Comment calculer le volume d’un cube

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Calculer le volume d’un cube à partir de la longueur du côté

Calculer le volume d’un cube à partir de l’aire de surface

Calculer le volume d’un cube à partir des diagonales

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Résumé de l'article

Un cube est un solide à six faces carrées toutes identiques, ce qui fait que sa longueur, sa largeur et sa hauteur sont les mêmes. Les six faces d’un cube sont à angle droit les unes des autres. Comme pour un parallélépipède, le volume d’un cube s'obtient en multipliant sa longueur par sa largeur et par sa hauteur. Le cube n’est jamais qu’un parallélépipède particulier, pour lequel toutes les faces sont absolument identiques et toutes sont carrées. C’est la raison pour laquelle il suffit d’avoir la longueur du côté du cube pour pouvoir aisément calculer son volume : il suffit de l’élever au cube, le terme est tout, sauf anodin. Ce calcul du volume n’est pas toujours aussi simple, surtout quand l’exercice ne précise pas la longueur du côté, mais une autre donnée, comme la longueur d’une diagonale ou une aire.

Étapes

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:

Calculer le volume d’un cube à partir de la longueur du côté

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   Mesurez la longueur du côté du cube. Souvent, à l’école, vous serez amené dans le cadre d’un exercice à calculer le volume d’un cube dont on vous donnera la longueur du côté. Par contre, si vous êtes amené à calculer le volume d’un objet réel, vous devrez mesurer, avec une règle ou tout autre instrument de mesure adapté à l’objet, le côté du cube et surtout, vérifier que tous les côtés ont la même longueur.

   • Afin de bien comprendre comment se calcule le volume d'un cube, outre la théorie, toujours utile pour résoudre tous les problèmes, le mieux à ce stade est de prendre un exemple concret, celui d’un cube qui aurait, par exemple, 2 cm de côté. On note conventionnellement $a$ la longueur de ce côté.
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   Élevez la longueur du côté au cube. Une fois la longueur d’un des côtés du cube connue, élevez cette dernière au cube, ce qui signifie que vous devez multiplier trois fois cette valeur par elle-même. Si $a$ est la longueur du côté, son cube est : $a\times a\times a$, que vous pouvez aussi écrire $a^{3}$. C’est en faisant ce double produit (si vous préférez, multiplication) que vous obtiendrez le volume de votre cube.

   • En fait, le calcul se décompose en deux temps : le premier, avec le calcul de l'aire de la base (une des faces du cube, celle que l’on veut), le second avec le produit de ce résultat par la hauteur du cube. Il faut donc multiplier la longueur du cube par sa largeur et sa hauteur, et comme ces trois longueurs sont, par définition, identiques, cela revient à prendre le côté et à l’élever au cube.
   • Reprenons notre exemple. Nous étions partis d’un cube de 2 cm de côté, son volume (V) s’obtient ainsi : $V=2\times 2\times 2=2^{3}=8$.
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   Ajoutez les bonnes unités. Comme il s’agit ici d’un volume, vous mettre une unité cubique. L’unité à mettre est celle de départ (celle du côté), mais elle sera au cube. Dans le cadre d’un contrôle en classe ou à la maison, si vous oubliez de mettre l’unité, vous aurez certes des points, mais pas tous ceux attribués à la question. N’oubliez donc pas l’unité !

   • Dans notre exemple, la longueur du côté était en centimètres ($cm$), votre réponse, le volume du cube, sera donc en centimètres cubes ($cm^{3}$). Comme vos calculs vous ont donné 8, la réponse complète est : $8\ cm^{3}$.
   • Bien entendu, si vous utilisez une autre mesure de longueur, c’est celle-ci, élevée au cube, qu’il faudra mettre. Si votre cube avait eu 2 m de côté, la réponse aurait été : $8\ m^{3}$ (8 mètres cubes).
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:

Calculer le volume d’un cube à partir de l’aire de surface

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   Trouvez l’aire de surface du cube. Certes, calculer le volume d’un cube à partir de la longueur du côté est la façon la plus simple de faire, mais ce n’est pas la seule. En effet, dans certains exercices, pour corser un peu les choses, ce n’est pas le côté qui est donné, mais une autre information, comme une surface ou une diagonale. Dans tous les cas, la démarche est la même : vous devez calculer la longueur du côté. Ainsi, à partir de l’aire de surface du cube, c’est-à-dire de la surface de toutes les faces, il est possible de calculer le volume : vous devez dans un premier temps diviser l’aire de surface totale par 6, à la suite de quoi, vous prendrez la racine carrée de ce résultat, ce qui vous donnera la longueur du côté du cube. Dans un troisième temps, il vous suffira d’élever cette longueur au cube et vous aurez le volume de votre cube.

   • L'aire de surface d'un cube est donnée par la formule : $6a^{2}$, dans laquelle $a$ est la longueur d'un des côtés du cube. Cette formule n’est que la forme ramassée de la somme des aires des six faces, toutes identiques, chacune ayant pour formule $a^{2}$. La formule compacte est bien plus pratique pour les calculs.
   • Prenons un exemple concret, celui d’un cube qui aurait une aire de surface de $50\ cm^{2}$, et c’est là la seule information que vous possédez pour trouver le volume dudit cube. Comme cela a été dit précédemment, c’est suffisant pour trouver le volume.
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   Divisez l'aire de surface du cube par 6. Un cube étant un solide ayant six faces identiques, si vous divisez l'aire de surface par 6, vous obtenez la surface d’une face, et comme cette face est carrée par définition, cette surface est égale au côté de la face (donc du cube) élevé au carré.

