Как найти максимум или минимум квадратичной функции

Загрузить PDF

Загрузить PDF

В этой статье:

Квадратичная функция записана в стандартном виде

Квадратичная функция записана через координаты вершины параболы

Как вычислить минимум или максимум с помощью математических операций

Дополнительные статьи

Источники

Во многих задачах требуется вычислить максимальное или минимальное значение квадратичной функции. Максимум или минимум можно найти, если исходная функция записана в стандартном виде: $f(x)=ax^{2}+bx+c$ или через координаты вершины параболы: $f(x)=a(x-h)^{2}+k$. Более того, максимум или минимум любой квадратичной функции можно вычислить с помощью математических операций.

Шаги

Метод 1

Метод 1 из 3:

Квадратичная функция записана в стандартном виде

Загрузить PDF

1. 
   1
   Запишите функцию в стандартном виде. Квадратичная функция - это функция, уравнение которой включает переменную $x^{2}$. Уравнение может включать или не включать переменную $x$. Если уравнение включает переменную с показателем степени больше 2, оно не описывает квадратичную функцию. Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы записать функцию в стандартном виде.

   • Например, дана функция $f(x)=3x+2x-x^{2}+3x^{2}+4$. Сложите члены с переменной $x^{2}$ и члены с переменной $x$, чтобы записать уравнение в стандартном виде:
     • $f(x)=2x^{2}+5x+4$
2. 
   2
   Определите направление параболы. График квадратичной функции представляет собой параболу. Ветви параболы направлены вверх или вниз. Если коэффициент $a$ при переменной $x^{2}$ положительный, парабола направлена вверх. Если коэффициент $a$ отрицательный, парабола направлена вниз. Например:

   • $f(x)=2x^{2}+4x-6$. Здесь $a=2$, поэтому парабола направлена вверх.
   • $f(x)=-3x^{2}+2x+8$. Здесь $a=-3$, поэтому парабола направлена вниз.
   • $f(x)=x^{2}+6$. Здесь $a=1$, поэтому парабола направлена вверх.
   • Если парабола направлена вверх, нужно искать ее минимум. Если парабола направлена вниз, ищите ее максимум.
3. 
   3
   Вычислите -b/2a. Значение $-{\frac {b}{2a}}$ – это координата $x$ вершины параболы. Если квадратичная функция записывается в стандартном виде $ax^{2}+bx+c$, воспользуйтесь коэффициентами при $x$ и $x^{2}$ следующим образом:

   • В функции $f(x)=x^{2}+10x-1$ коэффициенты $a=1$ и $b=10$. Поэтому координату «x» вершины параболы вычислите так:
     • $x=-{\frac {b}{2a}}$
     • $x=-{\frac {10}{(2)(1)}}$
     • $x=-{\frac {10}{2}}$
     • $x=-5$
   • В качестве второго примера рассмотрим функцию $f(x)=-3x^{2}+6x-4$. Здесь $a=-3$ и $b=6$. Поэтому координату «x» вершины параболы вычислите так:
     • $x=-{\frac {b}{2a}}$
     • $x=-{\frac {6}{(2)(-3)}}$
     • $x=-{\frac {6}{-6}}$
     • $x=-(-1)$
     • $x=1$
4. 
   4
   Найдите соответствующее значение f(x). Подставьте найденное значение «x» в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение f(x). Так вы найдете минимум или максимум функции.

   • В первом примере $f(x)=x^{2}+10x-1$ вы вычислили, что координата «х» вершины параболы равна $x=-5$. В исходной функции вместо $x$ подставьте $-5$, чтобы найти ее максимальное значение:
     • $f(x)=x^{2}+10x-1$
     • $f(x)=(-5)^{2}+10(-5)-1$
     • $f(x)=25-50-1$
     • $f(x)=-26$
   • Во втором примере $f(x)=-3x^{2}+6x-4$ вы нашли, что координата «х» вершины параболы равна $x=1$. В исходной функции вместо $x$ подставьте $1$, чтобы найти ее максимальное значение:
     • $f(x)=-3x^{2}+6x-4$
     • $f(x)=-3(1)^{2}+6(1)-4$
     • $f(x)=-3+6-4$
     • $f(x)=-1$
5. 
   5
   Запишите ответ. Перечитайте условие задачи. Если нужно найти координаты вершины параболы, в ответе запишите оба значения $x$ и $y$ (или $f(x)$). Если необходимо вычислить максимум или минимум функции, в ответе запишите только значение $y$ (или $f(x)$). Еще раз посмотрите на знак коэффициента $a$, чтобы проверить, что вы вычислили: максимум или минимум.

