para cada lançamento possível do dado, determine que o valor será igual à quantia de dinheiro ganha ou perdida. Reconheça que mesmo o resultado de "nenhum ganho" indica que você terá perdido a aposta inicial de ${\text{R}}\$\ 10$. Os valores dos seis resultados possíveis são os seguintes:

   • $1=-{\text{R}}\$\ 10$
   • $2=-{\text{R}}\$\ 10$
   • $3=-{\text{R}}\$\ 10$
   • $4=-{\text{R}}\$\ 10$
   • $5={\text{R}}\$\ 20$ em ganhos $-{\text{R}}\$\ 10$ pela aposta
     $=+{\text{R}}\$\ 10$ em valor líquido
   • $6={\text{R}}\$\ 30$ em ganhos $-{\text{R}}\$\ 10$ pela aposta
     $=+{\text{R}}\$\ 20$ em valor líquido
4. 
   4
   Determine a probabilidade de cada resultado. Nesse jogo, você provavelmente está trabalhando com um dado de seis lados não viciado e, desse modo, a probabilidade de cada resultado equivale a ${\frac {1}{6}}$. É possível manter essa probabilidade em forma de fração ou convertê-la em formato decimal, dividindo-a na calculadora. O valor decimal equivalente será igual a ${\frac {1}{6}}=0,167$.
5. 
   5
   Multiplique cada valor por sua respectiva probabilidade. Use a tabela de valores dos seis lançamentos e multiplique cada um deles pela probabilidade de $0,167$:

   • $1=-{\text{R}}\$\ 10\times 0,167=-1,67$
   • $2=-{\text{R}}\$\ 10\times 0,167=-1,67$
   • $3=-{\text{R}}\$\ 10\times 0,167=-1,67$
   • $4=-{\text{R}}\$\ 10\times 0,167=-1,67$
   • $5={\text{R}}\$\ 20$ em ganhos $-{\text{R}}\$\ 10$ pela aposta
     $=+{\text{R}}\$\ 10$ em valor líquido $\times 0,167$
     $=+1,67$
   • $6={\text{R}}\$\ 30$ em ganhos $-{\text{R}}\$\ 10$ pela aposta
     $=+{\text{R}}\$\ 20$ em valor líquido $\times 0,167$
     $=+3,34$
6. 
   6
   Calcule a soma dos produtos. Some os seis cálculos de probabilidade para determinar o VE relativo ao jogo. O resultado será:

   • ${\begin{aligned}{\text{VE}}&=-1,67-1,67-1,67-1,67+1,67+3,34\\&=-1,67\end{aligned}}$
7. 
   7
   Interprete o resultado. o VE nesse jogo de apostas equivale a $-1,67$. No contexto do mundo real, isso significa que você pode esperar perder ${\text{R}}\$\ 1,67$ a cada vez em que realizar um jogo. Observe que, de acordo com as regras definidas, é impossível perder ${\text{R}}\$\ 1,67$. As únicas opções para cada aposta de ${\text{R}}\$\ 10$ são ganhar ${\text{R}}\$\ 30$, ganhar ${\text{R}}\$\ 20$ ou não ganhar nada. Ainda assim, em média, ao repetir esse processo diversas vezes, você pode esperar que o resultado equivalha à perda geral de ${\text{R}}\$\ 1,67$ por jogo.

   • Se jogar o jogo apenas uma vez, pode ser que você ganhe ${\text{R}}\$\ 30$ (ou ${\text{R}}\$\ 20$ em valor líquido). Em um segundo jogo, você pode até mesmo ganhar novamente e conquistar um total de ${\text{R}}\$\ 60$ (ou ${\text{R}}\$\ 40$ em valor líquido). No entanto, essa sorte não se manterá se você continuar a jogar. Ao longo de $100$ partidas, no final você provavelmente terá acumulado um prejuízo aproximado de ${\text{R}}\$\ 167$.
   Publicidade

Dicas

• Em situações nas quais há muitos resultados possíveis, você pode criar uma planilha no computador para calcular o valor esperado a partir da totalidade de resultados e probabilidades conhecidos.

Publicidade

Materiais Necessários

• Lápis;
• Papel;
• Calculadora.