Cara Menurunkan Dalam Kalkulus

Turunan dapat digunakan untuk mendapatkan karakteristik-karakteristik yang berguna dari sebuah grafik, seperti nilai maksimum, minimum, puncak, lembah, dan kemiringan. Anda bahkan dapat menggunakannya untuk menggambarkan grafik persamaan yang rumit tanpa kalkulator grafik! Sayangnya, mengerjakan turunan seringkali membosankan, tetapi artikel ini akan membantu Anda dengan beberapa tips dan trik.

Langkah

Unduh PDF

1
Pahami notasi turunan. Dua notasi berikut adalah notasi yang paling umum digunakan, meskipun ada banyak notasi lainnya yang dapat ditemukan here di Wikipedia.
- Notasi Leibniz Notasi ini adalah notasi paling umum digunakan jika persamaan melibatkan y dan x. dy/dx secara harfiah berarti turunan y terhadap x. Mungkin akan berguna untuk membayangkannya sebagai Δy/Δx untuk nilai x dan y yang sangat berbeda satu sama lain. Penjelasan ini mengarah ke definisi limit turunan: lim_h->0 (f(x+h)-f(x))/h. Saat menggunakan notasi ini untuk turunan yang kedua, Anda harus menulis: d²y/dx².
- Notasi Lagrange Turunan fungsi f juga ditulis seabgai f'(x). Notasi ini dibaca f aksen x. Notasi ini lebih singkat daripada notasi Leibniz, dan membantu saat melihat turunan sebagai fungsi. Untuk membentuk tingkat turunan yang lebih besar, tambahkan saja ' ke f, sehingga turunan kedua akan menjadi f''(x).
Pertama, untuk mencari kemiringan sebuah grafik linier, dua titik dalam garis diambil, dan koordinatnya dimasukkan ke dalam persamaan (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). Akan tetapi, hal ini hanya dapat digunakan untuk grafik linier. Untuk persamaan kuadrat dan yang lebih tinggi, garisnya akan berbentuk kurva, sehingga mencari selisih dua titik tidaklah teliti. Untuk mencari kemiringan tangen dalam grafik kurva, dua titik diambil, dan dimasukkan ke dalam persamaan umum untuk mencari kemiringan grafik kurva: [f(x + dx) - f(x)]/dx. Dx menunjukkan delta x, yang merupakan selisih antara dua koordinat x pada dua titik dari grafik. Perhatikan bahwa persamaan ini sama seperti (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁), hanya dalam bentuk yang berbeda. Karena sudah diketahui bahwa hasilnya tidak akan teliti, pendekatan secara tidak langsung diterapkan. Untuk mencari kemiringan tangen pada (x, f(x)), dx harus mendekati 0, sehingga dua titik yang diambil bergabung menjadi satu titik. Akan tetapi, Anda tidak dapat membagi 0, sehingga setelah Anda memasukkan nilai-nilai dua titik, Anda harus menggunakan pemfaktoran dan cara lain untuk menghilangkan dx dari bagian bawah persamaan. Setelah Anda melakukannya, buatlah dx menjadi 0 dan selesaikan. Ini adalah kemiringan tangen pada (x, f(x)). Turunan sebuah persamaan adalah persamaan umum untuk mencari kemiringan tangen apapun pada sebuah grafik. Ini mungkin terlihat sangat rumit, tetai ada beberapa contoh di bawah, yang akan membantu menjelaskan cara mendapatkan turunan.
Iklan

Metode 1

Metode 1 dari 4:

Turunan Eksplisit

Unduh PDF

Misalnya, jika persamaannya adalah y = x², turunannya akan menjadi [(x + dx)² - x²]/dx.
Sekarang, Anda dapat membuang dua dx pada atas dan bawah. Hasilnya adalah 2x + dx, dan saat dx mendekati nol, turunannya adalah 2x. Ini berarti bahwa kemiringan tangen apapun dari grafik y = x² adalah 2x. Masukkan saja nilai x untuk titik yang ingin Anda cari kemiringannya.
4
Pelajari pola-pola untuk menurunkan persamaan-persamaan yang sejenis. Berikut adalah beberapa contohnya.
- Turunan pangkat apapun adalah pangkat dikali nilainya, dipangkatkan pangkat kurang 1. Misalnya, turunan dari x⁵ adalah 5x⁴, dan turunan dari x^3,5 iadalah3,5x^2,5. Jika sudah ada bilangan di depan x, kalikan saja dengan pangkatnya. Misalnya turunan dari 3x⁴ adalah 12x³.
- Turunan konstanta apapun adalah nol. Jadi, turunan dari 8 adalah 0.
- Turunan dari penjumlahan adalah penjumlahan dari turunan masing-masing. Misalnya, turunan dari x³ + 3x² adalah 3x² + 6x.
- Turunan dari hasil perkalian adalah faktor pertama dikali turunan faktor kedua ditambah faktor kedua dikali turunan faktor pertama. Misalnya, turunan dari x³(2x + 1) adalah x³(2) + (2x + 1)3x², yang sama dengan 8x³ + 3x².
- Turunan dari hasil bagi (misalkan, f/g) adalah [g(turunan f) - f(turunan g)]/g². Misalnya, turunan dari (x² + 2x - 21)/(x - 3) adalah (x² - 6x + 15)/(x - 3)².
Iklan

Metode 2

Metode 2 dari 4:

Turunan Implisit

Unduh PDF

Bahkan, jika Anda menuliskan y di salah satu sisi, menghitung dy/dx akan membosankan. Berikut adalah contoh cara Anda menyelesaikan jenis persamaan ini.
Persamaannya kemudian menjadi x²f(x) + 2[f(x)]³ = 3x + 2f(x).
Persamaannya kemudian menjadi x²f'(x) + 2xf(x) + 6[f(x)]²f'(x) = 3 + 2f'(x).
Hati-hati agar tidak mengganti f'(x), yang berbeda dengan f(x).
Jawaban untuk contoh ini menjadi (3 - 2xy)/(x² + 6y² - 2).
Iklan

Metode 3

Metode 3 dari 4:

Turunan Orde Tinggi

Unduh PDF

Misalnya, jika soal meminta Anda untuk menurunkan orde tiga, maka ambil saja turunan dari turunan dari turunan. Untuk beberapa persamaan, turunan orde tinggi akan bernilai 0.

Metode 4

Metode 4 dari 4:

Aturan Rantai

Unduh PDF

Jika y adalah fungsi diferensial dari z, dan z adalah fungsi diferensial dari x, y adalah gabungan fungsi x, dan turunan dari y terhadap x (dy/dx) adalah (dy/du)*(du/dx). Aturan rantai juga bisa merupakan gabungan persamaan pangkat, seperti ini: (2x⁴ - x)³. Untuk mencari turunannya, bayangkan saja seperti aturan hasil perkalian. Kalikan persamaan dengan pangkatnya dan turunkan 1 pangkatnya. Kemudian, kalikan persamaan dengan turunan persamaan dalam tanda kurung yang berpangkat (dalam soal ini, 2x^4 - x). Jawaban soal ini adalah 3(2x⁴ - x)²(8x³ - 1).
Iklan

Tips

Kapanpun Anda melihat soal sulit untuk diselesaikan, jangan khawatir. Coba saja untuk memecahnya menjadi bagian-bagian yang lebih kecil sebanyak mungkin dengan menerapkan aturan hasil perkalian, hasil bagi, dll. Kemudian, turunkan setiap bagiannya.
Berlatihlah dengan aturan hasil perkalian, aturan hasil bagi, aturan rantai, dan terutama, turunan implisit, karena aturan-aturan ini jauh lebih sulit dalam kalkulus.
Pahami kalkulator Anda dengan baik; cobalah fungsi-fungsi yang berbeda dalam kalkulator Anda untuk mempelajari kegunaannya. Sangat berguna untuk mengetahui cara menggunakan tangen dan fungsi turunan dalam kalkulator Anda jika fungsinya tersedia.
Ingatlah turunan trigonometri dasar dan cara menggunakannya.

Peringatan

Jangan lupa bahwa tanda negatif berada di depan f (turunan g) saat menggunakan aturan hasil bagi; hal ini adalah kesalahan yang sering dilakukan dan melupakannya akan memberikan Anda jawaban yang salah.