如何计算等腰三角形的面积

等腰三角形是有两条边边长相等的三角形。这两条等边与底边所成的角度相等，而且交点位于底边中点的正上方。你可以用直尺和两支长度一样的铅笔来做试验。如果你试着把三角形向任意方向倾斜，铅笔笔尖就无法相交。等腰三角形这些特别的属性让你只需要几条信息，就能计算出其面积。

方法 1

方法 1 的 2:

通过边长计算面积

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复习平行四边形的面积计算。任何有两组平行边的四边形都是平行四边形，包括正方形和矩形。所有平行四边形都有一个简单的面积公式：面积等于底乘以高，即A = bh。^{[1]X研究来源}如果将平行四边形平放在水平面上，则底边是接触水平面的那条边。顾名思义，高则是离地面的高度，即底边到对边的距离。测量时，高应该与底边成90度直角。
- 对于正方形和矩形，高就等于垂直边的长度，因为这些边与地面成直角。
这两种形状之间有一种简单的关系。沿对角线将平行四边形切成两半，我们就得到了两个相同的三角形。反之，如果有两个相同的三角形，你可以将它们组合到一起，得到一个平行四边形。这意味着任何三角形的面积都可以被写成A = ½bh，即对应的平行四边形面积的一半。
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找到等腰三角形的底边。现在你已经知道公式了，但在等腰三角形中，到底什么是“底”，什么是“高”呢？底比较好理解，直接用等腰三角形不相等的第三条边就可以了。
- 例如，如果等腰三角形的边长分别为5cm、5cm和6cm，则6cm那条边就是底边。
- 如果三角形的三条边边长都相等，即该三角形是等边三角形，那么你可以选任意一条边做底边。等边三角形是特殊的等腰三角形，但你可以用相同的方法来计算面积。^{[2]X研究来源}
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在底边和对角顶点之间画一条线段。画的线段与底边应该成直角。线段的长度就是三角形的高，我们以“h”指代。算出“h”的值后，你就能求出面积。
- 在等腰三角形中，这条线段与底边的交点总是位于底边的中点。
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看看等腰三角形的半边。注意，是用等腰三角形的高将它分成两个相同的直角三角形。看其中一个，确定三条边：
- 一条直角边的边长等于底边的一半： ${\frac {b}{2}}$ 。
- 另一条直角边是高“h”。
- 直角三角形的斜边是等腰三角形的腰。设它为“s”。
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使用勾股定理。只要知道了两条直角边的的长度，你就能用勾股定理算出第三条边的长度：(边1)² + (边2)² = (斜边)²，将我们在此问题中使用的变量代入进去，得到 $({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$ $How.com.vn 中文: ({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$ .
- 你可能已经学过勾股定理，公式是 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 。用“边”和“斜边”来代替a、b、c，可以避免与之前的三角形变量相混淆。
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求出“h”。记住，面积公式用要用到“b”和“h”，但你还不知道“h”值。将公式变形，求出“h”：
- $({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}$
  $h^{2}=s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2}$
  $h={\sqrt {(}}s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2})$ 。
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将三角形的值代入进去，求出“h”。知道这个公式后，你可以将它用于任何边长已知的等腰三角形。只要将底边长度代入“b”，将腰的长度代入“s”，然后就能算出“h”的值。
- 例如，等腰三角形的边长分别为5 cm、5 cm和6 cm，则“b”= 6，而“s”= 5。
- 将这些值代入公式：
  $h={\sqrt {(}}s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2})$
  $h={\sqrt {(}}5^{2}-({\frac {6}{2}})^{2})$
  $h={\sqrt {(}}25-3^{2})$
  $h={\sqrt {(}}25-9)$
  $h={\sqrt {(}}16)$
  $h=4$ cm。
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在面积公式中代入底和高。知道这些值后，你就可以使用本节开头的公式了，即面积 = ½bh。将你已知的b和h值代入到本公式中，计算出答案。记得为你的答案加上平方单位。
- 这里仍然使用以上示例，边长为5-5-6的三角形底长为6 cm，高为4 cm。
- A = ½bh
  A = ½(6cm)(4cm)
  A = 12cm²。
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试着解答难度更高的例题。大部分等腰三角形的面积计算难度要高于以上示例。算出的高通常包含平方根，无法被简化为整数。如果出现这种情况，可以将高写成简化形式的平方根。这里有一个示例：
- 求边长分别为8cm、8cm和4cm的三角形的面积。
- 将边长为4cm，与其他边的边长不相等的那条边当做“b”。
- 高 $h={\sqrt {8^{2}-({\frac {4}{2}})^{2}}}$
  $={\sqrt {64-4}}$
  $={\sqrt {60}}$
- 分解因数来简化平方根： $h={\sqrt {60}}={\sqrt {4*15}}={\sqrt {4}}{\sqrt {15}}=2{\sqrt {15}}$ 。
- 面积 $={\frac {1}{2}}bh$
  $={\frac {1}{2}}(4)(2{\sqrt {15}})$
  $=4{\sqrt {15}}$
- 答案写成这个样子就可以了，你也可以在计算器中输入这个值，求出一个近似的小数，即约15.49平方厘米。
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方法 2

