Das Minimum oder Maximum einer quadratischen Funktion bestimmen

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In diesem Artikel:

Mit der allgemeinen Form der Funktion beginnen

Die Standardform oder Scheitelpunktform verwenden

Den Minimalwert oder Maximalwert durch Rechnen finden

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Literaturhinweise

Du könntest aus verschiedensten Gründen den Maximal- und den Minimalwert einer bestimmten quadratischen Funktion definieren müssen. Diese Werte kannst du herausfinden, wenn die Funktion in der allgemeinen Form $f(x)=ax^{2}+bx+c$ oder in der Standardform $f(x)=a(x-h)^{2}+k$ steht. Du kannst letztendlich auch mathematische Berechnungen einsetzen, um den Maximal- und Minimalwert einer beliebigen quadratischen Funktion zu bestimmen.

Vorgehensweise

Methode 1

Methode 1 von 3:

Mit der allgemeinen Form der Funktion beginnen

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   Schreibe die Funktion in der allgemeinen Form auf. Eine quadratische Funktion hat einen Term $x^{2}$. Sie kann einen Term mit $x$ ohne Hochzahl enthalten oder auch nicht. Es gibt keine Exponenten, die höher sind als 2. Die allgemeine Form ist $f(x)=ax^{2}+bx+c$. Fasse ähnliche Terme, falls notwendig, zusammen und ordne sie um, damit die Funktion in dieser allgemeinen Form steht.

   • Nehmen wir zum Beispiel an, du beginnst mit $f(x)=3x+2x-x^{2}+3x^{2}+4$. Fasse die Terme mit $x^{2}$ und die Terme mit $x$ zusammen, um die allgemeine Form zu erhalten:
     • $f(x)=2x^{2}+5x+4$
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   Stelle die Richtung des Graphen fest. Eine quadratische Funktion ergibt eine Parabel als Graphen-. Die Parabel ist entweder nach oben oder nach unten hin geöffnet. Wenn $a$, der Koeffizient des Terms $x^{2}$, positiv ist, öffnet die Parabel nach oben. Ist $a$ negativ, dann öffnet die Parabel nach unten. Betrachte die folgenden Beispiele:

   • In $f(x)=2x^{2}+4x-6$ ist $a=2$, die Parabel ist also nach oben hin geöffnet.
   • In $f(x)=-3x^{2}+2x+8$ ist $a=-3$, die Parabel ist also nach unten geöffnet.
   • In $f(x)=x^{2}+6$ ist $a=1$, die Parabel ist also nach oben geöffnet.
   • Öffnet sich die Parabel nach oben hin, findest du den Minimalwert heraus. Öffnet sich die Parabel nach unten, findest du ihren Maximalwert heraus.
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   Berechne -b/2a. Der Wert für $-{\frac {b}{2a}}$ nennt dir den Wert für $x$ am Scheitelpunkt der Parabel. Wenn die Quadratfunktion in ihrer allgemeinen Form $ax^{2}+bx+c$ steht, verwende die Koeffizienten der Terme $x$ und $x^{2}$ folgendermaßen:

   • Bei einer Funktion $f(x)=x^{2}+10x-1$ ist $a=1$ und $b=10$. Folglich findest du den x-Wert des Scheitelpunkts so:
     • $x=-{\frac {b}{2a}}$
     • $x=-{\frac {10}{(2)(1)}}$
     • $x=-{\frac {10}{2}}$
     • $x=-5$
   • Betrachte als zweites Beispiel die Funktion $f(x)=-3x^{2}+6x-4$. In diesem Beispiel ist $a=-3$ und $b=6$. Den x-Wert des Scheitelpunktes findest du also so:
     • $x=-{\frac {b}{2a}}$
     • $x=-{\frac {6}{(2)(-3)}}$
     • $x=-{\frac {6}{-6}}$
     • $x=-(-1)$
     • $x=1$
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   Finde den entsprechenden Wert f(x). Setze den Wert von x, den du gerade berechnet hast, in die Funktion ein, um den entsprechenden Wert für f(x) zu finden. Das ist der Minimal- oder Maximalwert der Funktion.

