如何计算期望值

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在本文中：

求得任意期望值

计算投资的期望值

求得骰子游戏的期望值

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参考

期望值（EV）是统计学的一个概念，用于判定一个行为可能产生的有利或不利结果。在数值统计、赌博或其他概率情景，还有股票市场投资，或拥有多种结果的许多其他情景中，知道如何计算期望值是非常实用的。要计算期望值，你必须确定情景中可能发生的各种结果，以及各种结果发生的概率或可能性。

步骤

方法 1

方法 1 的 3:

求得任意期望值

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   确定所有可能的结果。计算多种可能性的期望值（EV），可以帮助你确定可能性最大的最终结果。首先，你必须确定可能出现的具体结果。你应该一一罗列或制作表格，以更加明确地了解各种结果。

   • 例如，假设你有一副共52张的标准扑克牌，你想知道自己随机选一张牌最后可能得到的期望值。你必须列出所有可能的结果，即：
     • 四种不同的花色中各有一张A、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K。
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   为每种可能的结果赋值。有些期望值的计算会基于货币，如股票投资。有些可能基于显而易见的数值，如骰子游戏。而某些情况下，你可能需要为部分或所有可能的结果赋值。实验室实验可能就属于这类情况。例如，进行某项实验时，你可能会将阳性化学反应赋值为+1，将阴性化学反应赋值为-1，将无反应发生赋值为0。

   • 以扑克牌为例，通常A=1，所有花牌等于10，而其他牌等于各自的牌面数字。本示例会采用这些赋值。
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   确定每种可能结果的概率。概率指的是每个特定值或结果出现的可能性。在某些情况下，概率可能会受到一些外力的影响，例如股票市场。在这类示例中，要计算概率，你必须取得一些额外信息。而在摇骰子或掷硬币等随机概率问题中，概率等于给定结果的数量除以可能结果的总数。

   • 例如，如果公平抛掷硬币，掷得“正面”的概率是1/2，因为硬币有一个正面，然后除以总共两种可能的结果（正面或反面），所得为1/2。
   • 而以扑克牌为例，一副牌有52张，所以抽得每张牌的概率为1/52。但是需要注意的是，每副牌有四种不同的花色，而且有多张牌被赋予了相同的值，例如10这个值。制作一份如下的概率表可能会有所帮助：
     • 1 = 4/52
     • 2 = 4/52
     • 3 = 4/52
     • 4 = 4/52
     • 5 = 4/52
     • 6 = 4/52
     • 7 = 4/52
     • 8 = 4/52
     • 9 = 4/52
     • 10 = 16/52
   • 检查所有概率的总和，看是否等于1。由于你罗列的结果代表了所有可能性，因此概率的总和应该等于1。
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   将每个值乘以其各自的概率。每种可能的结果代表你所计算的问题或实验的总期望值的一部分。要求得每种结果的部分值，应使用结果的值乘以其概率。

   • 以扑克牌为例，使用你刚刚制作的概率表。将每张牌的值乘以其各自的概率。计算如下：
     • $1*{\frac {4}{52}}={\frac {4}{52}}$
     • $2*{\frac {4}{52}}={\frac {8}{52}}$
     • $3*{\frac {4}{52}}={\frac {12}{52}}$
     • $4*{\frac {4}{52}}={\frac {16}{52}}$
     • $5*{\frac {4}{52}}={\frac {20}{52}}$
     • $6*{\frac {4}{52}}={\frac {24}{52}}$
     • $7*{\frac {4}{52}}={\frac {28}{52}}$
     • $8*{\frac {4}{52}}={\frac {32}{52}}$
     • $9*{\frac {4}{52}}={\frac {36}{52}}$
     • $10*{\frac {16}{52}}={\frac {160}{52}}$
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   将乘积加总求和。一组结果的期望值（EV）等于各结果值与其概率的乘积之和。使用你为此创建的任意图表，将乘积加总，结果即为此问题的期望值。

   • 以扑克牌为例，期望值等于十个单独乘积之和。结果为：
     • ${\text{EV}}={\frac {4+8+12+16+20+24+28+32+36+160}{52}}$
     • ${\text{EV}}={\frac {340}{52}}$
     • ${\text{EV}}=6.538$
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   理解结果。期望值最适合用在会多次重复进行的测试或实验。例如，如果某个赌局每天有成千上万的赌徒参与，并且日复一日地进行，那么就能很好地应用期望值来描述预期结果。但是，期望值无法准确预测一次特定测试的某个特定结果。

   • 例如，从一副标准扑克牌中抽牌时，某次抽牌抽到2的可能性与抽到6或7或8或其他数字牌的可能性是相同的。
   • 多次抽牌时，理论上的期望值是6.538。显然，扑克牌里没有“6.538”这张牌。但如果正在赌博，那么你抽到大于6的牌的可能性会更高。
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方法 2

方法 2 的 3:

计算投资的期望值

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   确定所有可能的结果。在投资和股票市场预测中，计算期望值是非常实用的工具。和所有期望值问题一样，你必须首先确定所有可能的结果。通常而言，现实世界不像掷骰子或抽牌那样容易定义。因此，分析师会创建近似股市情况的模型，并利用这些模型进行预测。

