วิธีการ คำนวณหาปริมาตรของลูกบาศก์

ดาวน์โหลดบทความ

ดาวน์โหลดบทความ

ภายในบทความนี้:

นำความยาวด้านมายกกำลังสาม

การหาปริมาตรจากพื้นที่ผิว

การหาปริมาตรจากเส้นทแยงมุม

บทความที่เกี่ยวข้อง

ลูกบาศก์เป็นรูปสามมิติที่มีความกว้าง ความยาว และความสูงเท่ากัน เป็นรูปทรงซึ่งประกอบด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 6 หน้าที่มีขนาดเท่ากันมาประกบกัน เกิดเป็นจุดยอด 8 จุด ซึ่งแต่ละจุดจะล้อมรอบด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 3 หน้าที่มาประกบกันเป็นมุมฉาก การหาปริมาตรของลูกบาศก์อย่างง่ายที่สุดคือนำความกว้าง ยาว และสูงมาคูณกัน หรือ กว้าง × ยาว × สูง แต่เนื่องจากทั้งสามด้านมีขนาดเท่ากัน ดังนั้นจึงพูดได้ว่าปริมาตรของลูกบาศก์มีค่าเท่ากับ s³ โดย s คือความยาวด้านใดด้านหนึ่งของลูกบาศก์ ฟังดูยาก แต่ความจริงแล้วมันง่ายมาก เรามาเริ่มที่ขั้นตอนแรกกันเลย

ขั้นตอน

วิธีการ 1

วิธีการ 1 ของ 3:

นำความยาวด้านมายกกำลังสาม

ดาวน์โหลดบทความ

1. 
   1
   หาความยาวด้านใดด้านหนึ่งของลูกบาศก์. บ่อยครั้งที่โจทย์จะให้ความยาวด้านมาเมื่อถามหาปริมาตรของลูกบาศก์ ซึ่งถ้าโจทย์ใจดีให้ข้อมูลนี้มาด้วย คุณก็สามารถหาปริมาตรของลูกบาศก์ได้เลย แต่ถ้าโจทย์ใจร้ายไม่ยอมบอกความยาวด้านมาตรงๆ เช่นให้เส้นทแยงมุมมา คุณก็ต้องคำนวณหาด้วยวิธีที่สลับซับซ้อนสักหน่อย อย่างไรก็ตามถ้าโจทย์นั้นให้หาปริมาตรของวัตถุทรงลูกบาศก์ที่มีอยู่จริง คุณก็สามารถหาความยาวด้านได้ โดยใช้ไม้บรรทัดหรือสายวัดวัดวัตถุนั้นโดยตรงเลย

   • เพื่อให้เห็นภาพและง่ายต่อการเข้าใจ สมมติให้ลูกบาศก์มีความยาวด้านละ 2 นิ้ว (5.08 ซม.) เราจะนำความยาวนี้มาใช้เป็นตัวอย่างในการคำนวณหาปริมาตรของลูกบาศก์ในขั้นตอนต่อไป
2. 
   2
   นำความยาวด้านมายกกำลังสาม. เมื่อคุณหาความยาวด้านใดด้านหนึ่งของลูกบาศก์ได้แล้ว ก็นำตัวเลขนั้นมายกกำลังสามเลย หรือพูดอีกอย่างคือ นำตัวเลขนั้นมาคูณกันสองครั้ง ถ้าลูกบาศก์มีความยาวด้านละ s หน่วย ให้นำ s มาคูณกันสองครั้งดังนี้ s × s × s (หรือ s³ แบบแสดงให้เห็นการคูณ) แค่นี้คุณก็จะได้ปริมาตรของลูกบาศก์แล้ว

