İkinci Dereceden Bir Fonksiyonun Maksimum veya Minimum Değeri Nasıl Kolayca Bulunur?

Makaleyi İndir

Makaleyi İndir

Bu Makalede:

Fonksiyonun Genel Formu ile Başlamak

Standart veya Tepe Noktası Formunu Kullanmak

Minimum veya Maksimum Elde Etmek İçin Hesaplama Yapmak

İlgili Makaleler

Referanslar

Çeşitli nedenlerden dolayı, belirli bir ikinci dereceden bir fonksiyonun maksimum veya minimum değerini tanımlaman gerekebilir. Asıl fonksiyonun, $f(x)=ax^{2}+bx+c$ gibi genel formda ya da $f(x)=a(x-h)^{2}+k$ gibi standart formda yazılmışsa maksimum ya da minimumu bulabilirsin. Son olarak, herhangi bir ikinci dereceden fonksiyonun maksimum ya da minimumunu tanımlamak için bazı temel hesaplamaları da kullanmak isteyebilirsin.

Adımlar

Yöntem 1

Yöntem 1 / 3:

Fonksiyonun Genel Formu ile Başlamak

Makaleyi İndir

1. 
   1
   Fonksiyonu genel formda yaz. İkinci dereceden bir fonksiyonda bir $x^{2}$ terimi bulunur. Üssü olmayan bir $x$ terimi olabilir ya da olmayabilir. Fonksiyonda 2’den büyük bir üs bulunmaz. Genel form $f(x)=ax^{2}+bx+c$ şeklindedir. Gerekirse, fonksiyonu bu genel formda yazmak için benzer terimleri birleştir ve yeniden düzenle.

   • Örneğin, $f(x)=3x+2x-x^{2}+3x^{2}+4$ ile başladığını varsayalım. $x^{2}$’li ve $x$’li terimleri birleştirerek aşağıdaki genel formu oluştur:
     • $f(x)=2x^{2}+5x+4$
2. 
   2
   Grafiğin yönünü belirle. İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği parabol şeklindedir. Parabolün kolları ya yukarı ya da aşağı doğrudur. Eğer $x^{2}$’li terimin katsayısı $a$ pozitif ise o zaman parabolün kolları yukarı doğrudur. Eğer $a$ negatif ise parabolün kolları aşağı doğrudur. Aşağıdaki örneklere bak:

   • $f(x)=2x^{2}+4x-6$ için $a=2$, yani parabolün kolları yukarı doğrudur.
   • $f(x)=-3x^{2}+2x+8$ için $a=-3$, yani parabolün kolları aşağı doğrudur.
   • $f(x)=x^{2}+6$ için $a=1$, yani parabolün kolları yukarı doğrudur.
   • Eğer parabolün kolları yukarı doğru ise onun minimum değerini bulacaksın. Eğer parabolün kolları aşağı doğru ise onun maksimum değerini bulacaksın.
3. 
   3
   -b/2a’yı hesapla. $-{\frac {b}{2a}}$’nın değeri sana parabolün tepe noktasının $x$ değerini verir. İkinci dereceden fonksiyon $ax^{2}+bx+c$ şeklinde genel formda yazıldığında, $x$ ve $x^{2}$’li terimlerin katsayılarını aşağıdaki gibi kullan:

   • Bir $f(x)=x^{2}+10x-1$ fonksiyonu için $a=1$ ve $b=10$. Bu sebeple, tepe noktasının x değerini şu şekilde bul:
     • $x=-{\frac {b}{2a}}$
     • $x=-{\frac {10}{(2)(1)}}$
     • $x=-{\frac {10}{2}}$
     • $x=-5$
   • İkinci bir örnek olarak $f(x)=-3x^{2}+6x-4$ fonksiyonuna bakalım. Bu örnekte $a=-3$ ve $b=6$. Bu sebeple, tepe noktasının x değerini şu şekilde bul:
     • $x=-{\frac {b}{2a}}$
     • $x=-{\frac {6}{(2)(-3)}}$
     • $x=-{\frac {6}{-6}}$
     • $x=-(-1)$
     • $x=1$
4. 
   4
   Karşılık gelen f(x) değerini bul. Az önce hesapladığın x değerini f(x)'in karşılık gelen değerini bulmak için fonksiyonda yerine koy. Bu, fonksiyonun minimum ya da maksimumu olacaktır.