方法 2 的 2:

使用三角学

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从一条边和一个角开始。如果学过三角学，那么即使不知道等腰三角形某一条边的长度，你也可以算出它的面积。这里有一道例题，你只知道以下条件：^{[3]X研究来源}
- 腰的长度“s”为10cm。
- 两条腰所成的夹角θ等于120度。
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将等腰三角形分成两个直角三角形。以两条腰的交点为起点，向底边画一条垂直于底边的线段。这样，你就得到了两个相同的直角三角形。
- 这条线段将角θ分成了两个相等的角。两个三角形各有一个角的角度等于½θ，而在本例中，(½)(120) = 60度。
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使用三角学，算出“h”的值。由于得到的是直角三角形，所以你可以使用正弦、余弦和正切三角函数。本例题中，你知道斜边，想算出与已知角的邻边“h”的长度值。由于余弦 = 邻边/斜边，我们可以利用已知角求出“h”：
- cos(θ/2) = h / s
- cos(60º) = h / 10
- h = 10cos(60º)
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算出剩下那条边的长度。在这个直角三角形中，还有一条边的长度是我们未知的，你可以将它设为“x”。因为正弦 = 对边/斜边，所以：
- sin(θ/2) = x / s
- sin(60º) = x / 10
- x = 10sin(60º)
现在你可以将关注的对象“扩大到”整个等腰三角形。由于底边“b”被分为两段，每段长度均为“x”，所以“b”等于2倍的“x”。
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将你算出的“h”值和“b”值代入到基础的面积公式。知道底边和高的长度后，你可以使用标准公式A = ½bh：
- $A={\frac {1}{2}}bh$
  $={\frac {1}{2}}(2x)(10cos60)$
  $=(10sin60)(10cos60)$
  $=100sin(60)cos(60)$
- 你可以使用计算器的角度计算，将结果输入到计算器中，这样算出来的答案是约等于43.3平方厘米。或者，你可以应用三角函数的特性，把它简化为A = 50sin(120º)。
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将这种计算方法变成通用公式。知道解答过程后，你可以使用通用公式，而不必每次都完成整个推导和计算过程。如果你不使用任何具体值，重复这一计算过程，并应用三角函数的特性，最终可以得到结果：^{[4]X研究来源}
- $A={\frac {1}{2}}s^{2}sin\theta$
- s是腰的长度。
- θ是两条腰的夹角。
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小提示

如果你面对的是有两条等边和一个直角的等腰直角三角形，面积计算会简单得多。你可以用一条直角边做底，另一条直角边做高。这时，公式A = ½ b * h可以简化为½s²，其中s是直角边的长度。
平方根有两个解，一个正数，一个负数。在几何问题中，你可以忽略掉负数解，因为没有任何三角形会有“负数高”。
某些三角学问题提供的初始条件可能有所不同，比如告诉你等腰三角形底边的长度和一个角的角度。基本解法是一样的，将等腰三角形分成直角三角形，然后利用三角函数解出高度值。