   • วิธีนี้เหมือนกับการหาพื้นที่ฐานแล้วคูณด้วยความสูงของลูกบาศก์ (หรือ กว้าง × ยาว × สูง) เพราะว่าพื้นที่ฐานเป็นผลคูณระหว่างความกว้างและยาว ดังนั้นเมื่อคูณด้วยความสูงจึงได้ปริมาตรของลูกบาศก์ และเนื่องจากความกว้าง ยาว และสูงของลูกบาศก์มีค่าเท่ากัน เราจึงสามารถนำด้านใดก็ได้มาใช้คำนวณหาปริมาตร โดยไม่ต้องเสียเวลาคิดว่าด้านนี้เป็นด้านกว้าง ยาว หรือสูง
   • เพื่อให้ง่ายต่อการเข้าใจ เราลองคำนวณจากตัวอย่างที่สมมติขึ้นมาดีกว่า ถ้าลูกบาศก์มีความยาวด้านละ 2 นิ้ว ดังนั้นลูกบาศก์มีปริมาตรเท่ากับ 2 × 2 × 2 (หรือ 2³) = 8 นิ้ว³
3. 
   3
   หน่วยของปริมาตรต้องอยู่ในรูปยกกำลังสาม. เนื่องจากปริมาตรคือขนาดของพื้นที่ที่เป็นสามมิติ หน่วยของปริมาตรจึงต้องอยู่ในรูปยกกำลังสามด้วย บ่อยครั้งที่เราทำโจทย์แล้วไม่เช็คหน่วยให้ถูกต้อง ส่งผลให้ถูกตัดคะแนนทั้งที่ควรได้คะแนนเต็ม ดังนั้นอย่าลืมเช็คหน่วยให้ถูกต้องเสมอ

   • จากตัวอย่างของเรา เนื่องจากความยาวด้านมีหน่วยเป็นนิ้ว ผลลัพธ์หลังจากหาปริมาตรจึงต้องมีหน่วยเป็น “ลูกบาศก์นิ้ว” หรือ "นิ้ว³" เพราะฉะนั้นคำตอบคือ 8 นิ้ว³
   • แต่ถ้าเราใช้หน่วยอื่นที่ไม่ใช่นิ้ว ผลลัพธ์หลังจากคำนวณปริมาตรก็จะมีหน่วยแตกต่างกันไป ตัวอย่างเช่น ถ้าแต่ละด้านของลูกบาศก์ยาว 2 เมตร ผลลัพธ์ที่ได้จะมีหน่วยเป็น ลูกบาศก์เมตร หรือ เมตร³
   โฆษณา

วิธีการ 2

วิธีการ 2 ของ 3:

การหาปริมาตรจากพื้นที่ผิว

ดาวน์โหลดบทความ

1. 
   1
   หาพื้นที่ผิวของลูกบาศก์. วิธีที่ ง่ายที่สุด ในการหาปริมาตรของลูกบาศก์คือการคำนวณจากความยาวด้านของลูกบาศก์ ซึ่งนอกจากวิธีนี้แล้วยังมีวิธีอื่นอีก นั่นคือการคำนวณจากพื้นที่ผิวของลูกบาศก์ ถ้าเรารู้ข้อมูลใดข้อมูลหนึ่ง ไม่ว่าจะเป็นความยาวด้านหรือพื้นที่ผิว เราก็จะสามารถหาปริมาตรของลูกบาศก์ได้ ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณรู้ขนาดของพื้นที่ผิวของลูกบาศก์ ให้นำตัวเลขนั้นมาหารด้วย 6 แล้วใส่สแควรูทลงไป แล้วคุณก็จะได้ความยาวด้านของลูกบาศก์ จากนั้นก็คำนวณหาปริมาตรตามวิธีการข้างต้น อ่านแล้วอาจจะงง งั้นเรามาดูที่มาของวิธีนี้กันดีกว่า

