Как брать производную в математическом анализе

Производную функции можно использовать для того, чтобы получить полезную информацию о графике, например, узнать положение максимумов, минимумов, пиков, впадин и характер наклона. Вы даже можете использовать их для построения на графике сложных уравнений без применения графического калькулятора! К сожалению, нахождение производной может быть утомительной задачей, но эта статья поможет вам узнать некоторые приемы и ловкости.

Шаги

Загрузить PDF

1
Ознакомьтесь с формой обозначения производной. Следующие две формы обозначения являются наиболее распространенными, однако на Википедии можно найти огромное количество других here.
- Обозначение Лейбница. Это обозначение является наиболее распространенным в случаях, когда функция включает y и x. dy/dx буквально означает "производная y по отношению к x." Удобно представить производную в виде отношения бесконечно малых разностей Δy/Δx. Это объяснение является следствием определения производной через предел: lim_h->0 (f(x+h)-f(x))/h. Используя данное обозначение для второй производной, вы должны написать: d²y/dx².
- Обозначение Лагранжа. Производную функции можно также записать как f'(x). Это обозначение читается как "f штрих от x". Это обозначение короче обозначения Лейбница, оно полезно при рассмотрении производной как функции. Чтобы образовать производные высших порядков, просто добавляйте к "f" новые " ' ". Так, вторая производная будет иметь вид f''(x).
Во-первых, для нахождения наклона прямой зависимости, берутся две точки на прямой, и их координаты подставляются в уравнение (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). Тем не менее, это может быть использовано только для линейных зависимостей. Для квадратичных зависимостей и выше линия будет кривой, поэтому определение "разности" двух точек не может быть точным. Чтобы найти наклон касательной к криволинейному графику, берутся две точки, которые подставляются в стандартное уравнение определения наклона касательной к кривой: [f(x + dx) - f(x)]/dx. Dx означает "delta x," являющуюся разностью между двумя x-координатами графика. Обратите внимание, что это выражение аналогично (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁), просто в другой форме. Поскольку уже известно, что результат не будет точным, применяется косвенный подход. Чтобы найти наклон касательной в точке (x, f(x)), dx должно стремиться к 0, так что две выбранные точки сольются в одну. Впрочем, мы не можем делить на 0, поэтому, подставив оба значения координат точки, вы должны будете разложить выражение на множители и использовать другие методы для сокращения dx в нижней части выражения. Сделав это, примите dx = 0 и решите уравнение. Это и будет углом наклона в точке (x, f(x)). Производная выражения - это общее выражение для нахождения наклона любой касательной к графику. Это может казаться чрезвычайно сложным, но несколько примеров, приведенных ниже, помогут вам понять процесс нахождения производной.
Реклама

Метод 1

Метод 1 из 4:

Дифференцирование явных функций

Загрузить PDF

Используйте дифференцирование явных функций, когда ваше выражение уже имеет y, расположенный в одной его части.
Например, если ваше уравнение имеет вид y = x², производная будет иметь вид [(x + dx)² - x²]/dx.
Раскройте скобки, а затем вынесите dx за скобки, получив уравнение [dx(2x + dx)]/dx. Теперь вы можете сократить два dx в верхней и нижней частях дроби. В результате вы получите 2x + dx, и когда dx стремится к 0, то производная равна 2x. Это означает, что наклон любой касательной к графику y = x² равен 2x. Просто подставьте значение x точки, в которой вы хотите найти наклон.
4
Изучите схемы нахождения производной функций подобного типа. Ниже приведены несколько из них.
- Производная степенной функции равна произведению показателя степени и основания в степени на единицу меньше. Например, производная x⁵ равна 5x⁴, а производная x^3.5 равна 3.5x^2.5. Если перед x уже есть число, просто умножьте его на степень. Например, производная 3x⁴ равна 12x³.
- Производная любого числа равна 0. Иначе говоря, производная 8 равна 0.
- Производная суммы - это сумма отдельных производных. Например, производная x³ + 3x² равна 3x² + 6x.
- Производная произведения - это произведение первого множителя на производную второго плюс произведение второго множителя на производную первого. Например, производная x³(2x + 1) равна x³(2) + (2x + 1)3x², что равно 8x³ + 3x².
- Производная дроби (скажем, f/g) - это [g(производная f) - f(производная g)]/g². Например, производная (x² + 2x - 21)/(x - 3) равна (x² - 6x + 15)/(x - 3)².
Реклама

Метод 2

Метод 2 из 4:

Дифференцирование неявных функций

Загрузить PDF

Используйте дифференцирование неявно выраженных функций, когда в вашем выражении нельзя выделить y на одной из сторон. Даже если вы смогли записать его с y в одной части, вычисление dy/dx будет громоздким. Ниже приведены примеры нахождения производной для выражений такого типа.
x²y + 2y³ = 3x + 2y, замените y на f(x), чтобы запомнить, что y на самом деле - функция. Выражение примет вид x²f(x) + 2[f(x)]³ = 3x + 2f(x).
Чтобы найти производную этого выражения, продифференцируйте (умное слово, означающее найти производную) обе стороны уравнение по x. Выражение станет x²f'(x) + 2xf(x) + 6[f(x)]²f'(x) = 3 + 2f'(x).
Будьте внимательны и не сделайте того же для f'(x), отличающегося от f(x).
Ответ на этот пример принимает вид (3 - 2xy)/(x² + 6y² - 2).
Реклама

Метод 3

Метод 3 из 4:

Производные высшего порядка

Загрузить PDF

Взять производную высшего порядка функции означает взять производную производной (в случае порядка, равного 2). Например, если вас просят взять производную третьего порядка, просто возьмите производную производной производной. Для некоторых выражений, производные высших порядков принимают нулевое значение.

Метод 4

Метод 4 из 4:

Правило цепочки

Загрузить PDF

Если y - это дифференцируемая функция z, а z - дифференцируемая функция x, y - это сложная функция x, а производная y по x (dy/dx) равна (dy/du)*(du/dx). Правило цепочки также относится к сложным степенным выражениям, например: (2x⁴ - x)³. Чтобы найти производную, просто примените правило произведения. Умножьте выражение на степень и уменьшите степень на единицу. Затем умножьте выражение на производную основания (в нашем случае оно равно 2x^4 - x). Ответ на этот пример выглядит так: 3(2x⁴ - x)²(8x³ - 1).
Реклама

Советы

Когда вы видите, что вам нужно решить просто огромный пример - не волнуйтесь. Разбейте его на как можно больше мельчайших кусков, применяя правила произведения, дроби и т.д. После этого приступайте к дифференцированию отдельных частей.
Потренируйтесь использовать правила произведения, дроби, цепочек и в особенности - дифференцирования функций в неявной форме, поскольку они являются очень сложной частью матанализа.
Умейте пользоваться калькулятором; пробуйте использовать различные функции вашего калькулятора, чтобы узнать его возможности. Особенно полезно знать функции касательной и производной, если они есть в вашем калькуляторе.
Запомните производные основных тригонометрических функций и то, как с ними обращаться.

Предупреждения

Не забудьте, что при использовании правила дроби перед f(производная g) ставится знак минус; это распространенная ошибка и забыв его, вы получите неправильный ответ.