   • Im ersten Beispiel, $f(x)=x^{2}+10x-1$, hast du den x-Wert des Scheitelpunktes als $x=-5$ errechnet. Setze $-5$ an die Stelle von $x$ in die Funktion ein, um den Maximalwert zu finden:
     • $f(x)=x^{2}+10x-1$
     • $f(-5)=(-5)^{2}+10(-5)-1$
     • $f(-5)=25-50-1$
     • $f(-5)=-26$
   • Im zweiten Beispiel, $f(x)=-3x^{2}+6x-4$, hast du herausgefunden, dass der Scheitelpunkt bei $x=1$ liegt. Setze $1$ an die Stelle von $x$ in die Funktion ein, um den Maximalwert zu finden:
     • $f(x)=-3x^{2}+6x-4$
     • $f(1)=-3(1)^{2}+6(1)-4$
     • $f(1)=-3+6-4$
     • $f(1)=-1$
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   Gib deine Ergebnisse an. Sieh dir die Frage erneut an, die dir gestellt wurde. Wurdest du nach den Koordinaten des Scheitelpunktes gefragt, musst du den Wert für $x$ und für $y$ (oder $f(x)$) angeben. Wurdest du nur nach dem Maximal- oder Minimalwert gefragt, musst du nur den Wert für $y$ (oder $f(x)$) angeben. Sieh dir noch einmal den Koeffizienten $a$ an, um dich zu vergewissern, ob du einen Maximalwert oder Minimalwert suchst.

   • Im ersten Beispiel, $f(x)=x^{2}+10x-1$, ist der Wert für $a$ positiv, du gibst also den Minimalwert an. Der Scheitelpunkt liegt bei $(-5,-26)$ und der Minimalwert ist $-26$.
   • Im zweiten Beispiel, $f(x)=-3x^{2}+6x-4$, ist der Wert für $a$ negativ, also gibst du den Maximalwert an. Der Scheitelpunkt liegt bei $(1,-1)$ und der Maximalwert ist $-1$.
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Methode 2

Methode 2 von 3:

Die Standardform oder Scheitelpunktform verwenden

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   Schreibe die quadratische Funktion in der Standard- oder Scheitelpunktform auf. Die Standardform einer gewöhnlichen quadratischen Funktion, die man auch als Scheitelpunktform bezeichnet, sieht so aus:

   • $f(x)=a(x-h)^{2}+k$
   • Wenn die Funktion bereits in dieser Form angegeben ist, musst du nur die Variablen $a$, $h$ und $k$ ablesen. Wenn du mit der Funktion in der allgemeinen Form beginnst, $f(x)=ax^{2}+bx+c$, musst du eine quadratische Ergänzung durchführen, um sie in die Scheitelpunktform umzuwandeln.
   • Sieh dir dazu noch einmal an, wie man eine quadratische Ergänzung macht.
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   Stelle die Richtung des Graphen fest. Wie bei einer quadratischen Funktion, die in der allgemeinen Form steht, kannst du die Richtung der Parabel erkennen, indem du dir den Koeffizienten $a$ ansiehst. Wenn $a$ in der Standardform positiv ist, dann öffnet sich die Parabel nach oben. Ist $a$ negativ, dann öffnet sich die Parabel nach unten. Sieh dir die folgenden Beispiele an:

   • In $f(x)=2(x+1)^{2}-4$ ist $a=2$, was positiv ist, also öffnet sich die Parabel nach oben hin.
   • In $f(x)=-3(x-2)^{2}+2$ ist $a=-3$, was negativ ist, also öffnet sich die Parabel nach unten hin.
   • Wenn die Parabel sich nach oben öffnet, findest du ihren Minimalwert heraus. Öffnet sich die Parabel nach unten, findest du ihren Maximalwert.
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   Finde den Minimal- und Maximalwert heraus. Wenn die Funktion in der Standardform steht, kann man den Minimal- oder Maximalwert leicht angeben, indem man den Wert der Variable $k$ feststellt. In den zwei oben genannten Funktionen ist der jeweilige Wert:

   • In $f(x)=2(x+1)^{2}-4$ ist $k=-4$. Das ist der Minimalwert der Funktion, weil sich die Parabel nach oben öffnet.
   • In $f(x)=-3(x-2)^{2}+2$ ist $k=2$. Das ist der Maximalwert der Funktion, weil sich die Parabel nach unten öffnet.
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   Finde den Scheitelpunkt. Wenn du nach den Koordinaten des Minimal- oder Maximalwertes gefragt wirst, liegt dieser Punkt bei $(h,k)$. Beachte aber, dass der Term in der Klammer in der Standardform der Gleichung $(x-h)$ ist, du brauchst also bei der Zahl, die nach dem $x$ steht, das entgegengesetzte Zeichen.

   • In $f(x)=2(x+1)^{2}-4$ ist der Term in der Klammer (x+1), was als (x-(-1)) umgeschrieben werden kann. Somit ist $h=-1$ und die Koordinaten des Scheitelpunktes dieser Funktion sind $(-1,-4)$.
   • In $f(x)=-3(x-2)^{2}+2$ ist der Term in der Klammer (x-2). Folglich ist $h=2$. Die Koordinaten des Scheitelpunktes sind (2, 2).
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Methode 3

Methode 3 von 3:

Den Minimalwert oder Maximalwert durch Rechnen finden

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   Beginne mit der allgemeinen Form. Schreibe die quadratische Funktion in der allgemeinen Form auf, $f(x)=ax^{2}+bx+c$. Falls es notwendig ist, musst du ähnliche Terme zusammenfassen und sie umordnen, um die richtige Form zu erhalten.

   • Beginne mit der Beispielfunktion $f(x)=2x^{2}-4x+1$.
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   Wende die Potenzregel an, um die erste Ableitung zu finden. Mithilfe der Differentialrechnung kannst du die erste Ableitung einer quadratischen Funktion finden, die $f^{\prime }(x)=2ax+b$ ist.

   • Bei der Beispielfunktion $f(x)=2x^{2}-4x+1$ findest du die erste Ableitung:
     • $f^{\prime }(x)=4x-4$
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   Setze die Ableitung gleich Null. Erinnere dich daran, dass die Ableitung einer Funktion dir die Steigung der Funktion an einem bestimmten Punkt zeigt. Der Minimal- oder Maximalwert einer Funktion tritt dort auf, wo die Steigung gleich Null ist. Daher setzt man die Ableitung gleich Null, um den Minimal- oder Maximalwert zu finden. Setzen wir das Beispiel fort:

   • $f^{\prime }(x)=4x-4$
   • $0=4x-4$
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   Löse nach x. Setze die Grundregeln der Algebra ein, um die Funktion umzuordnen und nach dem Wert von x zu lösen, wenn die Ableitung Null entspricht. Diese Lösung nennt dir die x-Koordinate des Scheitelpunkts der Funktion, an dem der Maximal- oder Minimalwert auftritt.

   • $0=4x-4$
   • $4=4x$
   • $1=x$
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   Setze den errechneten Wert für x in die ursprüngliche Funktion ein. Der Minimal- oder Maximalwert der Funktion ist der Wert von $f(x)$ an der ausgewählten Position für $x$. Setze den Wert für $x$ in die ursprüngliche Funktion ein und löse sie, um den Minimal- oder Maximalwert zu finden.

   • Bei der Funktion $f(x)=2x^{2}-4x+1$ bei $x=1$ heißt das:
     • $f(1)=2(1)^{2}-4(1)+1$
     • $f(1)=2-4+1$
     • $f(1)=-1$
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   Gib dein Ergebnis an. Die Lösung liefert dir den Scheitelpunkt des Maximal- oder Minimalpunktes. In der Beispielfunktion, $f(x)=2x^{2}-4x+1$, tritt der Scheitelpunkt bei $(1,-1)$ auf. Der Koeffizient $a$ ist positiv, also öffnet sich die Funktion nach oben. Somit liegt der Minimalwert der Funktion an der y-Koordinate des Scheitelpunktes, also $-1$.
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Tipps

• Die Symmetrieachse der Parabel ist x = h

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