   • สูตรการหาพื้นที่ผิวของลูกบาศก์คือ 6s² โดย s คือความยาวด้านของลูกบาศก์ สูตรนี้เหมือนกับการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหกด้านแล้วนำมารวมกัน ดังนั้นการหาความยาวด้านจึงต้องนำพื้นที่ผิวมาหารด้วย 6 แล้วถอดสแควรูท ซึ่งเราจะใช้สูตรนี้ในการหาปริมาตรจากพื้นที่ผิวของลูกบาศก์
   • เพื่อให้เห็นภาพ ลองดูตัวอย่างต่อไปนี้ สมมติให้ลูกบาศก์มีพื้นที่ผิว 50 ซม.² เราไม่รู้ว่าแต่ละด้านยาวเท่าไหร่ จึงต้องหาความยาวด้านจากวิธีการข้างต้น ซึ่งสามารถดูวิธีทำได้ในขั้นตอนถัดไป
2. 
   2
   นำพื้นที่ผิวของลูกบาศก์มาหารด้วย 6. เนื่องจากลูกบาศก์ประกอบด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 6 หน้า เมื่อหารพื้นที่ผิวด้วย 6 เราก็จะได้พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 1 หน้า ซึ่งพื้นที่นี้จะมีขนาดเท่ากับความยาวด้านสองด้านคูณกัน (กว้าง × ยาว, ยาว × สูง or สูง × กว้าง)

   • จากตัวอย่างของเรา ลูกบาศก์มีพื้นที่ผิว 50 ซม.² เมื่อหารด้วย 6 ก็จะได้ 50/6 = 8.33 ซม.² อย่าลืมว่าขั้นตอนนี้เป็นการคำนวณจากพื้นที่ผิวซึ่งเป็นรูปสองมิติ ดังนั้นหน่วยจึงอยู่ในรูป ยกกำลังสอง (เช่น ซม.² นิ้ว² ฯลฯ)
3. 
   3
   นำผลลัพธ์ที่ได้มาใส่สแควรูท. เนื่องจากพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีค่าเท่ากับ s² (ด้าน × ด้าน) ดังนั้นจึงต้องใส่สแควรูทเพื่อให้ได้ผลลัพธ์เป็นความยาวด้าน ซึ่งเมื่อได้ความยาวด้านแล้ว คุณก็สามารถคำนวณหาปริมาตรได้ตามวิธีการข้างต้น

   • จากตัวอย่างของเรา เมื่อได้พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับ 8.33 แล้ว ก็นำมาใส่สแควรูท ดังนั้นลูกบาศก์มีความยาวด้าน √8.33 = 2.89 ซม.
4. 
   4
   นำผลลัพธ์ที่ได้มายกกำลังสาม. เมื่อคุณรู้ความยาวด้านแล้ว ก็นำความยาวนั้นมายกกำลังสาม (หรือคูณกันสองครั้ง) เพื่อหาปริมาตรของลูกบาศก์ ถึงจุดนี้คุณก็จะได้ปริมาตรโดยการคำนวณจากพื้นที่ผิวของลูกบาศก์ ยินดีด้วย เย่ๆ

   • จากตัวอย่างของเรา เมื่อได้ความยาวด้าน 2.89 ซม.³ แล้ว ก็นำความยาวนี้มาคูณกันสองครั้ง ดังนั้นลูกบาศก์มีปริมาตร 2.89 × 2.89 × 2.89 = 24.14 ซม.³ อย่าลืมว่าหน่วยต้องอยู่ในรูปยกกำลังสามเสมอ
   โฆษณา

วิธีการ 3

วิธีการ 3 ของ 3:

การหาปริมาตรจากเส้นทแยงมุม

ดาวน์โหลดบทความ

1. 
   1
   นำเส้นทแยงมุมบนหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสของลูกบาศก์มาหารด้วย √2 เพื่อหาความยาวด้านของลูกบาศก์. จากนิยาม เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีค่าเท่ากับ √2 × ความยาวด้าน ดังนั้นถ้าเรารู้ความยาวเส้นทแยงมุมบนหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสของลูกบาศก์ เราก็จะสามารถหาความยาวด้านของลูกบาศก์ได้ โดยนำความยาวนั้นมาหารด้วย √2 เมื่อได้ความยาวด้านแล้ว คุณก็สามารถหาปริมาตรของลูกบาศก์ได้ตามวิธีในข้างต้น

