Logaritmen oplossen

Logaritmen zijn misschien intimiderend, maar het oplossen van een logaritme is veel eenvoudiger als je eenmaal beseft dat logaritmen gewoon een andere manier zijn om exponentiële vergelijkingen uit te schrijven. Zodra je de logaritme herschrijft in een meer vertrouwde vorm, zou je in staat moeten zijn om het op te lossen zoals je elke standaard exponentiële vergelijking zou oplossen.

Deel 1

Deel 1 van 4:

Een logaritmische vergelijking exponentieel uitdrukken^[1]XBron^[2]XBron

Pdf downloaden

1
Leer de definitie van een logaritme. Voordat je logaritmen kunt oplossen, moet je begrijpen dat een logaritme in wezen een andere manier is om een exponentiële vergelijking te schrijven. De precieze definitie is als volgt:
- y=log_b (x)
  - Als en alleen als: b^y=x
- Merk op dat b het grondtal is van de logaritme. Het moet ook waar zijn dat:
  - b > 0
  - b is niet gelijk aan 1
- In dezelfde vergelijking is y de exponent en x de exponentiële uitdrukking waaraan de logaritme gelijk wordt gesteld.
2
Kijk naar de vergelijking. Wanneer je naar de vergelijking van het probleem kijkt, identificeer dan het grondtal (b), exponent (y) en exponentiële uitdrukking (x).
- Voorbeeld: 5=log₄(1024)
  - b=4
  - y=5
  - x=1024
3
Verplaats de exponentiële uitdrukking naar één kant van de vergelijking. Zet de waarde van je exponentiële uitdrukking, x, aan één kant van het isgelijkteken.
- Voorbeeld: 1024=?
4
Pas de exponent toe op het grondtal. De waarde van het grondtal, b, moet met zichzelf vermenigvuldigd worden met het aantal keren dat je exponent, y, aangeeft.
- Voorbeeld: 4 *4 *4 *4 *4=?
  - Dit kan ook geschreven worden als: 4⁵
5
Herschrijf je uiteindelijke antwoord. Je zou nu in staat moeten zijn om de logaritme te herschrijven als een exponentiële uitdrukking. Controleer of je antwoord juist is door te controleren of beide zijden van de vergelijking gelijk zijn.
- Voorbeeld: 4⁵=1024
Advertentie

Deel 2

Deel 2 van 4:

Los x op

Pdf downloaden

1
Isoleer de logaritme. Gebruik inverse operaties om elk deel van de vergelijking dat geen deel is van het logaritme naar de andere kant van de vergelijking te verplaatsen.
- Voorbeeld: log₃(x + 5) + 6=10
  - log₃(x + 5) + 6 - 6=10 - 6
  - log₃(x + 5)=4
2
Herschrijf de vergelijking in exponentiële vorm. Gebruik wat je nu weet over het verband tussen logaritmen en exponentiële vergelijkingen, breek de logaritme af en herschrijf de vergelijking in een eenvoudigere, oplosbare exponentiële vorm.
- Voorbeeld:log₃(x + 5)=4
  - Als je deze vergelijking vergelijkt met de definitie [y=log_b (x)], dan kun je concluderen dat: y=4; b=3; x=x + 5
  - Herschrijf de vergelijking zodat: b^y=x
  - 3⁴=x + 5
3
Los op voor x. Nu het probleem vereenvoudigd is tot een exponentiële basisvergelijking, zou je het moeten kunnen oplossen zoals je elke exponentiële vergelijking zou oplossen.
- Voorbeeld: 3⁴=x + 5
  - 3 *3 *3 *3=x + 5
  - 81=x + 5
  - 81 - 5=x + 5 - 5
  - 76=x
4
Schrijf je uiteindelijke antwoord op. Het antwoord dat je kreeg bij het oplossen voor x is de oplossing van je oorspronkelijke logaritme.
- Voorbeeld: x=76
Advertentie

Deel 3

Deel 3 van 4:

Los x op met behulp van de logaritmische productregel^[3]XBron^[4]XBron

Pdf downloaden

1
Ken de productregel. De eerste eigenschap van logaritmen, bekend als de ‘productregel’, stelt dat de logaritme van een vermenigvuldigd product gelijk is aan de som van de logaritmen van beide factoren. Geschreven in de vorm van een vergelijking:
- log_b(m *n)=log_b(m) + log_b(n)
- Merk ook op dat het volgende waar moet zijn:
  - m > 0
  - n > 0
2
Isoleer de logaritme aan één kant van de vergelijking. Gebruik inverse bewerkingen om de delen van de vergelijking te verschuiven, totdat alle logaritmen aan één kant van de vergelijking staan en alle andere elementen aan de andere kant.
- Voorbeeld: log₄(x + 6)=2 - log₄(x)
  - log₄(x + 6) + log₄(x)=2 - log₄(x) + log₄(x)
  - log₄(x + 6) + log₄(x)=2
3
Pas de productregel toe. Als er twee logaritmen bij elkaar opgeteld zijn in de vergelijking, kun je de productregel gebruiken om de twee logaritmen te combineren.
- Voorbeeld: log₄(x + 6) + log₄(x)=2
  - log₄[(x + 6) *x]=2
  - log₄(x² + 6x)=2
4
Herschrijf de vergelijking in exponentiële vorm. Onthoud dat een logaritme gewoon een andere manier is om een exponentiële vergelijking te schrijven. Gebruik de logaritme-definitie om de vergelijking te herschrijven in zijn oplosbare vorm.
- Voorbeeld: log₄(x² + 6x)=2
  - Als je deze vergelijking vergelijkt met de definitie [y=log_b (x)], kun je concluderen dat: y=2; b=4 ; x=x² + 6x
  - Herschrijf de vergelijking zodat: b^y=x
  - 4²=x² + 6x
5
Los op voor x. Nu de vergelijking een standaard exponentiële vergelijking is geworden, gebruik je je kennis van exponentiële vergelijkingen om op te lossen voor x zoals je gewoonlijk zou doen.
- Voorbeeld: 4²=x² + 6x
  - 4 *4=x² + 6x
  - 16=x² + 6x
  - 16 - 16=x² + 6x - 16
  - 0=x² + 6x - 16
  - 0=(x - 2) *(x + 8)
  - x=2; x=-8
6
Schrijf je antwoord op. Op dit punt moet je de oplossing van de vergelijking hebben. Schrijf die op in de ruimte voor je antwoord.
- Voorbeeld: x=2
- Merk op dat je geen negatieve oplossing kunt hebben voor een logaritme, dus kun je x – 8 weglaten als oplossing.
Advertentie

Deel 4

Deel 4 van 4:

Los x op met behulp van de logaritmische quotiëntregel^[5]XBron

Pdf downloaden

1
Ken de quotiëntregel. Volgens de tweede eigenschap van logaritmen, bekend als de ‘quotiëntregel’, kan de logaritme van een quotiënt worden herschreven door de logaritme van de noemer af te trekken van de logaritme van de teller. Geschreven als een vergelijking:
- log_b(m / n)=log_b(m) - log_b(n)
- Merk ook op dat het volgende waar moet zijn:
  - m > 0
  - n > 0
2
Breng de logaritme naar één kant van de vergelijking. Voordat je de logaritme kunt oplossen, moet je alle logaritmen in de vergelijking naar één kant van het gelijkheidsteken brengen. De andere elementen van de vergelijking moeten allemaal naar de andere kant van de vergelijking worden gebracht. Gebruik inverse bewerkingen om dit te bereiken.
- Voorbeeld: log₃(x + 6)=2 + log₃(x - 2)
  - log₃(x + 6) - log₃(x - 2)=2 + log₃(x - 2) - log₃(x - 2)
  - log₃(x + 6) - log₃(x - 2)=2
3
Pas de quotiëntregel toe. Als er twee logaritmen in de vergelijking staan en de ene moet van de andere worden afgetrokken, dan kan en moet je de quotiëntregel gebruiken om de twee logaritmen tot één logaritme samen te voegen.
- Voorbeeld: log₃(x + 6) - log₃(x - 2)=2
  - log₃[(x + 6) / (x - 2)]=2
4
Herschrijf de vergelijking in exponentiële vorm. Nu er slechts één logaritme in de vergelijking voorkomt, kun je de definitie van logaritmen gebruiken om de vergelijking te herschrijven in exponentiële vorm, waarbij je de log weglaat.
- Voorbeeld: log₃[(x + 6) / (x - 2)]=2
  - Als je deze vergelijking vergelijkt met de definitie [y=log_b (x)], kun je concluderen dat: y=2; b=3; x=(x + 6) / (x - 2)
  - Herschrijf de vergelijking zodat: b^y=x
  - 3²=(x + 6) / (x - 2)
5
Los x op. Nu de vergelijking in exponentiële vorm staat, zou je x moeten kunnen oplossen zoals je gewoonlijk zou doen.
- Voorbeeld: 3²=(x + 6) / (x - 2)
  - 3 *3=(x + 6) / (x - 2)
  - 9=(x + 6) / (x - 2)
  - 9 *(x - 2)=[(x + 6) / (x - 2)] *(x - 2)
  - 9x - 18=x + 6
  - 9x - x - 18 + 18=x - x + 6 + 18
  - 8x=24
  - 8x / 8=24 / 8
  - x=3
6
Schrijf je uiteindelijke antwoord op. Ga terug en controleer je stappen nogmaals. Als je zeker weet dat je de juiste oplossing hebt, schrijf die dan op.
- Voorbeeld: x=3
Advertentie