Comment additionner des nombres binaires - Conseils d'experts de How.com.vn

À bien y regarder, le système de numération binaire fonctionne comme comme le système décimal que nous utilisons, sauf que la base au lieu d'être 10 est 2, si bien que tout nombre binaire n'est composé que de deux chiffres : 0 et 1 ^{[1]XSource de recherche}. En fait, ce système n'est pas très pratique dans la vie courante, par contre il est fondamental dans le fonctionnement des ordinateurs ^{[2]XSource de recherche}. Ainsi, quand une fonction informatique est fausse, c'est le 0 qui lui est attribué, si elle est vérifiée, c'est le 1 ^{[3]XSource de recherche}. L'addition des nombres binaires se déroule exactement comme celle des nombres décimaux, avec retenues si nécessaire, mais comme nous ne sommes pas habitués à cette base 2 et aux longs nombres qu'elle génère, on est facilement perdu. C'est pourquoi avant de se lancer dans l'addition, il faut bien comprendre comment fonctionnent les nombres en base 2.

Partie 1

Partie 1 sur 3:

Comprendre le système de numération binaire

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Tracez un tableau de conversion. Faites-en un avec deux lignes et quatre colonnes. Indiquez sur la ligne du haut la valeur du rang. Le système de numération binaire est un système en base 2, ce qui fait qu'il y a des unités, mais pas de dizaines, de centaines ou de milliers, comme dans le système décimal. À la place, on a des puissances de 2, comme $2^{0}=1$ $How.com.vn Français: 2^{{0}}=1$ , $2^{1}=2$ $How.com.vn Français: 2^{{1}}=2$ , $2^{2}=4$ $How.com.vn Français: 2^{{2}}=4$ ^{[4]XSource de recherche}… Les unités sont toujours dans la colonne la plus à droite de votre tableau et ici, nous ne prendrons pour la démonstration que quatre rangs.
- Pour les besoins de la cause, vous pouvez très bien agrandir votre tableau sur la gauche, vous ajouterez chaque fois une puissance de 2 supérieure d'une unité ^{[5]XSource de recherche}. À titre d'exemple, vous pouvez faire un tableau avec les libellés suivants (de la droite vers la gauche) :
  $2^{0}=premi{\grave {e}}re\ colonne$ (unités)
  $2^{1}=deuxi{\grave {e}}me\ colonne$
  $2^{2}=troisi{\grave {e}}me\ colonne$
  $2^{3}=quatri{\grave {e}}me\ colonne$
  $2^{4}=cinqui{\grave {e}}me\ colonne$
  $2^{5}=sixi{\grave {e}}me\ colonne$
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Inscrivez un nombre binaire sur la ligne du bas. Prenez celui que vous voulez, à condition qu'il ne contienne que des 1 et des 0 ^{[6]XSource de recherche}.
- Si vous preniez 1101, vous inscririez un 1 dans la quatrième colonne, 1 dans la troisième, 0 dans la deuxième et enfin, 1 dans la dernière à droite.
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Sachez interpréter la colonne des unités. S'il y avait un 0 dans cette colonne, sa valeur décimale serait 0 et si c'était un 1, sa valeur décimale serait 1, rien de très nouveau.
- Ainsi, dans le nombre binaire 1101, il y a une unité (le dernier 1) : sa valeur décimale est donc 1. En somme, le nombre binaire 1 est égal au chiffre décimal 1 : c'est l'unique cas de ce type.
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Sachez interpréter la deuxième colonne. Si vous avez un 0 en deuxième position, sa valeur décimale serait 0. Par contre, si vous aviez 1 dans cette colonne, sa valeur décimale serait 2.
- Dans le même nombre binaire 1101, vous avez un 0 en deuxième position : sa valeur décimale est donc 0. Finalement, le nombre binaire 01 équivaut au chiffre décimal 1, car vous avez :
  (0 x 2) + (1 x 1), soit 0 + 1 = 1.
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Sachez interpréter la troisième colonne. Si vous aviez un 0 en troisième position, sa valeur décimale serait 0, mais si vous aviez un 1, sa valeur décimale serait 4.
- Reprenons notre exemple. En troisième position, vous avez un 1 (1101), sa valeur décimale est donc 4, ce qui fait que le nombre binaire 101 converti en valeur décimale donne :
  (1 x 4) + (0 x 2) + (1 x 1) = 4 + 0 + 1 = 5.
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Sachez interpréter la quatrième colonne. Si vous aviez un 0 en quatrième position, sa valeur décimale serait 0 et s'il y avait un 1, sa valeur décimale serait 8.
- Terminons avec le nombre binaire 1101. En quatrième position, vous avez un 1, sa valeur décimale est donc 8, ce qui fait que le nombre binaire 1101 converti en valeur décimale donne :
  (1 x 8) + (1 x 4) + (0 x 2) + (1 x 1) = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.
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Partie 2