   • ตัวอย่างเช่น สมมติให้เส้นทแยงมุมบนหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสของลูกบาศก์ยาว 7 ฟุต เราสามารถหาความยาวด้านของลูกบาศก์ได้โดยนำ 7 มาหารด้วย √2 ซึ่งจะได้ 7/√2 = 4.96 ฟุต เมื่อรู้ความยาวด้านแล้วก็นำมันมายกกำลังสาม ดังนั้นลูกบาศก์มีปริมาตร 4.96³ = 122.36 feet³.
   • จำไว้ว่ารูปทั่วไปของความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของเส้นทแยงมุมกับความยาวด้านคือ d² = 2s² โดย d คือความยาวของเส้นทแยงมุมบนหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสของลูกบาศก์ ส่วน s คือความยาวด้านของลูกบาศก์ ที่เป็นเช่นนี้ก็เพราะ จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส บนสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่บนด้านตรงข้ามมุมฉาก มีพื้นที่เท่ากับผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปที่อยู่บนด้านประชิดมุมฉาก จะเห็นได้ว่าเส้นทแยงมุมและด้านทั้งสองด้านบนหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสของลูกบาศก์ประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งตรงกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส ดังนั้นจึงสามารถเขียนอยู่ในรูปทั่วไปได้ว่า d² = s² + s² = 2s²
2. 
   2
   นำเส้นทแยงมุมในลูกบาศก์มาหารด้วย √3 เพื่อหาความยาวด้านของลูกบาศก์. ถ้าโจทย์ให้ความยาวของเส้นทแยงมุมในลูกบาศก์ หรือเส้นที่ลากจากมุมหนึ่งไปยังอีกมุมหนึ่งที่อยู่ตรงข้ามของลูกบาศก์ เราก็สามารถหาปริมาตรของลูกบาศก์ได้เช่นกัน เนื่องจากเส้นทแยงมุมดังกล่าว เมื่อประกอบกับด้านหนึ่งของลูกบาศก์กับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแล้ว มีรูปร่างเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีเส้นทแยงมุมในลูกบาศก์เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้นจึงสามารถเขียนอยู่ในรูปทั่วไปได้ว่า D² = 3s² โดย D คือความยาวของเส้นทแยงมุมในลูกบาศก์

   • ที่อยู่ในรูปดังกล่าวก็เพราะทฤษฎีบทพีทาโกรัสอีกเช่นกัน กล่าวคือเส้น D d และ s ประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่ D เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้นตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงเขียนได้ว่า D² = d² + s². และเนื่องจาก d² = 2s² (มาจากวิธีที่แล้ว) เพราะฉะนั้นเมื่อนำมาแทนค่าก็จะเขียนได้ว่า D² = 2s² + s² = 3s².
   • เพื่อให้ง่ายต่อการเข้าใจ สมมติให้เส้นทแยงมุมในลูกบาศก์ หรือเส้นที่ลากจากมุมหนึ่งจากฐานไปยังอีกมุมหนึ่งที่อยู่ตรงข้ามซึ่งอยู่ด้านบน มีความยาว 10 เมตร เราสามารถหาปริมาตรของลูกบาศก์ได้โดยการแทนค่า 10 ลงไปใน "D" ในสมการข้างต้น ซึ่งมีวิธีทำดังนี้
     • D² = 3s².
     • 10² = 3s².
     • 10 = s√3
     • 10/√3 = s²
     • 5.77 เมตร = s เมื่อได้ความยาวด้านแล้ว ก็แค่นำมันไปยกกำลังสามเพื่อหาปริมาตรของลูกบาศก์
     • 5.77³ = 192.45 เมตร³
   โฆษณา