Como Resolver Logaritmos

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Neste Artigo:

Resolvendo para X

Resolvendo para X usando a regra do produto logarítmico[3]

Resolvendo para X usando a regra do quociente logarítmico

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Referências

Logaritmos podem intimidar, mas resolver um logaritmo é muito mais simples quando você percebe que eles são só mais um jeito de escrever equações exponenciais. Quando você reescreve o logaritmo em uma forma mais familiar, deve conseguir resolvê-lo como resolveria qualquer equação exponencial padrão.

Passos

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Antes de começar: Aprenda a expressar uma equação logarítmica exponencialmente

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   Saiba a definição de logaritmo. Antes de conseguir resolver logaritmos, você precisa entender que logaritmo é essencialmente outro jeito de escrever uma equação exponencial. Sua definição precisa é a seguinte:

   • y = log_b (x);
     • Se e somente se: b^y = x.
   • Note que b é a base do logaritmo. Também deve ser verdadeiro que:
     • b > 0;
     • b não é igual a 1.
   • Na mesma equação, y é o expoente e x é a expressão exponencial à qual o logaritmo é igualado.
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   Olhe para a equação. Quando estiver olhando para a equação, identifique a base (b), o expoente (y) e a expressão exponencial (x).

   • Exemplo: 5 = log₄(1024).
     • b = 4.
     • y = 5.
     • x = 1024.
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   Mova a expressão exponencial para um lado da equação. Coloque o valor da expressão exponencial, x, para um lado do sinal de igualdade.

   • Exemplo: 1024 = ?
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   Aplique o expoente à base. O valor da base, b, precisa ser multiplicado por ele mesmo o número de vezes indicado pelo expoente, y.

   • Exemplo: 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = ?
     • Também pode ser escrito como: 4⁵
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   Reescreva sua resposta final. Você deve ser capaz de reescrever o logaritmo como uma expressão exponencial agora. Verifique se sua resposta está correta, conferindo se os dois lados da equação são iguais.

   • Exemplo: 4⁵ = 1024
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Método 1

Método 1 de 3:

Resolvendo para X

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   Isole o logaritmo. Use as operações inversas para mover qualquer parte da equação que não é parte do logaritmo para o lado oposto da equação.

   • Exemplo: log₃(x + 5) + 6 = 10;
     • log₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6;
     • log₃(x + 5) = 4.
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   Reescreva a equação na forma exponencial. Usando o que você agora sabe sobre a relação entre logaritmos e equações exponenciais, quebre o logaritmo e reescreva a equação na forma exponencial, mais simples e fácil de resolver.

   • Exemplo:log₃(x + 5) = 4;
     • Comparando esta equação com a definição [y = log_b (x)], você pode concluir que: y = 4; b = 3; x = x + 5.
     • Reescreva a equação de forma que: b^y = x.
     • 3⁴ = x + 5.
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   Resolva para x. Com o problema simplificado em uma equação exponencial básica, você deve conseguir resolver como qualquer equação exponencial.

   • Exemplo: 3⁴ = x + 5.
     • 3 * 3 * 3 * 3 = x + 5.
     • 81 = x + 5.
     • 81 - 5 = x + 5 - 5.
     • 76 = x.
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   Escreva sua resposta final. A resposta a que você chegou resolvendo para x é a solução do seu logaritmo original.

   • Exemplo: x = 76
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Método 2

Método 2 de 3:

Resolvendo para X usando a regra do produto logarítmico

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   Saiba a regra do produto. A primeira propriedade dos logaritmos, conhecida como "regra do produto", diz que o logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos dois fatores. Em forma de equação:

   • log_b(m * n) = log_b(m) + log_b(n)
   • Também note que o seguinte deve ser verdadeiro:
     • m > 0.
     • n > 0.
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   Isole o logaritmo em um lado da equação. Use as operações inversas para mover as partes da equação até que os logaritmos estejam em um lado e os outros elementos no outro lado.

