Een afgeleide bepalen

Afgeleiden kunnen worden gebruikt voor het bepalen van nuttige kenmerken van een grafiek, zoals de maxima, minima, toppen en dalen en hellingen. Je kunt ze zelfs gebruiken om complexe vergelijkingen te tekenen zonder een grafische rekenmachine! Helaas is het bepalen van de afgeleide van een vergelijking vaak een moeizaam karwei, maar dit artikel helpt je met een aantal tips en handigheidjes.

Stappen

Pdf downloaden

1
Begrijp de notatie van een afgeleide. De volgende twee notatiewijzen zijn het meest voorkomend, maar er zijn talloze andere manieren te vinden op Wikipedia.
- Leibniz Notatie Deze schrijfwijze wordt het meest gebruikt wanneer de vergelijking een y en x bevat. Dy/dx betekent letterlijk "de afgeleide van y ten opzichte van x". Probeer er over te denken als Δy/Δx voor de waarden van x en y waarbij het verschil oneindig klein is. Deze uitleg geeft vanzelf de definitie van een limiet met betrekking tot de afgeleide: lim_h->0 (f(x+h)-f(x))/h. Bij het toepassen van deze notatie voor de tweede afgeleide, noteer je: d²y/dx².
- Lagrange's Notatie De afgeleide van een functie f wordt ook geschreven als f'(x). Deze notatie wordt uitgesproken als "de functie f van x". Deze notatie is korter dan die van Leibniz en wordt gebruikt wanneer we een afgeleide als functie beschouwen. Voor hogere afgeleiden voeg je gewoon nog een " ' " toe aan "f", waardoor de tweede afgeleide eruitziet als f''(x).
Als eerste, om de helling te vinden van een lineaire grafiek worden twee punten op de lijn genomen, waarna deze coördinaten in de vergelijking worden ingevuld (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). Maar, dit kan alleen bij lineaire grafieken. Bij kwadratische vergelijkingen en hoger is de grafiek een kromme, waardoor het verschil tussen twee punten niet nauwkeurig genoeg is. Om de helling te vinden van een raaklijn van een parabool worden twee punten genomen en ingevuld in de vergelijking, voor het bepalen van de helling van een kromme lijn: [f(x + dx) - f(x)]/dx. Dx betekent "delta x," wat het verschil is tussen de twee x coördinaten van de twee punten van de grafiek. Merk op dat deze vergelijking hetzelfde is als (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁), maar dan in een andere vorm. Omdat het al bekend is dat het resultaat niet nauwkeurig zal zijn wordt een indirecte benadering gekozen. Om de helling van de raaklijn in het punt (x, f(x)) te vinden, moet dx de 0 naderen, zodat de twee gekozen punten bijna hetzelfde zijn. Maar je kunt niet door 0 delen, dus na het invullen van de waarden van de twee punten moet je de dx in de noemer wegwerken. Is dit gelukt, maak dan dx gelijk aan 0 en los op. Dit is de helling van de raaklijn op (x, f(x)). De afgeleide van een vergelijking is de algemene vergelijking voor het vinden van de helling van een willekeurige raaklijn van een grafiek. Dit kan erg lastig lijken, maar de onderstaande voorbeelden maken wel duidelijk hoe je de afgeleide kunt bepalen.
Advertentie

Methode 1

Methode 1 van 4:

Expliciete Differentiatie

Pdf downloaden

Bijvoorbeeld de vergelijking y = x², waarvan de afgeleide [(x + dx)² - x²]/dx is.
Nu is het mogelijk om de dx in de teller en noemer weg te werken. Het resultaat is 2x + dx, en als dx de 0 nadert wordt de afgeleide 2x. Dit is de helling van een willekeurige raaklijn aan de grafiek y = x² is 2x. Gewoon de waarde van een bepaald punt x, waar je de raaklijn van wilt weten, invoeren in de vergelijking.
4
Leer de patronen herkennen van dezelfde soort vergelijkingen. Hieronder vind je een aantal.
- De afgeleide van een exponent is de exponent maal de macht-1 van een getal. Dus, de afgeleide van x⁵ is 5x⁴, en de afgeleide van x^3.5 is 3.5x^2.5. Staat er al een getal voor de x, vermenigvuldig deze dan met de exponent. Bijvoorbeeld: de afgeleide van 3x⁴ is 12x³.
- De afgeleide van elke constante is nul. Dus de afgeleide van 8 is 0.
- De afgeleide van een som is de som van elke afzonderlijke afgeleide. Bijvoorbeeld: de afgeleide van x³ + 3x² is 3x² + 6x.
- De afgeleide van een product is de eerste factor maal de afgeleide van de tweede factor plus de tweede factor maal de afgeleide van de eerste. Bijvoorbeeld , de afgeleide van x³(2x + 1) is x³(2) + (2x + 1)3x², wat gelijk is aan 8x³ + 3x².
- De afgeleide van een quotiënt (zeg, f/g) is [g(afgeleide van f) - f(afgeleide van g)]/g². Bijvoorbeeld: de afgeleide van (x² + 2x - 21)/(x - 3) is (x² - 6x + 15)/(x - 3)².
Advertentie

