Jak spočítat poměry

Poměr (koeficient) je matematický výraz, který slouží k porovnání dvou či více čísel. Lze s ním porovnávat absolutní počty a množství, nebo jej využít k porovnání podílů většího celku. Poměry lze vypočítat a zapsat několika způsoby, principy jejich využití jsou však univerzální.

Část 1

Část 1 ze 3:

Pochopení poměrů

Stáhnout PDF

Poměry lze jak v akademickém, tak v reálném světě využít k vzájemnému porovnání několika počtů či množství. Nejjednodušší poměr porovnává pouze dvě hodnoty, je však možné sestavit i poměr tří a více hodnot. Poměr lze použít v jakékoliv situaci, kdy je třeba srovnat dvě či více odlišných čísel. Porovnáním množství ve vzájemném poměru lze popsat chemické vzorce, nebo rozšířit recepty na vaření. Jakmile poměry pochopíte, budete je používat po celý zbytek života. ^{[1]XZroj výzkumu}
2
Pochopte, co poměr udává. Jak již zaznělo, poměry udávají množství nejméně dvou prvků ve vzájemném vztahu. Pokud například koláč obsahuje dva hrnky mouky a jeden hrnek cukru, můžete říct, že je poměr mouky k cukru 2 ku 1.
- Poměry lze využít ke znázornění vztahu jakýchkoliv prvků, i pokud se k sobě přímo nevážou (jako je tomu v receptu). Například pokud je ve třídě pět holek a deset kluků, je poměr holek ke klukům roven 5 ku 10. Žádné z množství prvků zde nezávisí ani není svázáno s jiným a může se změnit, pokud někdo odejde, nebo naopak přibude nový student. Poměr prostě pouze porovnává počty.
3
Povšimněte si rozdílných způsobů vyjádření poměrů. Můžete je zapsat slovy, nebo je vyjádřit matematickými symboly. ^{[2]XZroj výzkumu}
- Běžně se setkáte s poměry vyjádřenými slovně (jako výše). Používají se velmi běžně v řadě podob, proto se s nimi mimo matematické a vědecké pole setkáte asi nejčastěji.
- Poměry jsou často vyjadřovány pomocí dvojtečky. Při porovnání dvou čísel v poměru použijte dvojtečku (například 7 : 13), při porovnání více než dvou čísel ji pak napište mezi každou dvojici čísel (například 10 : 2 : 23). V našem příkladu se třídou bychom mohli porovnat počet chlapců ku počtu holek poměrem 5 holek : 10 kluků. Zapsat to můžeme jednoduše jako 5 : 10.
- Poměry se také někdy vyjadřují notací zlomků. V případě naší třídy bychom 5 holek a 10 kluků zapsali jako 5/10. V tom případě však nečtěte tento zápis jako zlomek, protože tato čísla nereprezentují podíl z celku.
Reklama

Část 2

Část 2 ze 3:

Využití poměrů

Stáhnout PDF

1
Zjednodušte poměr do nejkratší podoby. Poměry lze krátit a zjednodušovat jako zlomky tím, že z čitatele i jmenovatele odstraníte všechny společné činitele. Pro zjednodušení zlomku dělte všechny prvky zlomku jejich společným dělitelem, dokud takový dělitel existuje. Přitom je však důležité neztratit přehled o původních množstvích, které na počátku poměr udávaly. ^{[3]XZroj výzkumu}
- Ve výše uvedeném příkladu s třídou 5 holek na 10 kluků (5 : 10) jsou obě strany poměru dělitelné 5. Vydělte je tedy 5 (největším společným jmenovatelem), abyste dostali 1 holku na 2 kluky (čili 1 : 2). Ani po zkrácení poměru bychom však neměli zapomínat na původní počty. Ve třídě je žáků celkem 15, nikoliv 3. Zkrácený poměr slouží pouze k porovnání vztahu mezi kluky a holkami. Na každou holku zde připadají 2 kluci, celkově však nejsou přesně 2.
- Některé poměry zkrátit nelze. Například 3 : 56 nelze zkrátit, protože tato dvě čísla nemají společný dělitel. Číslo 3 je prvočíslem a 56 není dělitelné 3.
2
Pro "škálování" poměrů využijte násobení a dělení. Jakýkoliv běžný typ příkladu zahrnujícího poměry může obsahovat i stejnoměrné zvětšování či zmenšování obou čísel. Násobením či dělením všech prvků poměru stejným číslem vytvoříte poměr stejných proporcí jako původní. K úpravě velikosti poměru tedy stačí celý výraz vynásobit či vydělit číslem zvětšení či zmenšení. ^{[4]XZroj výzkumu}
- Například pekař potřebuje ztrojnásobit recept na koláč. Když je normální poměr mouky a cukru 2 ku 1 (2 : 1), obě čísla pak musí zvýšit třikrát. Správné množství v novém receptu je nyní 6 hrnků mouky na 3 hrnky cukru (6 : 3).
- Tento postup lze i obrátit. Pokud by pekař potřeboval pouze polovinu normální receptu, obě množství může vynásobit 1/2 (tedy vydělit dvěma). Výsledkem by byl 1 hrnek mouky na 1/2 (0,5) hrnku cukru.
3
Zjistěte neznámé při zadání dvou ekvivalentních poměrů. Dalším běžným typem příkladu s poměry je ten, kde máte zjistit neznámou z jednoho poměru, když znáte další číslo v prvním i druhém poměru, které jsou navzájem ekvivalentní. Při využití techniky násobení křížem je řešení poměrně snadné. Napište si každý z poměrů ve tvaru zlomku, poté je položte vzájemně rovny a vynásobte křížem. ^{[5]XZroj výzkumu}
- Řekněme například, že máme menší skupinku studentů ve složení 2 chlapců a 5 slečen. Pokud bychom měli zachovat poměr chlapců a děvčat, kolik chlapců by muselo být ve třídě s 20 děvčaty? Při řešení vytvoříme dva zlomky, jeden s neznámou: 2 chlapci : 5 děvčat = x chlapců : 20 děvčat. Když tyto poměry převedeme do tvaru zlomků, dostaneme 2/5 a x/20. Po křížovém násobení dostaneme 5x=40, což vyřešíme vydělením obou stran rovnice 5. Finální výsledek je x=8.
Reklama

