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정육면체는 가로, 세로, 높이의 길이가 전부 같은 삼차원 도형이다. 정육면체는 정확히 일치하는 여섯개의 면으로 이루어져 있으며 모든 면은 같은 넓이를 가지고 직각을 이루고 있다. 이런 도형의 부피를 구하는 것은 매우 쉽다. 다음처럼 가로 × 세로 × 높이를 곱하기만 하면 되기 때문이다. 게다가 정육면체는 모든 모서리의 길이가 같기 때문에 한 모서리의 길이를 s라고 한다면 부피를 s3처럼 표현할 수도 있을 것이다. 이제 기본적인 내용을 알았으면, 이 글을 통해 정육면체의 부피를 구하는 방법을 단계별로 배워보도록 하자.
단계
모서리의 길이 구하기. 일단 정육면체의 부피를 찾기 위해서는 한 변(모서리)의 길이를 알 필요가 있다. 물론 모서리의 길이가 주어졌다면 바로 부피를 구할 수 있겠지만, 실제로 정육면체가 물리적으로 주어진 상태에서 부피를 구하려 한다면 먼저 모서리의 길이를 측정해야 할 것이다. 자나 줄자, 테이프 줄자 등의 측정 도구를 이용해 정육면체의 한 변의 길이를 재어본다.- 정육면체의 부피를 모서리의 길이를 아는 것으로 어떻게 구할 수 있는지는 예를 들어 설명하도록 하겠다. 일단 첫 번째 단계를 거쳐 한 모서리의 길이를 측정했을 때 2 인치가 나왔다고 하자. 이 정보를 사용해 다음 단계에서 부피를 구해보도록 하겠다.
모서리의 길이를 세제곱하기. 일단 정육면체의 한 모서리의 길이를 구했으면 그 숫자를 세 번 곱한다. 다른 말로는 세제곱을 하면 된다. 예를 들어 s가 한 모서리의 길이라고 하면 s × s × s (아니면 짧게 줄여 s3로 쓸 수도 있다)가 모서리의 세제곱이 될 것이다. 계산이 끝났으면 이제 부피를 구한 것이나 다름없다!- 이 과정은 먼저 정육면체의 밑면의 넓이를 구해 높이를 곱한 것과 같다(가로 길이 × 서로 길이 × 높이). 일단 밑면의 넓이는 가로와 세로 길이를 곱하면 되지만 정육면체는 가로, 세로, 높이의 길이가 동일하므로 결국 세제곱을 하는 것이나 다름없다.
- 아까 위에서 구한 한 모서리의 길이 2인치를 세제곱하면 다음처럼 된다. 2 x 2 x 2 (23) = 8.
답을 세제곱단위로 쓰기. 부피는 삼차원 공간을 나타내고 있기 때문에 단위 역시 부피의 정의에 따라 세제곱으로 쓸 필요가 있다. 만약 학교 숙제를 하고 있다면 꼭 단위를 쓰도록 하자. 부피를 계산할 때 단위를 무시하게 되면 점수가 깎일 수도 있다. 단위는 아주 중요한 정보이므로 항상 제대로 표기해야 한다!- 우리가 사용한 예시에서는 처음에 인치로 단위를 적었었다. 따라서 최종적으로 부피를 구했을 때 단위는 "세제곱인치"( in3)가 되어야 할 것이다. 정육면체의 부피가 8이었으므로, 답은 8 in3이 될 것이다.
- 만약 다른 단위를 썼다 하더라도 결과는 세제곱으로 써야 할 것이다. 예를 들어 인치가 아니라 단위가 미터였으면 2 미터를 세 번 곱해 부피를 구했을 때 답에 세제곱미터(m3)를 적어야 할 것이다.
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정육면체의 한 면의 넓이 구하기. 정육면체의 부피를 구하기 가장 쉬운 방법은 그냥 한 모서리의 길이를 구해 세제곱하는 것이다. 하지만 이 방법이 유일한 방법은 아니다. 정육면체라는 도형의 한 모서리의 길이나 한 면의 넓이는 정육면체의 다른 여러 정보들로부터 유도해낼 수 있다. 만약 당신에게 정육면체에 대한 어떤 정보가 주어졌다면 부피를 찾는 것은 일도 아닐 것이다. 예를 들어 정육면체의 겉넓이가 주어졌다고 가정하자. 그러면 어떻게 부피를 구할 것인가? 답은 간단하다. 겉넓이를 6으로 나눈 값의 제곱근을 구하면 정육면체의 한 모서리의 길이를 구할 수 있다. 한 모서리의 길이를 구했으면 아까 위에서 했던 바와 같이 세제곱을 하면 부피를 구할 수 있다. 이제 실제 숫자를 가지고 과정을 차근차근 따라가 보도록 하자.- 정육면체의 겉넓이 공식은 다음과 같다. 6s2, 여기서 s는 정육면체의 한 모서리의 길이를 의미한다. 이 공식은 단순히 정육면체의 한 면을 구해 6번 더한 것과 같다. 우리 역시 이 공식을 이용해 겉넓이로부터 부피를 유도해내는 방법을 배워볼 것이다.