   • В первом примере $f(x)=x^{2}+10x-1$ значение $a$ положительное, поэтому вы вычислили минимум. Вершина параболы лежит в точке с координатами $(-5,-26)$, а минимальное значение функции равно $-26$.
   • Во втором примере $f(x)=-3x^{2}+6x-4$ значение $a$ отрицательное, поэтому вы нашли максимум. Вершина параболы лежит в точке с координатами $(1,-1)$, а максимальное значение функции равно $-1$.
   Реклама

Метод 2

Метод 2 из 3:

Квадратичная функция записана через координаты вершины параболы

Загрузить PDF

1. 
   1
   Запишите квадратичную функцию через координаты вершины параболы. Такое уравнение имеет следующий вид:

   • $f(x)=a(x-h)^{2}+k$
   • Если функция уже записана в таком виде, просто найдите значения коэффициентов $a$,$h$ и $k$. Если функция дана в стандартном виде $f(x)=ax^{2}+bx+c$, дополните ее до полного квадрата и запишите через координаты вершины параболы.
   • Чтобы узнать, как дополнять до полного квадрата, прочитайте эту статью.
2. 
   2
   Определите направление параболы. Для этого посмотрите на знак коэффициента $a$. Если коэффициент $a$ положительный, парабола направлена вверх. Если коэффициент $a$ отрицательный, парабола направлена вниз. Например:

   • $f(x)=2(x+1)^{2}-4$. Здесь $a=2$, то есть коэффициент положительный, поэтому парабола направлена вверх.
   • $f(x)=-3(x-2)^{2}+2$. Здесь $a=-3$, то есть коэффициент отрицательный, поэтому парабола направлена вниз.
   • Если парабола направлена вверх, нужно вычислить минимальное значение функции. Если парабола направлена вниз, необходимо найти максимальное значение функции.
3. 
   3
   Найдите минимальное или максимальное значение функции. Если функция записана через координаты вершины параболы, минимум или максимум равен значению коэффициента $k$. В приведенных выше примерах:

   • $f(x)=2(x+1)^{2}-4$. Здесь $k=-4$. Это минимальное значение функции, потому что парабола направлена вверх.
   • $f(x)=-3(x-2)^{2}+2$. Здесь $k=2$. Это максимальное значение функции, потому что парабола направлена вниз.
4. 
   4
   Найдите координаты вершины параболы. Если в задаче требуется найти вершину параболы, ее координаты равны $(h,k)$. Обратите внимание, когда квадратичная функция записана через координаты вершины параболы, в скобки должна быть заключена операция вычитания $(x-h)$, поэтому значение $h$ берется с противоположным знаком.

   • $f(x)=2(x+1)^{2}-4$. Здесь в скобки заключена операция сложения (x+1), которую можно переписать так: (x-(-1)). Таким образом, $h=-1$. Поэтому координаты вершины параболы этой функции равны $(-1,-4)$.
   • $f(x)=-3(x-2)^{2}+2$. Здесь в скобках находится выражение (x-2). Следовательно, $h=2$. Координаты вершины равны (2,2).
   Реклама

Метод 3

Метод 3 из 3:

Как вычислить минимум или максимум с помощью математических операций

Загрузить PDF

1. 
   1
   Сначала рассмотрим стандартный вид уравнения. Запишите квадратичную функцию в стандартном виде: $f(x)=ax^{2}+bx+c$. Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы получить стандартное уравнение.

   • Например: $f(x)=2x^{2}-4x+1$.
2. 
   2
   Найдите первую производную. Первая производная квадратичной функции, которая записана в стандартном виде, равна $f^{\prime }(x)=2ax+b$.

   • $f(x)=2x^{2}-4x+1$. Первая производная этой функции вычисляется следующим образом:
     • $f^{\prime }(x)=4x-4$
3. 
   3
   Производную приравняйте к нулю. Напомним, что производная функции равна угловому коэффициенту функции в определенной точке. В минимуме или максимуме угловой коэффициент равен нулю. Поэтому, чтобы найти минимальное или максимальное значение функции, производную нужно приравнять к нулю. В нашем примере:

   • $f^{\prime }(x)=4x-4$
   • $0=4x-4$
4. 
   4
   Найдите «x». С помощью математических операций изолируйте «x», чтобы найти значение этой переменной, когда производная равна нулю. Так вы вычислите координату «x» вершины параболы, в которой находится ее максимум или минимум.

   • $0=4x-4$
   • $4=4x$
   • $1=x$
5. 
   5
   Полученное значение «x» подставьте в исходную функцию. Минимальное или максимальное значение функции равно значению $f(x)$ при полученном $x$. Значение $x$ подставьте в исходную функцию и решите уравнение, чтобы найти минимум или максимум.

   • В нашем примере $f(x)=2x^{2}-4x+1$ при $x=1$,
     • $f(1)=2(1)^{2}-4(1)+1$
     • $f(1)=2-4+1$
     • $f(1)=-1$
6. 
   6
   Запишите ответ. Вы вычислили максимум или минимум функции. В нашем примере $f(x)=2x^{2}-4x+1$ координаты вершины равны $(1,-1)$. Коэффициент $a$ положительный, поэтому парабола направлена вверх. Следовательно, минимальное значение функции – это координата «у» вершины, которая равна $-1$.
   Реклама

Советы

• Ось симметрии параболы описывается уравнением x=h.

Реклама