كيفية عمل الاشتقاقات

تنزيل المقال

تنزيل المقال

الاشتقاق هو عملية توجد معدل التغير اللحظي في كمية ما. يمكن استخدام المشتقات للحصول على خصائص مفيدة تتعلق بدالة، مثل جذورها ونقاطها العظمى والصغرى. إيجاد المشتقة من تعريفها شاقٌ دومًا، لكن هناك العديد من الطرق لتجاوز هذا الأمر وإيجاد المشتقات بسهولة أكبر.

الخطوات

جزء 1

جزء 1 من 2:

التمهيد

تنزيل المقال

1. 
   1
   تعلم ما هو الاشتقاق. لن تستخدم هذا الإثبات في الواقع لأخذ المشتقة، لكن فهم هذا المفهوم ضروريٌ للغاية.

   • نذكر أن الدالة الخطية كانت بالصورة $y=mx+b.$. سنأخذ نقطتين على الخط لإيجاد الميل$m$ ونعوض بإحداثياتهما بالطبع في المعادلة $m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$. بالطبع يمكن استخدام هذه المعادلة فقط مع الخطوط المستقيمة.
   • سيكون الخط منحنيًا في الدوال غير الخطية، لذا سيمنحك أخذ الفرق بين النقطتين متوسط معدل التغير بينهما. يسمى الخط الذي يقطع هاتين النقطتين بالخط القاطع وميله $m={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}},$، حيث $\Delta x=x_{2}-x_{1}$ هو التغير في $x,$ وقد استبدلنا $y$ ب$f(x).$. هذه نفس المعادلة الموضحة سابقًا.
     
   • يأتي مفهوم الاشتقاق حين نأخذ النهاية $\Delta x\to 0.$. تصغر المسافة بين النقطتين حين نفعل هذا، ويمثل القاطع معدل تغير الدالة بشكل أفضل. سينتهي الأمر بحصولنا على معدل التغير اللحظي وميل المماس للمنحنى (انظر الرسم الموضح أعلاه) حين تقترب النهاية من الصفر، ثم نصل في النهاية لتعريف المشتقة، حيث يعبر الرمز الأولي عن اشتقاق الدالة $f.$
     • $f^{\prime }(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$
   • ينبع إيجاد المشتقة من هذا التعريف من تبسيط البسط والاختصار ثم إيجاد قيمة النهاية لأن إيجادها بشكل فوري سيعطيك صفرًا في المقام.
2. 
   2
   افهم ترميز الاشتقاق. هناك رمزان شائعان للاشتقاق والمزيد غيرهما.

   • رمز لاجرانج. استخدمنا هذا الرمز في الخطوة السابقة لرمز لمشتقة الدالة $f(x)$ بإضافة الرمز الأولي.
     • $f^{\prime }(x)$
     • وينطق "$f$ شرطة $x.$" أضف شرطة أخرى للاشتقاق من الرتب العليا. سيصبح الرمز $f^{(4)}(x),$ عند أخذ المشتقة الرابعة فما فوق، حيث يمثل هذا المشتقة الرابعة.
   • رمز ليبنيز. هذا من الرموز الأخرى شائعة الاستعمال وسنستخدمه في بقية المقالة.
     • ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}$
     • (يمكن استبدال دالة البسط في التعبيرات القصيرة). يعني هذا الرمز حرفيًا "اشتقاق $f$ بالنسبة إلى $x.$". قد يفيدك أن تفكر فيها على أنها ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ لقيم $x$ و$y$ التي تختلف فيما بينها اختلافات متناهية الصغر. لابد أن تكتب ${\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},$ عند استخدام هذا الترميز للمشتقات العليا، حيث يمثل هذا المشتقة الثانية.
     • لاحظ أنه من المفترض وجود أقواسٌ في المقام، لكنها لا تكتب لأن الجميع يفهمون ما نعنيه دونها على أي حال.

جزء 2

جزء 2 من 2:

الأساليب الأساسية

تنزيل المقال

استخدام التعريف

1. 
   1
   عوض ب$$ ( x + Δ x ) {\displaystyle (x+\Delta x)} في الدالة. ستعرف $f(x)=2x^{2}+6x.$ في هذا المثال.

