วิธีการ หาค่าต่ำสุดหรือสูงสุดของฟังก์ชันกำลังสอง

ดาวน์โหลดบทความ

ดาวน์โหลดบทความ

ภายในบทความนี้:

เริ่มด้วยรูปแบบทั่วไปของฟังก์ชัน

ใช้รูปแบบมาตรฐานหรือแบบจุดยอด

ใช้แคลคูลัสในการหาจุดต่ำสุดหรือสูงสุด

บทความที่เกี่ยวข้อง

ข้ออ้างอิง

ด้วยสารพัดเหตุผล คุณอาจมีความจำเป็นต้องหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันกำลังสองก็ได้ คุณสามารถหาค่าสูงสุดและต่ำสุดได้ถ้าฟังก์ชันเดิมนั้นเขียนอยู่ในรูปแบบปกติคือ $f(x)=ax^{2}+bx+c$ หรือในรูปแบบมาตรฐานคือ $f(x)=a(x-h)^{2}+k$ และคุณยังอาจอยากใช้แคลคูลัสพื้นฐานมาหาค่าสูงสุดกับต่ำสุดของฟังก์ชันกำลังสองใดๆ

ขั้นตอน

วิธีการ 1

วิธีการ 1 ของ 3:

เริ่มด้วยรูปแบบทั่วไปของฟังก์ชัน

ดาวน์โหลดบทความ

1. 
   1
   เขียนฟังก์ชันในรูปแบบทั่วไป. ฟังก์ชันกำลังสองนั้นคือตัวที่มีพจน์ $x^{2}$ มันอาจจะมีหรือไม่มีพจน์ $x$ ที่ไม่มีเลขชี้กำลังก็ได้ โดยจะต้องไม่มีเลขชี้กำลังที่มากกว่า 2 รูปแบบทั่วไปคือ $f(x)=ax^{2}+bx+c$ หากจำเป็นให้รวมพจน์ที่เหมือนกันและเขียนเรียงลำดับเสียใหม่ให้ฟังก์ชันอยู่ในรูปแบบทั่วไป

   • ตัวอย่าง สมมติให้คุณเริ่มด้วย $f(x)=3x+2x-x^{2}+3x^{2}+4$ ให้รวมพจน์ $x^{2}$ และพจน์ $x$ เพื่อให้ได้รูปแบบทั่วไปดังนี้:
     • $f(x)=2x^{2}+5x+4$
2. 
   2
   พิจารณาทิศทางของกราฟ. ฟังก์ชันกำลังสองมีผลเป็นกราฟรูปพาราโบลา พาราโบลานั้นเป็นได้ทั้งแบบหงายขึ้นหรือคว่ำลง หาก $a$ ซึ่งเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^{2}$ นั้นเป็นบวก พาราโบลาที่ได้ก็จะหงายขึ้น หาก $a$ เป็นลบ พาราโบลาก็จะคว่ำลง ดูตัวอย่างต่อไปนี้:

   • สำหรับ $f(x)=2x^{2}+4x-6$, $a=2$ ดังนั้นพาราโบลาจะหงายขึ้น
   • สำหรับ $f(x)=-3x^{2}+2x+8$, $a=-3$ ดังนั้นพาราโบลาจะคว่ำลง
   • สำหรับ $f(x)=x^{2}+6$, $a=1$ ดังนั้นพาราโบลาจะหงายขึ้น
   • หากพาราโบลาหงายขึ้น คุณจะต้องหาค่าที่ต่ำที่สุด หากพาราโบลาคว่ำลง คุณต้องหาค่าที่สูงที่สุด
3. 
   3
   คำนวณ -b/2a. ค่าของ $-{\frac {b}{2a}}$ บอกคุณถึงค่า $x$ ของจุดยอดของพาราโบลา เมื่อฟังก์ชันกำลังสองถูกเขียนอยู่ในรูปแบบทั่วไป $ax^{2}+bx+c$, ใช้ค่าสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x$ และ $x^{2}$ ดังต่อไปนี้:

   • สำหรับฟังก์ชัน $f(x)=x^{2}+10x-1$, $a=1$ และ $b=10$ ดังนั้น หาค่า x ของจุดยอดได้ดังนี้:
     • $x=-{\frac {b}{2a}}$
     • $x=-{\frac {10}{(2)(1)}}$
     • $x=-{\frac {10}{2}}$
     • $x=-5$
   • สำหรับตัวอย่างที่สอง พิจารณาฟังก์ชัน $f(x)=-3x^{2}+6x-4$ ในตัวอย่างนี้ $a=-3$ และ $b=6$ ดังนั้น หาค่า x ของจุดยอดได้ดังนี้:
     • $x=-{\frac {b}{2a}}$
     • $x=-{\frac {6}{(2)(-3)}}$
     • $x=-{\frac {6}{-6}}$
     • $x=-(-1)$
     • $x=1$
4. 
   4
   หาค่า f(x) ที่สอดคล้องกัน. ใส่ค่า x ที่คุณเพิ่งคำนวณลงไปในฟังก์ชันเพื่อหาค่าที่สอดคล้องกันของ f(x) นี่จะเป็นค่าต่ำสุดหรือสูงสุดของฟังก์ชัน

   • สำหรับตัวอย่างข้อแรกข้างต้นนั้น $f(x)=x^{2}+10x-1$ คุณคำนวณค่า x สำหรับจุดยอดว่าเป็น $x=-5$ ใส่ค่า $-5$ แทนที่ $x$ ในฟังก์ชันเพื่อหาค่าสูงสุด:
     • $f(x)=x^{2}+10x-1$
     • $f(x)=(-5)^{2}+10(-5)-1$
     • $f(x)=25-50-1$
     • $f(x)=-26$
   • สำหรับตัวอย่างที่สองข้างต้น $f(x)=-3x^{2}+6x-4$ คุณหาจุดยอดได้ว่าเป็น $x=1$ ใส่ค่า $1$ แทนที่ของ $x$ ในฟังก์ชันเพื่อหาค่าสูงสุด:
     • $f(x)=-3x^{2}+6x-4$
     • $f(x)=-3(1)^{2}+6(1)-4$
     • $f(x)=-3+6-4$
     • $f(x)=-1$
5. 
   5
   รายงานผล. ทวนคำถามที่ได้มา หาคุณถูกถามให้หาพิกัดของจุดยอด คุณจำต้องตอบผลของทั้งค่า $x$ และ $y$ (หรือ $f(x)$) หากโจทย์ถามแค่ค่าสูงสุดหรือต่ำสุด คุณถึงตอบแค่ค่า $y$ (หรือ $f(x)$) ย้อนกลับไปดูค่าสัมประสิทธิ์ของ $a$ เพื่อความมั่นใจว่าคุณได้ค่าสูงสุดหรือต่ำสุด

   • สำหรับตัวอย่างแรก $f(x)=x^{2}+10x-1$ ค่าของ $a$ เป็นบวก คุณจึงกำลังตอบค่าต่ำสุด จุดยอดนั้นอยู่ที่ $(-5,-26)$ และค่าต่ำสุดคือ $-26$
   • สำหรับตัวอย่างที่สอง $f(x)=-3x^{2}+6x-4$ ค่าของ $a$ เป็นลบ ดังนั้นคุณกำลังตอบค่าสูงสุด จุดยอดนั้นอยู่ที่ $(1,-1)$ และค่าสูงสุดคือ $-1$
   โฆษณา

วิธีการ 2

วิธีการ 2 ของ 3:

ใช้รูปแบบมาตรฐานหรือแบบจุดยอด

ดาวน์โหลดบทความ

1. 
   1
   เขียนฟังก์ชันกำลังสองในรูปแบบมาตรฐานหรือรูปแบบจุดยอด. รูปแบบมาตรฐานของฟังก์ชันกำลังสองทั่วไป ซึ่งสามารถเรียกอีกอย่างว่ารูปแบบจุดยอด จะมีหน้าตาดังนี้:

   • $f(x)=a(x-h)^{2}+k$
   • หากโจทย์ให้ฟังก์ชันในรูปแบบนี้มาเรียบร้อยแล้ว คุณแค่ต้องดูตัวแปร $a$, $h$ และ $k$ หากฟังก์ชันเริ่มในรูปแบบทั่วไป $f(x)=ax^{2}+bx+c$ คุณจะต้องทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ก่อนเพื่อเขียนมันใหม่ในรูปแบบจุดยอด
   • ดูวิธีทำกำลังสองสมบูรณ์ได้ในวิกิฮาว
2. 
   2
   พิจารณาทิศทางของกราฟ. ก็เหมือนฟังก์ชันกำลังสองที่เขียนในแบบทั่วไป คุณสามารถบอกทิศทางของพาราโบลาได้โดยดูจากสัมประสิทธิ์ $a$ หาก $a$ ในรูปแบบมาตรฐานนี้เป็นบวก พาราโบลาจะหงายขึ้น หาก $a$ เป็นลบ พาราโบลาจะคว่ำลง ดูตัวอย่างต่อไปนี้:

   • สำหรับ $f(x)=2(x+1)^{2}-4$, $a=2$ ซึ่งเป็นบวก ดังนั้นพาราโบลาจะหงายขึ้น
   • สำหรับ $f(x)=-3(x-2)^{2}+2$, $a=-3$ ซึ่งเป็นลบ ดังนั้นพาราโบลาจะคว่ำลง
   • หากพาราโบลาหงายขึ้น คุณจะกำลังหาค่าต่ำสุด หากพาราโบลาคว่ำลง คุณจะกำลังหาค่าสูงสุด
3. 
   3
   หาค่าต่ำสุดหรือสูงสุด. เมื่อฟังก์ชันเขียนอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน การหาค่าต่ำสุดหรือสูงสุดนั้นง่ายแค่หาค่าของตัวแปร $k$ สำหรับตัวอย่างฟังก์ชันทั้งสองด้านต้น ค่าเหล่านี้คือ:

   • สำหรับ $f(x)=2(x+1)^{2}-4$, $k=-4$ นี่เป็นค่าต่ำสุดของฟังก์ชันเพราะพาราโบลานั้นหงายขึ้น
   • สำหรับ $f(x)=-3(x-2)^{2}+2$, $k=2$ นี่เป็นค่าสูงสุดของฟังก์ชันเพราะพาราโบลานั้นคว่ำลง
4. 
   4
   หาจุดยอด. หากคุณถูกขอให้หาพิกัดของค่าต่ำสุดหรือสูงสุด พิกัดนั้นจะเป็น $(h,k)$ อย่างไรก็ตามโปรดสังเกตว่าในรูปแบบมาตรฐานของสมการนั้น พจน์ที่อยู่ภายในวงเล็บคือ $(x-h)$ ดังนั้นคุณจึงต้องใช้เครื่องหมายตรงข้ามของตัวเลขที่ตามหลังค่า $x$

   • สำหรับ $f(x)=2(x+1)^{2}-4$, พจน์ภายในวงเล็บคือ (x+1) ซึ่งสามารถเขียนใหม่ได้เป็น (x-(-1)) ดังนั้น $h=-1$ เพราะฉะนั้น พิกัดของจุดยอดสำหรับฟังก์ชันนี้คือ $(-1,-4)$
   • สำหรับ $f(x)=-3(x-2)^{2}+2$, พจน์ภายในวงเล็บคือ (x-2) ดังนั้น $h=2$ พิกัดของจุดยอดสำหรับฟังก์ชันนี้คือ (2, 2)
   โฆษณา