Partie 2 sur 3:

Additionner des nombres binaires en utilisant la valeur des rangs

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Posez votre addition. Posez-la comme vous le feriez pour une addition classique, en alignant les valeurs de même rang. Faites la somme de la colonne de droite (unités). Comme les chiffres ne peuvent être que 0 et 1, la somme sera 0, 1 ou 2. Si la somme est 0 ou 1, inscrivez cette valeur sous le trait d'opération. Par contre, si le résultat était 2, vous inscririez 0 sous le trait et un 1 de retenue au-dessus de la deuxième colonne ^{[7]XSource de recherche}.
- Ainsi, pour additionner 0111 et 1110, dans la colonne des unités, vous allez additionner 1 et 0, ce qui fait 1, chiffre que vous allez placer directement au bas de votre opération.
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Additionnez les chiffres de la deuxième colonne. Le résultat sera 0, 1, 2, voire 3, s'il y a une retenue. Si la somme est 0 ou 1, inscrivez cette valeur sous le trait d'opération en deuxième position. Si la somme est 2, comme précédemment, inscrivez 0 comme réponse et mettez un 1 en retenue au-dessus de la troisième colonne. Enfin, si la somme est 3, inscrivez 1 comme réponse et mettez un 1 en retenue au-dessus de la troisième colonne. En effet, si 2₁₀ (lisez « 2 en base 10 ») = 10₂(lisez « 10 en base 2 »), alors 3₁₀ = 11₂.
- Dans la somme 0111 + 1110, avec la deuxième colonne, vous additionnez 1 et 1 (chiffres déjà en place), soit 2, auquel vous ajoutez 1 de retenue, soit 3. En conséquence, vous mettez 1 comme résultat sous le trait et 1 de retenue au-dessus de la troisième colonne.
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Additionnez les chiffres dans la troisième colonne. À nouveau, le résultat sera 0, 1, 2, voire 3, s'il y a une retenue. Si la somme est 0 ou 1, inscrivez cette valeur sous le trait d'opération en troisième position. Si la somme est 2, comme précédemment, inscrivez 0 comme réponse et mettez un 1 en retenue au-dessus de la quatrième colonne. Enfin, si la somme est 3, inscrivez 1 comme réponse et mettez un 1 en retenue au-dessus de la quatrième colonne.
- Dans la somme 0111 + 1110, avec la troisième colonne, vous additionnez 1 et 1 (chiffres déjà en place), soit 2, auquel vous ajoutez 1 de retenue, soit 3. En conséquence, vous mettez 1 comme résultat sous le trait et 1 de retenue au-dessus de la quatrième colonne.
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Continuez votre addition. Vous avez maintenant compris comment l'addition fonctionnait, appliquez toujours le même principe en retenant que : 0₁₀ = 0₂, 1₁₀ = 1₂, 2₁₀ = 10₂, et 3₁₀ = 11₂.
- Dans la somme 0111 + 1110, avec la quatrième colonne, vous additionnez 0 et 1 (chiffres déjà en place), soit 1, auquel vous ajoutez 1 de retenue, soit 2. Comme votre addition est terminée et qu'il n'y a plus de colonne, vous n'avez pas de retenue et vous inscrivez votre résultat tel quel, soit 10, car 2₁₀ = 10₂. Ainsi donc, 0111 + 1110 = 10101.
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Partie 3

Partie 3 sur 3:

Additionner des nombres binaires en opérant par paires

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Posez votre addition. Posez-la comme vous le feriez pour une addition classique. Encerclez les paires de 1 (chiffres) de la colonne des unités. Pour rappel, la colonne la plus à droite est celle des unités, comme en base 10.
- Dans la première colonne de l'addition 1010 + 1111 + 1011 + 1110, vous avez une seule paire de 1 à entourer.
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Commencez par la colonne de droite. Chaque fois que vous encerclerez une paire de 1, vous mettrez un de retenue au-dessus de la colonne immédiatement à gauche. Inscrivez alors la somme des chiffres non encerclés de la colonne, ce sera forcément 1 ou 0. S'il n'y a plus aucun chiffre, inscrivez 0 et si vous trouvez 2, c'est que vous avez oublié d'entourer une paire de 1 ^{[8]XSource de recherche}.
- Dans notre exemple, dans la colonne de droite, vous avez entouré une paire de 1, vous mettez 1 en retenue sur la deuxième colonne. Il vous reste 0 et 0 : inscrivez la somme de ces deux chiffres sous le trait d'opération, soit 0 (0 + 0).
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Encerclez les paires de 1 dans la deuxième colonne. Bien entendu, la ou les retenues sont à prendre en compte.
- Ainsi, pour additionner 1010 + 1111 + 1011 + 1110, dans la deuxième colonne, vous entourez deux paires de 1, ce qui fait deux retenues de 1 dans la troisième colonne. Il reste un 1 inutilisé.
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Sachez interpréter la deuxième colonne. Comme précédemment, toute paire de 1 encerclée entraine un 1 de retenue. Inscrivez alors la somme des chiffres non encerclés de la colonne, ce sera forcément 1 ou 0. S'il n'y a plus aucun chiffre, inscrivez 0 et si vous trouvez 2, c'est que vous avez oublié d'entourer une paire de 1.
- Dans notre exemple (1010 + 1111 + 1011 + 1110), les deux paires de 1 ont été transformées en deux 1 de retenue, et il vous reste le 1 de la retenue précédente : c'est ce chiffre que vous allez inscrire sous le trait.
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Encerclez les paires de 1 de la troisième colonne. N'oubliez pas la ou les retenues précédentes situées en haut de colonne.
- Dans la troisième colonne de l'addition 1010 + 1111 + 1011 + 1110, vous avez 4 chiffres 1, y compris les deux 1 de retenue, qui se transforment donc en deux retenues de 1 au-dessus de la colonne immédiatement à gauche, la quatrième.
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Sachez interpréter la troisième colonne. Inscrivez alors la somme des chiffres non encerclés de la colonne, ce sera forcément 1 ou 0. S'il n'y a plus aucun chiffre, inscrivez 0 et si vous trouvez 2, c'est que vous avez oublié d'entourer une paire de 1.
- Dans notre exemple, deux paires de 1 ont été transformées en deux 1 de retenue au-dessus de la colonne suivante, et il vous reste 0 et 0 qui, additionnés, donnent 0, chiffre que vous allez donc inscrire sous le trait.
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Continuez votre addition. Vous avez maintenant compris comment fonctionne le principe des paires de 1 : quand vous les annulez, vous les remplacez par un 1 en retenue dans la colonne située à gauche. Une fois toutes les paires repérées, vous faites la somme des chiffres restants de la colonne, somme qui sera mise sous le trait d'opération.
- Terminons l'addition 1010 + 1111 + 1011 + 1110. Dans la colonne de gauche, vous avez 3 paires de 1, ce qui fait que, dans la colonne suivante qui n'existe pas, mais qu'il faut bien créer artificiellement, vous mettez trois 1 de retenue. Comme il ne vous reste aucun chiffre dans la colonne, vous inscrivez un 0 sous le trait d'opération. Quant à la dernière colonne, la cinquième, elle est composée de trois 1 que vous additionnez : le résultat est 3, soit 11, car 3₁₀ = 11₂. La réponse définitive est : 1010 + 1111 + 1011 + 1110 = 110010.
Sur Internet, vous trouverez de nombreuses calculatrices binaires qui font soit les conversions pures soit les sommes ^{[9]XSource de recherche}.
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