Methode 2

Methode 2 van 4:

Impliciete Differentiatie

Pdf downloaden

Gebruik impliciete differentiatie wanneer je vergelijking niet eenvoudig geschreven kan worden met de y aan één kant van het is-gelijk teken. Zelfs als je het schrijft met de y aan een kant, zou het uitrekenen van dy/dx nog een lastig karwei zijn. Hieronder is een voorbeeld van hoe je dit type vergelijking oplost.
In dit voorbeeld, x²y + 2y³ = 3x + 2y, vervang je y door f(x), zodat duidelijk is dat het hier eigenlijk om een functie gaat. De vergelijking wordt dan x²f(x) + 2[f(x)]³ = 3x + 2f(x).
Om de afgeleide van deze vergelijking te vinden, differentieer (een indrukwekkend woord voor het vinden van de afgeleide) je beide zijden van de vergelijking ten opzichte van x. De vergelijking wordt dan x²f'(x) + 2xf(x) + 6[f(x)]²f'(x) = 3 + 2f'(x).
Wees voorzichtig dat je dit niet ook met f'(x) doet omdat dit iets heel anders is dan f(x).
Het antwoord van dit voorbeeld komt uit op (3 - 2xy)/(x² + 6y² - 2).
Advertentie

Methode 3

Methode 3 van 4:

Hogere Afgeleiden

Pdf downloaden

Bijvoorbeeld , wordt de derde afgeleide gevraagd, dan neem je de afgeleide van de afgeleide van de afgeleide. Voor sommige vergelijkingen wordt een hogere afgeleide gelijk aan 0.

Methode 4

Methode 4 van 4:

De Kettingregel

Pdf downloaden

Als y een differentieerbare functie is van z, en z is een differentieerbare functie van x, dan is y een samengestelde functie van x, en de afgeleide van y met betrekking tot x (dy/dx) is (dy/du)*(du/dx). De kettingregel kan ook een samengestelde vergelijkingen zijn, zoals deze: (2x⁴ - x)³. Om de afgeleide hiervan te vinden; denk gewoon op dezelfde manier als bij de productregel. Vermenigvuldig de vergelijking met de exponent en verminder de exponent met 1. Vermenigvuldig vervolgens de vergelijking met de afgeleide welke onder de exponent valt (in dit geval, 2x^4 - x). Het antwoord op dit probleem wordt dan 3(2x⁴ - x)²(8x³ - 1).
Advertentie

Tips

Elke keer als je een schijnbaar onoplosbare opgave ziet, maak je dan niet druk. Probeer de opgave in kleinere stukken op te delen door het toepassen van de productregels, quotiëntregel, etc. Differentieer daarna de afzonderlijke delen.
Oefen de productregel, quotiëntregel, kettingregel en vooral impliciete differentiatie, omdat deze een behoorlijk lastig kunnen zijn van calculus.
Ken je rekenmachine; probeer de verschillende functies van je rekenmachine om te leren hoe ze werken. Het is zeker waardevol om te weten hoe je de functies voor raaklijnen en afgeleiden moet gebruiken, als je rekenmachine hierover beschikt.
Leer de meest gebruikte goniometrische afgeleiden uit je hoofd en hoe je hiermee kunt werken.

Advertentie

Waarschuwingen

Vergeet niet dat het minteken voor de f(afgeleide of g) staat als je de quotiëntregel gebruikt; dit is een veel gemaakte fout en levert een verkeerd antwoord op.

Advertentie