   • Yukarıdaki ilk örnek $f(x)=x^{2}+10x-1$ için tepe noktasının x değerini $x=-5$ olarak hesapladın. Maksimum değeri bulmak için $-5$ değerini fonksiyondaki $x$ yerine koy:
     • $f(x)=x^{2}+10x-1$
     • $f(-5)=(-5)^{2}+10(-5)-1$
     • $f(-5)=25-50-1$
     • $f(-5)=-26$
   • Yukarıdaki ikinci örnek $f(x)=-3x^{2}+6x-4$ için tepe noktasının $x=1$’de olduğunu buldun. Maksimum değeri bulmak için $1$ değerini fonksiyondaki $x$ yerine koy:
     • $f(x)=-3x^{2}+6x-4$
     • $f(1)=-3(1)^{2}+6(1)-4$
     • $f(1)=-3+6-4$
     • $f(1)=-1$
5. 
   5
   Sonuçlarını yaz. Sorulan soruyu gözden geçir. Tepe noktasının koordinatlarını girmen istenirse hem $x$ hem de $y$ (veya $f(x)$) değerlerini belirtmen gerekir. Sadece maksimum veya minimum istenirse sadece $y$ (veya $f(x)$) değerini belirtmen gerekir. Bir maksimum veya minimumun olup olmadığından emin olmak için $a$ katsayısının değerine bak.

   • İlk örnek $f(x)=x^{2}+10x-1$ için $a$ değeri pozitif, bu nedenle minimum değeri belirteceksin. Tepe noktası $(-5,-26)$ ve minimum değer $-26$ olur.
   • İkinci örnek $f(x)=-3x^{2}+6x-4$ için $a$ değeri negatif, bu nedenle maksimum değeri belirteceksin. Tepe noktası $(1,-1)$ ve maksimum değer $-1$ olur.
   Reklam

Yöntem 2

Yöntem 2 / 3:

Standart veya Tepe Noktası Formunu Kullanmak

Makaleyi İndir

1. 
   1
   İkinci dereceden fonksiyonunu standart veya tepe noktası formunda yaz. Genel bir ikinci dereceden fonksiyonun standart formu - tepe noktası formu olarak da bilinir - şöyledir:

   • $f(x)=a(x-h)^{2}+k$
   • Eğer fonksiyonun zaten bu formda verildiyse senin sadece $a$, $h$ ve $k$ değişkenlerini tanıman gerekir. Eğer fonksiyonun $f(x)=ax^{2}+bx+c$ genel formunda başlarsa onu tepe noktası formunda yeniden yazmak için kareyi tamamlaman gerekir.
2. 
   2
   Grafiğin yönünü belirle. Tıpkı genel formdaki ikinci dereceden bir fonksiyonda olduğu gibi grafiğin yönünü $a$ katsayısına bakarak belirleyebilirsin. Eğer bu standart formdaki $a$ pozitifse parabolün kolları yukarı doğrudur. Eğer $a$ negatif ise parabolün kolları aşağı doğrudur. Aşağıdaki örneklere bak:

   • $f(x)=2(x+1)^{2}-4$ için $a=2$ yani pozitif olduğu için parabolün kolları yukarı doğrudur.
   • $f(x)=-3(x-2)^{2}+2$ için $a=-3$ yani negatif olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur.
   • Eğer parabolün kolları yukarı doğru ise onun minimum değerini bulacaksın. Eğer parabolün kolları aşağı doğru ise onun maksimum değerini bulacaksın.
3. 
   3
   Minimum ya da maksimum değeri belirle. Fonksiyon standart formda yazıldığında minimum ya da maksimum değeri bulmak $k$ değişkenini ifade etmek kadar kolaydır. Yukarıda verilen iki örnek fonksiyon için bu değerler:

   • $f(x)=2(x+1)^{2}-4$ için $k=-4$. Bu, fonksiyonun minimum değeridir çünkü parabolün kolları yukarı doğrudur.
   • $f(x)=-3(x-2)^{2}+2$ için $k=2$. Bu, fonksiyonun maksimum değeridir çünkü parabolün kolları aşağı doğrudur.
4. 
   4
   Tepe noktasını bul. Eğer minimum ya da maksimum değerin koordinatları istenirse nokta $(h,k)$ olacak. Ancak, denklemin standart formunda parantez içindeki terimin $(x-h)$ olduğuna dikkate et, bu yüzden $x$'ten sonraki sayının ters işaretine ihtiyacın var.

   • $f(x)=2(x+1)^{2}-4$ için parantez içindeki terim (x+1)’dir, ki bu (x-(-1)) şeklinde yazılabilir. Böylece, $h=-1$. Bu sebeple, bu fonksiyon için tepe noktası koordinatları $(-1,-4)$ olur.
   • $f(x)=-3(x-2)^{2}+2$ için parantez içindeki terim (x-2)’dir. Bu sebeple, $h=2$. Tepe noktası koordinatları (2, 2) olur.
   Reklam

Yöntem 3

Yöntem 3 / 3:

Minimum veya Maksimum Elde Etmek İçin Hesaplama Yapmak

Makaleyi İndir

1. 
   1
   Genel formda başla. İkinci dereceden denklemini $f(x)=ax^{2}+bx+c$ şeklinde genel formda yaz. Gerekirse benzer terimleri topla ve doğru formu elde etmek için yeniden düzenle.

   • $f(x)=2x^{2}-4x+1$ örnek fonksiyonu ile başla.
2. 
   2
   İlk türevi bulmak için kuvvet kuralını kullan. Temel yüksek matematik kullanarak genel ikinci dereceden fonksiyonun ilk türevini $f^{\prime }(x)=2ax+b$ olarak bulabilirsin.

   • $f(x)=2x^{2}-4x+1$ örnek fonksiyonunun türevi şöyledir:
     • $f^{\prime }(x)=4x-4$
3. 
   3
   Türevi sıfıra eşitle. Bir fonksiyonun türevinin seçilen o noktadaki fonksiyonun eğimini belirttiğini hatırla. Bir fonksiyonun minimum veya maksimumu eğim sıfır olduğunda oluşur. Bu sebeple, minimum veya maksimumun nerede olduğunu bulmak için türevi sıfıra eşitle. Yukarıdaki örnek problemle devam et:

   • $f^{\prime }(x)=4x-4$
   • $0=4x-4$
4. 
   4
   x’i çöz. Fonksiyonu yeniden düzenlemek ve türev sıfıra eşit olduğunda x değerini çözmek için temel cebir kurallarını kullan. Bu çözüm, maksimum veya minimumun olduğu fonksiyonun tepe noktasının x koordinatını söyleyecektir.

   • $0=4x-4$
   • $4=4x$
   • $1=x$
5. 
   5
   Bulunan x değerini asıl fonksiyonda yerine koy. Fonksiyonun minimum veya maksimum değeri, seçilen $x$ konumunda $f(x)$’in değeri olacaktır. Asıl fonksiyonda $x$ değerini yerine koy ve minimum veya maksimumu bul.

   • $x=1$ noktasındaki $f(x)=2x^{2}-4x+1$ fonksiyonu için,
     • $f(1)=2(1)^{2}-4(1)+1$
     • $f(1)=2-4+1$
     • $f(1)=-1$
6. 
   6
   Çözümünü yaz. Çözüm, maksimum veya minimum noktasının tepe noktasını verir. $f(x)=2x^{2}-4x+1$ örnek fonksiyonu için tepe noktası $(1,-1)$ noktasındadır. $a$ katsayısı pozitiftir, yani fonksiyon yukarı yönlüdür. Bu sebeple, fonksiyonun minimum değeri, tepe noktasının y koordinatı yani $-1$’dir.
   Reklam

İpuçları

• Parabolün simetri ekseni x = h.

Reklam