   • ${\begin{aligned}f(x+\Delta x)&=2(x+\Delta x)^{2}+6(x+\Delta x)\\&=2(x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2})+6x+6\Delta x\\&=2x^{2}+4x\Delta x+2(\Delta x)^{2}+6x+6\Delta x.\end{aligned}}$
2. 
   2
   عوّض بالدالة في النهاية، ثم أوجد قيمة الدالة.

   • ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(2x^{2}+4x\Delta x+2(\Delta x)^{2}+6x+6\Delta x)-(2x^{2}+6x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {4x\Delta x+2(\Delta x)^{2}+6\Delta x}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta x(4x+2\Delta x+6)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}4x+2\Delta x+6\\&=4x+6.\end{aligned}}$
   • هذا عملٌ كثير على مثل هذه الدالة البسيطة. سنرى أن هناك الكثير من قواعد الاشتقاق لتجنب هذا النوع من الحلول.
   • يمكنك إيجاد الميل من أي جزء من الدالة $f(x)=2x^{2}+6x.$. عوّض بأي قيمة ل س في المشتقة ${\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}=4x+6.$ فحسب.

قاعدة القوة

1. 
   1
   استخدم قاعدة القوة حين تكون $$ f ( x ) {\displaystyle f(x)} دالة متعددة الحدود من الدرجة ن. اضرب الأس في المعامل وأنقص القوة بمقدار واحد.

   • المعادلة هي ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{n})=nx^{n-1}.$
   • رغم أن الطريقة تبدو منطبقة على أسس الأرقام الطبيعية فحسب، لكن يمكن تعميمها على جميع الأرقام الحقيقية، لذا $n\in \mathbb {R} .$
2. 
   2
   استخدم المثال السابق. $f(x)=2x^{2}+6x.$ تذكر أن $x=x^{1}.$

   • ${\begin{aligned}f(x)&=2x^{2}+6x\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)&=(2)2x^{2-1}+(1)6x^{1-1}\\&=4x+6.\end{aligned}}$
   • لقد استخدمنا الخاصية التي تقول بأن مشتق الجمع هي جمع المشتقات (يرجع سبب تمكننا من هذا إلى كون الاشتقاق عملية خطية). بالطبع فإن قاعدة القوة تسهل إيجاد مشتقات متعددات الحدود كثيرًا.
   • من المهم أن تلاحظ أن مشتقة الثابت تساوي الصفر قبل المتابعة لأن المشتقة تقيس معدل التغير، ولا يوجد مثل هذا التغير في الثوابت.

المشتقات من الرتب الأعلى

1. 
   1
   فاضل مجددًا. يعني أخذ مشتقة أعلى لدالة ما أن تأخذ مشتقة المشتقة (للرتبة الثانية). فاضل الدالة 3 مرات فحسب إذا طلب منك أخذ المشتقة الثالثة مثلًا. ستكون المشتقة من الرتبة $n+1$ مساوية للصفر في الدوال متعددة الحدود من الدرجة $n,$.
2. 
   2
   خذ المشتقة الثالثة للمثال السابق $$ f ( x ) = 2 x 2 + 6 x {\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x} .

   • ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)&=4x+6\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}f(x)&=4\\{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}f(x)&=0\end{aligned}}$
   • ستفاضل مرتين بحد أقصى أو 3 مرات ربما في معظم تطبيقات الاشتقاق خاصة في الهندسة والفيزياء.

قاعدة الضرب والقسمة

1. 
   1
   ابحث عن الشرح الكامل لقاعدة الضرب. مشتقة الضرب في العموم لا تساوي ضرب المشتقات، وإنما تأخذ كل دالة دورها في التفاضل.

   • ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(fg)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}g+f{\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} x}}$
2. 
   2
   استخدم قاعدة ناتج القسمة لأخذ مشتقات الدوال الكسرية. مشتقة القسمة "لا" تساوي خارج قسمة المشتقات تمامًا كما في الضرب عمومًا.

   • ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}-f{\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} x}}}{g^{2}}}$
   • يمكنك تذكر اشتقاق البسط ببساطة بالطريقة التالية: "المقام في مشتقة البسط – البسط في مشتقة المقام"، إذ أن الإشارة السالبة تدل على أهمية الترتيب.
   • ضع في اعتبارك الدالة $f(x)={\frac {x^{2}+2x-21}{x-3}}.$ مثلًا. لنقل بأن $g(x)=x^{2}+2x-21$ و$h(x)=x-3.$، سنستخدم قاعدة خارج القسمة
     • ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {g}{h}}\right)&={\frac {(x-3)(2x+2)-(x^{2}+2x-21)(1)}{(x-3)^{2}}}\\&={\frac {x^{2}-6x+15}{(x-3)^{2}}}\end{aligned}}$
   • احرص على تحسين مهاراتك في الجبر. عمليات الاشتقاق التي تتضمن خارج قسمة كهذه تكون مربكة نوعًا ما لحلها، وتتداخل معها عمليات حساب الجبر. يعني هذا أنك يجب أن تعتاد تحليل الثوابت ومتابعة الإشارات السالبة.

قاعدة السلسلة

1. 
   1
   استخدم قاعدة السلسلة لدوال الدوال. تخيل مثلًا أن تكون الدالة $z(y)$ دالة تفاضل في $y$ و$y(x)$ دالة تفاضل في $x.$ سيكون لدينا دالة مركبة $z(y(x)),$ أو $z$ كدالة في $x,$ والتي يمكننا اشتقاقها.

   • ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}z(y(x))={\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$
   • ينطبق هذا على أي عدد من الدوال كما في قاعدة الضرب. إليك طريقة سهلة لترى كيفية سير هذا الأمر إذا تخيل المرء دخول ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} y}}$ بين ${\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} x}}.$
2. 
   2
   ضع في اعتبارك الدالة $$ f ( x ) = ( 2 x 4 − x ) 3 {\displaystyle f(x)=(2x^{4}-x)^{3}} . لاحظ أنه يمكن تقسيم هذه الدالة لدالتين أساسيتين وهما $g(x)=2x^{4}-x$ و$h(g)=g^{3}.$ ثم علينا إيجاد مشتقة $f(x)=h(g(x)).$ .

   • استخدم قاعدة السلسلة ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}h(g(x))={\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} g}}{\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} x}}.$ لقد كتبنا المشتقة الآن بالنسبة لمشتقات يسهل أخذها. ثم:
   • ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}h(g(x))=3(2x^{4}-x)^{2}(8x^{3}-1).$
   • سترى مع التدريب أن تطبيق قاعدة السلسلة يغدو أسهل إذا تخلصت من القشور. الطبقة الأولى هي كل ما داخل الأقواس، والثانية هي الدالة الموجودة داخل الأقواس. تساعدك هذه الطريقة في التفكير على البقاء على المسار الصحيح وعدم التشتت في الدوال المشتقة بالنسبة لأية متغيرات عند التعامل مع الدوال الأكثر تعقيدًا.

مشتقات هامة أخرى

1. 
   1
   احث عن الشرح كامل للاشتقاق الضمني. لابد من فهم قاعدة السلسلة لتنفيذ التفاضل الضمني.
2. 
   2
   .ابحث عن الشرح كامل لتفاضل الدوال الأسية.

   • ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}$
   • ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}a^{x}=a^{x}\ln a$
   • ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln x={\frac {1}{x}}$
   • ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log _{a}x={\frac {1}{x\ln a}}$
3. 
   3
   احفظ مشتقات الدوال المثلثية الأساسية وكيفية اشتقاقها.

   • ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sin x=\cos x$
   • ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cos x=-\sin x$
   • ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tan x=\sec ^{2}x$
   • ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cot x=-\csc ^{2}x$
   • ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sec x=\sec x\tan x$
   • ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\csc x=-\csc x\cot x$

أفكار مفيدة

• تدرب على قاعدة الضرب والسلسلة والتفاضل الضمني بالتحديد لأنها الأصعب والأكثر استخدامًا خارج الرياضيات.
• يمكن إثبات كل الطرق الموضحة في هذه المقالة لحساب المشتقات عن طريق الاستخدام الصحيح لتعريف الاشتقاق. جرب استعادة المعادلة من خلال التعريف إذا بدت قاعدة القوة مبهمة بالنسبة لك.
• تعرف على آلتك الجاسبة جيدًا وجرب دوالًا مختلفة عليها لتعرف استخداماتها. هذا مفيدٌ على نحو خاص لمعرفة كيفية استخدام دوال الاشتقاق في الآلة الحاسبة إذا وجدت.