Část 3

Část 3 ze 3:

Vychytání chyb

Stáhnout PDF

1
V příkladech s poměry neodčítejte a nesčítejte. Řada příkladů vypadá nějak podobně tomuto: "Recept vyžaduje 4 brambory a 5 mrkví. Pokud chcete použít brambor 8, kolik mrkví potřebujete pro zachování poměru?" Spousta studentu se pokusí přičíst stejné číslo k oběma prvkům poměru. Ve skutečnosti je však třeba pro zachování poměru místo sčítání násobit. Zde je postup chybného a správného řešení tohoto příkladu:
- Špatná metoda: "8 - 4 = 4, tudíž k receptu přičtu 4 brambory. To znamená, že musím vzít 5 mrkví, a také přičíst 4… moment! Takhle přece poměry nefungují. Zkusím to znovu."
- Správná metoda: "8 ÷ 4 = 2, tudíž jsem počet brambor vynásobil 2. To znamená, že musím vynásobit 2 také 5 mrkví. 5 x 2 = 10, do nového receptu tudíž potřebuju celkem 10 mrkví."
2
Převádějte na stejné jednotky. Některé slovní úlohy jsou záludné díky přecházení mezi jednotlivými jednotkami. Než začnete počítat poměr, převeďte vše na stejné jednotky. Zde je příklad takového zadání:
- Drak má 500 gramů zlata a 10 kilogramů stříbra. Jaký je poměr zlata a stříbra v dračím pokladu?
- Gramy a kilogramy nejsou stejnou jednotkou, musíme je tudíž převést. 1 kilogram = 1,000 gramů, takže 10 kilogramů = 10 kilogramů x ${\frac {1,000gramu}{1kilogram}}$ = 10 x 1,000 gramů = 10,000 gramů.
- Drak má 500 gramů zlata a 10,000 gramů stříbra.
- Poměr zlata a stříbra je ${\frac {500gramuZlata}{10,000gramuStribra}}={\frac {5}{100}}={\frac {1}{20}}$ .
3
Pište si v příkladu jednotky. Při řešení příkladů s poměry snáze odhalíte chyby, pokud si budete ke každé hodnotě psát jednotky. Pamatujte, že se stejné jednotky v horní i spodní části zlomku vyruší. Po vyrušení co největšího počtu jednotek byste měli dostat správnou jednotku výsledku.
- Příklad zadání: Máte šest krabic a v každé třetí krabici je devět kuliček, kolik kuliček máte?
- Špatný postup: $6krabic*{\frac {3krabice}{9kulicek}}=...$ Moment, nic se neruší, takže bych dostal výsledek "krabice x krabice / kuličky." To nedává smysl.
- Správný postup:
  $6krabic*{\frac {9kulicek}{3krabice}}=$ $6krabic*{\frac {3kulicky}{1krabice}}=$
  
  ${\frac {6krabic*3kulicky}{1krabice}}=$ ${\frac {6*3kulicky}{1}}=$ 18 kuliček.
Reklama