- 예를 들어 우리에게 주어진 정육면체의 겉넓이가 50 cm2라고 하자. 모서리의 길이는 주어지지 않았다. 이를 구해 정육면체의 부피를 구하는 과정은 다음 단계에서 설명하도록 하겠다.
정육면체의 겉넓이 6으로 나누기. 일단 정육면체의 면이 6개인 것은 알고 있을 것이며, 그 면들이 서로 같은 넓이를 가지고 있는 것 역시 알고 있을 것이다. 따라서 겉넓이가 주어졌다면 6으로 나눠 한 면의 넓이를 구할 수 있다. 그리고 한 면의 넓이는 두 모서리를 곱한 것과 같다(l × w, w × h, h × l).- 아까의 계산을 계속하자면 50/6 = 8.33 cm2이 나올 것이다. 여기서 우리는 넓이를 구한 것이기 때문에 단위를 제곱으로 써야 한다(cm2).
구한 값에 루트 씌우기. 정육면체의 한 면의 넓이는 s2 (s × s)와 같다. 따라서 한 모서리 s의 길이를 구하기 위해서는 구한 넓이의 제곱근을 구해야 한다. 따라서 루트를 씌워 모서리의 길이를 구하면 부피를 구하기 위한 모든 준비가 갖춰진 것이나 다름없다.- 아까의 계산을 이어서 하면 √8.33 = 2.89 cm이 나온다.
구한 값을 세제곱해 부피 구하기. 이제 한 모서리의 길이를 구했으니 세제곱을 해 부피를 구하면 된다. 이미 위에서 설명한 바 있으니 자세한 것은 생략하도록 하겠다. 이런 과정을 거쳐 정육면체의 겉넓이로부터 부피를 구할 수 있다는 점만 알아두자.- 우리에게 주어진 값으로 계산을 계속하면, 2.89 × 2.89 × 2.89 = 24.14 cm3가 나온다. 마지막에 단위를 세제곱으로 쓰는 것을 잊지 않도록 하자.
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한 면의 대각선의 길이가 주어졌을 때 √2로 나눠 모서리의 길이 구하기. 정의에 따르면 정사각형의 대각선 길이는 √2 × 정사각형의 한 변의 길이이다. 따라서 만약 문제에서 정육면체의 한 면의 대각선 길이만 주어졌다면 먼저 그 길이를 루트2로 나눠 모서리의 길이를 구해야 할 것이다. 모서리의 길이를 구했으면 앞에서 설명했던 것처럼 쉽게 부피를 구할 수 있다.- 예를 들어 우리에게 주어진 정육면체의 한 면의 대각선 길이가 7 피트라고 하자. 먼저 이 값을 루트2로 나누면 다음처럼 될 것이다. 7/√2 = 4.96 피트. 이제 한 모서리의 길이를 구했으니 세제곱을 해 부피를 구하면 되겠다. 4.963 = 122.36 피트3.
- 일반적으로 이 과정은 다음 식으로 나타낼 수 있다. d2 = 2s2. d는 정육면체의 한 면의 대각선 길이이며 s는 정육면체의 한 모서리의 길이이다. 이렇게 쓸 수 있는 이유는 피타고라스의 정리에 따라 식을 유도했기 때문이다. 피타고라스의 정리는 직각삼각형에서 빗변의 길이의 제곱이 나머지 두 변의 길이의 제곱을 합한 것과 같다는 것이다. 위 그림을 보면 정육면체의 한 면의 대각선을 다른 두 모서리와 이었을 때 직각삼각형이 되는 것을 확인할 수 있다. d2 = s2 + s2 = 2s2.
정육면체의 대각선 길이가 주어졌을 때는 대각선을 제곱하고 3으로 나눈 뒤 제곱근의 값을 구해 한 모서리의 길이 계산하기. 만약 문제에서 정육면체의 대각선 길이만 주어졌다고 하자. 여기서 말하는 정육면체의 대각선이란 정육면체의 위쪽 꼭짓점으로부터 선을 그어 중심을 통과해 반대 방향의 아래쪽 꼭짓점으로 이어지는 선을 의미한다. 이 길이를 가지고도 정육면체의 부피를 쉽게 구할 수 있다. 왜냐하면 바로 위에서 설명했던 피타고라스 정리를 이용하면 정육면체의 대각선이 d가 되기 때문이다. 여기서는 편의상 D라고 쓰도록 하겠다. 이제 식을 정리하면 다음과 같이 된다. D2 = 3s2. 다시 설명하자면 D는 정육면체의 대각선을 의미한다.- 피타고라스 정리에 의해 D, d, s는 직각삼각형을 이룬다. 그리고 D가 빗변이 되므로 D2 = d2 + s2처럼 표현할 수 있다. 그리고 위에서 d2 = 2s2로 정리함에 따라 이제 D2 = 2s2 + s2 = 3s2라고 써도 무방할 것이다.
- 예를 들어 우리에게 주어진 정육면체의 대각선 길이가 10m라고 가정하자. 그러면 위의 식의 "D"부분에 10을 대입해 다음처럼 풀어나갈 수 있을 것이다:
- D2 = 3s2.
- 102 = 3s2.
- 100 = 3s2
- 33.33 = s2
- 5.77 m = s. 이제 한 모서리의 길이를 구했으니 부피를 구하면 된다.
- 5.773 = 192.45 m3
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