   • 例如，假设你可以为自己的投资确定4种不同的结果，具体如下：
     • 1. 赚取与投资额相等的资金
     • 2. 赚回一半的投资
     • 3. 不赚不亏
     • 4. 亏掉全部投资
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   为每种可能的结果赋值。某些情况下，你可以为可能的结果赋予具体的人民币价值。其他时候，在建立模型的情况下，你必须赋值或指定分数来代表货币金额。

   • 在这个投资模型中，为了简便，假设你投入了1元钱。如果预计你会赚钱，那么结果的赋值为正数；反之，如果你会亏钱，那么结果的赋值为负数。因此，在这个问题中，相对于1元钱的投入，四种可能的结果被赋予如下值：
     • 1.赚取与投资额相等的资金 = +1
     • 2.赚回一半的投资 = +0.5
     • 3.不赚不亏 = 0
     • 4.亏掉全部投资 = -1
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   确定每种结果的概率。在股市这类情景中，专业分析师的工作就是确认任何一只股票在任何一天发生涨或跌的可能性。结果的概率通常取决于许多外因。统计学家会与市场分析师合作，为预测模型指定合理的概率。

   • 在本例中，假设四种结果各自的概率相等，均为25%。
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   将每个结果值乘以其各自的概率。使用所有可能结果的列表，用每个值乘以该值出现的概率。

   • 对于用作示例的投资情景而言，计算如下：
     • 1.赚取与投资额相等的资金 = +1 * 25% = 0.25
     • 2.赚回一半的投资 = +0.5 * 25% = 0.125
     • 3.不赚不亏 = 0 * 25% = 0
     • 4.亏掉全部投资 = -1 * 25% = -0.25
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   所有乘积加总求和。将所有可能结果的值与概率的乘积加总求和，得出给定情况下的期望值。

   • 股票投资模型的期望值如下：
     • ${\text{EV}}=0.25+0.125+0-0.25=0.125$
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   理解结果。针对这个问题，你必须读懂期望值的统计计算，并在现实世界中理解其含义。

   • 对投资模型而言，正期望值代表随着时间的推移，你将从投资中获利。具体来说，根据1元钱的投资额，你预计可以赚到0.125元，或是投资额的12.5%。
   • 赚0.125元可能听起来不值一提，但是如果使用更大金额的投资额来进行计算，情况就有所不同了。例如，如果投资额是100万元，那么获利将为12.5万元。
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方法 3

方法 3 的 3:

求得骰子游戏的期望值

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   了解问题。思考所有可能结果和相关概率之前，确保自己已经清楚地理解了问题。例如，假设有一种每轮下注10元钱的掷骰子游戏。投掷一次6面骰，赢得的现金取决于掷得的数字。掷得6会赢得30元。掷得5会赢得20元。掷得任何其他数字，不会有任何奖金。
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   确定所有可能的结果。这是一种相对简单的赌博游戏。因为你只用掷一个骰子，而任何一次投掷只有六种可能的结果，它们分别是：1、2、3、4、5和6。
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   为每种结果赋值。根据游戏规则，这种赌博游戏会为不同的投掷结果赋予不对称的值。对于每种可能的骰子投掷结果，所赋的值等于你会赚取或输掉的金额。需要注意的是，“没有奖金”意味着你输掉了10元钱的赌注。所有六种可能结果的值如下：

   • 1 = -10元
   • 2 = -10元
   • 3 = -10元
   • 4 = -10元
   • 5 = 20元收益 - 10元赌注 = +10元净值
   • 6 = 30元收益 - 10元赌注 = +20元净值
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   确定每种结果的概率。在这个游戏中，你投掷的应该是一个公平的六面骰子。因此，每种结果的概率是1/6。你可以继续使用1/6这个分数来表示概率，或者在计算器中将之转换为小数。使用小数表示的话，1/6 = 0.167。
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   将每个值乘以其各自的概率。使用你计算所得的所有六种骰子投掷结果的数值表，用各数值乘以概率0.167：

   • 1 = -10元 * 0.167 = -1.67
   • 2 = -10元 * 0.167 = -1.67
   • 3 = -10元 * 0.167 = -1.67
   • 4 = -10元 * 0.167 = -1.67
   • 5 = 20元收益 - 10元赌注 = +10元净值 * 0.167 = +1.67
   • 6 = 30元收益 - 10元赌注 = +20元净值 * 0.167 = +3.34
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   将乘积加总求和。将概率和值相乘的六个计算结果加总，求得整个游戏的期望值。计算如下：

   • ${\text{EV}}=-1.67-1.67-1.67-1.67+1.67+3.34=-1.67$
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   理解结果。这个赌博游戏的期望值为-1.67。从现实世界的角度来看，这意味着每次玩这个游戏，你预计会输掉1.67元钱。注意，按照游戏规则，不可能会输掉1.67元。你每次下注10元钱，只可能赢30元、赢20元或不赢钱。但是，如果多次玩这个游戏，平均下来，预期的结果是你每次会输掉1.67元。

   • 如果玩一次这个游戏，你可能会赢30元（+20元的净收益）。如果玩第二次，你甚至还可能再赢，总共赢得60元（+40元的净收益）。但是，如果玩下去，你的运气不可能一直这么好。如果你玩100次，最终的结果可能会趋近于输掉167元。
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小提示

• 如果可能出现的结果很多，你可以制作电子表格，根据结果及其概率计算期望值。

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你需要准备

• 笔
• 纸
• 计算器