   • Dans notre exemple, faites l’opération : ${\frac {50}{6}}$, ce qui donne environ $8,33\ cm^{2}$. Si vous voulez avoir tous les points de l’exercice, n’oubliez pas les unités carrées ($mm^{2},cm^{2}$).
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   Calculez la racine carrée de ce résultat. Étant donné que l'aire d'une des faces du cube est égale à $a^{2}$, soit $a\times a$ (a étant le côté), il suffit de prendre la racine carrée de ce résultat pour trouver la longueur du côté du cube. Une fois déterminée cette longueur, le calcul du volume n’est plus qu’une question d’élévation au cube.

   • Dans notre exemple, ${\sqrt {8,33}}$ équivaut à environ $2,89\ cm$.
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   Élevez ce résultat au cube pour trouver le volume du cube. À partir de la longueur du côté, il est facile de trouver le volume (V) de ce dernier, puisqu’il faut l’élever au cube, c’est-à-dire multiplier ce résultat deux fois par lui-même (trois fois au total), comme cela a été expliqué précédemment : c'est un cube !

   • Dans notre exemple, $V=2,89\times 2,89\times 2,89=24,14\ cm^{3}$. N’oubliez pas les unités si vous voulez avoir tous les points.
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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:

Calculer le volume d’un cube à partir des diagonales

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   Trouvez le côté du cube. Pour cela, divisez la diagonale d’une des faces du cube par ${\sqrt {2}}$. Par définition, la longueur de la diagonale ($d$) d’un carré s’établit comme suit : $d=a{\sqrt {2}}$, $a$ étant la longueur du côté du cube. Si, dans votre problème, vous n'avez que la longueur de la diagonale d’une des faces, pour trouver le cube, vous devez d’abord calculer la longueur du côté en divisant cette diagonale par ${\sqrt {2}}$. Une fois cette dimension trouvée, vous retombez dans le cas de figure précédent : il suffira d’élever cette longueur de côté au cube.

   • Prenons l’exemple d’un cube dont l’une des faces a une diagonale de 7 cm. Pour trouver la longueur du côté de la face (carrée), il suffit de faire : ${\frac {7}{\sqrt {2}}}$, soit 4,96 cm. Vous pouvez alors calculer le volume en élevant cette longueur au cube : $(4,96\ cm)^{3}=122,36\ cm^{3}$.
   • La relation entre un côté du cube ($a$) et la diagonale ($d$) d’une face est la suivante : $d^{2}=2a^{2}$. En effet, le théorème de Pythagore établit que, dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (le plus long côté) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si vous regardez bien ce qu’est la diagonale de la face d'un cube, vous verrez que c’est l’hypoténuse d'un triangle rectangle, deux des côtés formant entre eux un angle droit, d’où : $d^{2}=a^{2}+a^{2}$, c'est-à-dire $d^{2}=2a^{2}$.
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   Élevez au carré la longueur de la diagonale centrale. Si, dans un exercice de calcul du volume d’un cube, on ne vous donnait que la longueur de la diagonale interne (ou centrale), c’est-à-dire celle qui va d’un sommet au sommet diamétralement opposé, restez serein ! La formule qui lie la diagonale interne ($D$) au côté ($a$) est la suivante : $D^{2}=3a^{2}$. Pour trouver la longueur du côté, élevez au carré la longueur de cette diagonale centrale, divisez le résultat obtenu par 3, puis prenez-en la racine carrée. Ce qu’il faut bien comprendre, c’est que cette diagonale interne forme un triangle rectangle avec un côté et une diagonale faciale, et qu’elle en est l’hypoténuse.

   • Une fois de plus, vous devez recourir au théorème de Pythagore. Certes, vous êtes en trois dimensions, mais $D$ (diagonale interne), $d$ (diagonale faciale) et $a$ (côté) forment un triangle rectangle, $D$ étant l’hypoténuse. Selon le théorème, vous pouvez donc écrire que : $D^{2}=d^{2}+a^{2}$. Précédemment, vous avez vu que : $d^{2}=2a^{2}$, si bien que vous obtenez : $D^{2}=2a^{2}+a^{2}=3a^{2}$.
   • Prenons un exemple concret avec un cube dont la longueur d’un sommet au sommet diamétralement opposé, soit la diagonale interne ($D$), mesurerait 10 m. Pour obtenir le volume du cube en question, partez de la formule théorique et remplacez $D$ par sa valeur, ici 10.
     • $D^{2}=3a^{2}$
     • $10^{2}=3a^{2}$ ou $3a^{2}=10^{2}$
     • $3a^{2}=100$
     • $a^{2}=33,33$
     • $a=5,77\ m$. Connaissant la longueur du côté, vous l’élevez au cube et vous avez votre volume.
     • $(5,77\ m)^{3}=192,45\ m^{3}$
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