วิธีการ 3

วิธีการ 3 ของ 3:

ใช้แคลคูลัสในการหาจุดต่ำสุดหรือสูงสุด

ดาวน์โหลดบทความ

1. 
   1
   เริ่มจากรูปแบบทั่วไป. เขียนฟังก์ชันกำลังสองในรูปแบบทั่วไป $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ถ้าจำเป็น คุณอาจต้องรวมพจน์ที่เหมือนกันและเขียนใหม่ให้ได้รูปแบบที่ถูกต้อง

   • เริ่มด้วยฟังก์ชันตัวอย่าง $f(x)=2x^{2}-4x+1$
2. 
   2
   ใช้กฎเลขยกกำลังมาหาอนุพันธ์ตัวแรก. ใช้แคลคูลัสพื้นฐานคุณก็สามารถหาอนุพันธ์แรกของฟังก์ชันกำลังสองว่าเป็น $f^{\prime }(x)=2ax+b$

   • สำหรับฟัวก์ชันตามตัวอย่าง $f(x)=2x^{2}-4x+1$ หาอนุพันธ์ได้เป็น:
     • $f^{\prime }(x)=4x-4$
3. 
   3
   กำหนดค่าอนุพันธ์เท่ากับศูนย์. จำไว้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันจะบอกคุณถึงความชันของฟังก์ชันตรงจุดที่เลือกไว้ ค่าต่ำสุดหรือสูงสุดของฟังก์ชันนั้นเกิดขึ้นเมื่อความชันเท่ากับศูนย์ ดังนั้น การจะหาว่าค่าต่ำสุดและสูงสุดเกิดขึ้นที่จุดไหน จึงต้องตั้งอนุพันธ์ให้เท่ากับศูนย์ ทำโจทย์ตัวอย่างข้างต้นต่อดังนี้:

   • $f^{\prime }(x)=4x-4$
   • $0=4x-4$
4. 
   4
   หาค่า x. ใช้กฎพื้นฐานของพีชคณิตจัดเรียงลำดับฟังก์ชันเสียใหม่และหาค่าของ x เมื่ออนุพันธ์เท่ากับศูนย์ ค่าที่ได้จะบอกคุณถึงพิกัด x ของจุดยอดของฟังก์ชัน ซึ่งจะเป็นจุดที่เกิดค่าต่ำสุดหรือสูงสุด

   • $0=4x-4$
   • $4=4x$
   • $1=x$
5. 
   5
   แทนค่าที่หามาได้ของ x ลงในฟังก์ชันเริ่มต้น. ค่าต่ำสุดหรือสูงสุดของฟังก์ชันจะเป็นค่าสำหรับ $f(x)$ ตรงตำแหน่ง $x$ ที่เลือกไว้ แทนค่าของ $x$ เข้าไปในฟังก์ชันเริ่มต้นและแก้โจทย์เพื่อหาค่าต่ำสุดหรือสูงสุด

   • สำหรับฟังก์ชัน $f(x)=2x^{2}-4x+1$ ที่ $x=1$
     • $f(1)=2(1)^{2}-4(1)+1$
     • $f(1)=2-4+1$
     • $f(1)=-1$
6. 
   6
   รายงานผล. ผลจะบอกจุดยอดของจุดต่ำสุดหรือสูงสุด สำหรับฟังก์ชันตัวอย่าง$f(x)=2x^{2}-4x+1$ นี้ จุดยอดเกิดขึ้นที่ $(1,-1)$ ค่าสัมประสิทธิ์ $a$ เป็นบวก ดังนั้นฟังก์ชันจะหงายขึ้น เพราะฉะนั้น ค่าต่ำสุดของฟังก์ชันคือพิกัด y ของจุดยอด ซึ่งก็คือ $-1$
   โฆษณา

เคล็ดลับ

• แกนสมมาตรของพาราโบลาคือ x = h

โฆษณา