   • Exemplo: log₄(x + 6) = 2 - log₄(x).
     • log₄(x + 6) + log₄(x) = 2 - log₄(x) + log₄(x).
     • log₄(x + 6) + log₄(x) = 2.
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   Aplique a regra dos produtos. Se houver uma soma de dois logaritmos na equação, você pode usar a regra do produto para combinar os dois em um só.

   • Exemplo: log₄(x + 6) + log₄(x) = 2.
     • log₄[(x + 6) * x] = 2.
     • log₄(x² + 6x) = 2.
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   Reescreva a equação na forma exponencial. Lembre-se de que um logaritmo é só mais uma forma de escrever uma equação exponencial. Use a definição do logaritmo para reescrever a equação na forma mais fácil de resolver.

   • Exemplo: log₄(x² + 6x) = 2.
     • Comparando esta equação com a definição [y = log_b (x)], você pode concluir que: y = 2; b = 4 ; x = x² + 6x.
     • Reescreva a equação para que: b^y = x.
     • 4² = x² + 6x.
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   Resolva para x. Agora que a equação virou uma equação exponencial padrão, use seu conhecimento de equações exponenciais para resolver para x como faria normalmente.

   • Exemplo: 4² = x² + 6x
     • 4 * 4 = x² + 6x.
     • 16 = x² + 6x.
     • 16 - 16 = x² + 6x - 16.
     • 0 = x² + 6x - 16.
     • 0 = (x - 2) * (x + 8).
     • x = 2; x = -8.
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   Escreva sua resposta. Neste ponto, você deve ter a solução da equação. Escreva-a no espaço dado para a sua resposta.

   • Exemplo: x = 2.
   • Note que você não pode ter uma solução negativa para um logaritmo, então pode descartar x - 8 como solução.
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Método 3

Método 3 de 3:

Resolvendo para X usando a regra do quociente logarítmico

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   Saiba a regra do quociente. De acordo com a segunda propriedade dos logaritmos, conhecida como "regra do quociente", o logaritmo de um quociente pode ser reescrito como uma subtração do logaritmo do denominador do logaritmo do numerador. Escrito como uma equação:

   • log_b(m / n) = log_b(m) - log_b(n)
   • Note também que o seguinte deve ser verdadeiro:
     • m > 0
     • n > 0
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   Isole o logaritmo em um lado da equação. Antes de poder resolver o logaritmo, você precisa mexer os "logs" da equação para um lado do sinal de igualdade. As outras partes da equação devem ir todas para o lado oposto. Use operações inversas para chegar a isso.

   • Exemplo: log₃(x + 6) = 2 + log₃(x - 2).
     • log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2 + log₃(x - 2) - log₃(x - 2).
     • log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2.
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   Aplique a regra do quociente. Se houver dois logaritmos na equação e um deles tiver que ser subtraído do outro, você pode e deve usar a regra do quociente para combinar os dois em um só.

   • Exemplo: log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2.
     • log₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2.
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   Reescreva a equação na forma exponencial. Agora que só há um logaritmo na equação, use a definição de logaritmo para reescrever a equação em forma exponencial, removendo assim o "log".

   • Exemplo: log₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2.
     • Comparando esta equação com a definição [y = log_b (x)], você pode concluir que: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2).
     • Reescreva a equação de modo que: b^y = x.
     • 3² = (x + 6) / (x - 2).
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   Resolva para x. Com a equação agora em forma exponencial, você deverá ser capaz de resolver para x como faria normalmente.

   • Exemplo: 3² = (x + 6) / (x - 2).
     • 3 * 3 = (x + 6) / (x - 2).
     • 9 = (x + 6) / (x - 2).
     • 9 * (x - 2) = [(x + 6) / (x - 2)] * (x - 2).
     • 9x - 18 = x + 6.
     • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18.
     • 8x = 24.
     • 8x / 8 = 24 / 8.
     • x = 3.
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   Escreva sua resposta final. Volte e revise seus passos. Quando tiver certeza de que tem a resolução correta, escreva definitivamente.

   • Exemplo: x = 3.
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